《最新多维随机变量的数字特征教学课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新多维随机变量的数字特征教学课件.ppt（83页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2 考察一射手的水平，既要看他的考察一射手的水平，既要看他的平均环数平均环数是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即是否高，还要看他弹着点的范围是否小，即数数据的波动据的波动是否小是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些由上面例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰数值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描述随机变量在某些方面的重要特征地描述随机变量在某些方面的重要特征 , 这些这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义数字特征在理论和实践上都具有重要意义.随机变量某一方面的概率特性随机变量某一方面的概率特性 都可用都可用数字数字来描写来描写9 0,00,)(
2、xxexfx dxxxf)( 0dxxex 00dxexexx 01dxex 1 0)(xexd )(limxxex )1(limxxe 0)(1xdex 例例4 EXX求求的的指指数数分分布布服服从从参参数数为为已已知知, 解解 EX10例例5的的数数学学期期望望不不存存在在说说明明随随机机变变量量密密度度为为即即其其概概率率服服从从柯柯西西分分布布若若随随机机变变量量XxxxfX ,111)(,2 dxxxdxxfx211)( 因因为为的的数数学学期期望望不不存存在在故故不不绝绝对对收收敛敛即即Xdxxxf )(解解11例例6EXGX，求，求已知已知),( 解解 EX 01)()(dxex
3、xdxxxfx 0)()(1dxexx 得得令令xt dtett 01)1()(1 )()()()1( 12常见随机变量的数学期望常见随机变量的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pXPpXP 1)0()1(pB(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1()( npP( ), 2 , 1 , 0!)( kkekXPk 13分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布 其其它它,0,1)(bxaabxf2ba E( ) 其其它它,00,)(xexfx 1N( , 2)222)(21)( xexf 142.
4、数学期望的性质数学期望的性质变变量量的的数数学学期期望望存存在在）（以以下下设设所所遇遇到到的的随随机机是是常常数数是是随随机机变变量量，设设cbaYX,cbEYaEXcbYaXE )()1(0, 0)2( EXX则则设设bEXabXa 则则设设,) 3( niniiiiEXXEniXEXEYXYEYX1121:)()4(）（相相互互独独立立，则则有有），（若若推推广广变变量量，则则是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机，设设15证明证明：仅就仅就2 n证性质（证性质（4）, 2 , 121212121 jipbXaXPXXbbaaXijjii，），（分分布布为为的的一一切切可可能能值值，而
5、而记记其其和和记记，和和，别别以以是是离离散散型型随随机机变变量量，分分不不妨妨假假设设由由独独立立性性假假设设知知)()(21jiijbXPaXPp 2121,21,212121)()()()()(,EXEXbXPbaXPabXPaXPbapbaXXEbaXXbXaXjjjiiijijijijiijjijiji ，故故时时有有因因为为当当16解解引入随机变量引入随机变量 站站有有人人下下车车在在第第，站站没没有有人人下下车车在在第第iiXi1,010, 2 , 1 i则有则有 1021XXXX 例例7),(,10,20互互独独立立并并设设各各旅旅客客是是否否下下车车相相车车是是等等可可能能的
6、的设设每每位位旅旅客客在在各各车车站站下下求求表表示示停停车车次次数数以以没没有有旅旅客客下下车车就就不不停停车车如如到到达达一一个个车车站站个个车车站站可可以以下下车车旅旅客客有有位位旅旅客客从从机机场场开开出出一一民民航航送送客客车车载载有有EXX17109,站站不不下下车车的的概概率率为为任任一一旅旅客客在在第第由由题题意意i20)109(20站站下下车车的的概概率率为为位位旅旅客客都都不不在在第第因因此此i20)109(1 站站有有人人下下车车的的概概率率为为第第i即即2020)109(1)1(,)109()0( iiXPXP20)109(1) 1(1) 0(0 iiiXPXPEX故故
7、 1011021)(iiEXXXXEEX784.8)109(11020 （次）（次） 18例例8其其规规律律为为立立两两者者到到站站的的时时间间相相互互独独且且但但到到站站的的时时刻刻是是随随机机的的都都恰恰有有一一辆辆客客车车到到站站某某车车站站每每天天按按规规定定,00:1000:9 ,00:900:8,到站时刻到站时刻概率概率50:930:910:950:830:810:8626361望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站：一一旅旅客客,008)1(望望求求他他候候车车时时间间的的数数学学期期到到车车站站：一一旅旅客客,208)2(19解解（以以分分计计）设设旅旅客客的
8、的候候车车时时间间为为X的的分分布布列列为为X)1(Xkp503010626361)(33.33分分 EX的的分分布布列列为为X)2(Xkp90705030106162616361616263 20上上表表中中，例例如如6361)()()()70( BPAPABPXP，到到站站：第第一一班班车车在在为为事事件件其其中中108A，到到站站：第第二二班班车车在在为为事事件件309B)(22.2736290363703615062306310分分 EX21则则若若对对离离散散型型随随机机变变量量,)(,)1(kkpxXPX 3. 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望存存在在，的的连连续续函函
9、数数设设有有随随机机变变量量定定理理)()(xgEXgYX )(XgE kkkpxg)(则则若若有有密密度度函函数数对对连连续续型型随随机机变变量量, )(,)2(xfX )(XgEdxxfxg )()(22)(,),(,是是连连续续函函数数的的函函数数是是随随机机变变量量设设gYXgZYXZ 的分布律为的分布律为若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量）（),(1YX, 2 , 1,),( jipyYxXPijji ijjipyxgYXgEEZ),(),(则则有有，为为的的概概率率密密度度若若二二维维连连续续型型随随机机变变量量）（),(),(2yxfYX dxdyyxfyxgYXgEEZ)
10、,(),(),(则有则有23X 1 3P 3/4 1/4Y 0 1 2 3P 1/8 3/8 3/8 1/881)33(0)23(0)13(81)03(0)31(83)21(83)11(0)01()( XYE49 X1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/8Y 0 1 2 3例例9的的联联合合分分布布列列为为已已知知),(YX)(,XYEEYEX求求解解23,23 EYEX24的概率密度为的概率密度为设二维随机变量设二维随机变量),(YX的数学期望的数学期望试求试求 XY解解 dxdyyxxyfXYE),()( 1010)(dxdyyxxy31 其其他他,010,10,),(yxyx
11、yxf例例1025 21sin)(sin)(sin0 dxxdxxxfXE 其它其它,0, 0,1)( xxf31)(20222 dxxdxxfxEX dxxfxXEEXXE)()2()2()(222 121)2(202 dxx例例1122)(),(),(sinEXXEXEXE 求求已知已知, , 0 UX解解26解解 dxdyyxxfEX),( 20102)31(41dyyxdxx34 dxdyyxyfEY),( 20102)31(41dyyyxdx85 其其他他, 0, 10 , 20),31(41),(2yxyxyxf)(, )(, )(,XYEXYEYXEEYEX 求求例例12 设二维
12、连续随机变量设二维连续随机变量 的概率密度为的概率密度为),(YX27 dxdyyxfyxYXE),()()( dxdyyxyfdxdyyxxf),(),(24478534 EYEX 数学期望的性质数学期望的性质 dxdyyxfxyXYE),()()( 20102)31(2121dyyyxdxx658534 EYEX 注意注意: :相互独立相互独立YX,28 dxdyyxfxyXYE),( 20102)31(2121dyyydx85 3. 数学期望的简单应用数学期望的简单应用 市场上对某种产品每年的需求量为市场上对某种产品每年的需求量为X 吨吨 ， X U 2000,4000 , 每出售一吨可
13、赚每出售一吨可赚3万元万元 , 售不出去，则每吨需仓库保管费售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问万元，问 应该生产这中商品多少吨应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润才能使平均利润 最大？最大？例例1329解解 其它其它, 0,40002000,20001)(xxfX设每年生产设每年生产 y 吨的利润为吨的利润为 Y ，2000 y 4000 xyyxxyyxg,4,3)( XyXyXXyyXgY, 1)(3,3)(30)140004(20001 ydydEY0令令 020004)(22 dyYEd故故 y = 3500 时，时，EY 最大，最大， EY = 8250万元万元)108140
14、002(2000162 yy 4000200020001320001)4(yydxydxyx dxxfxgEYX)()(31 为普查某种疾病为普查某种疾病, n 个人需验血个人需验血, 可采用两种可采用两种方法验血：方法验血： 分别化验每个人的血分别化验每个人的血, 共需化验共需化验 n 次；次； 将将 k 个人的血混合在一起化验，若化验结个人的血混合在一起化验，若化验结 果为阴性果为阴性, 则此则此 k 个人的血只需化验一次；个人的血只需化验一次； 若为阳性若为阳性, 则对则对 k 个人的血逐个化验，找个人的血逐个化验，找 出有病者出有病者, 这时这时 k 个人的血需化验个人的血需化验 k
15、+ 1 次次. 设某地区化验呈阳性的概率为设某地区化验呈阳性的概率为 p，且每个，且每个 人是否为阳性是相互独立的人是否为阳性是相互独立的. 试说明选择哪一试说明选择哪一(1)种方法可以减少化验次数种方法可以减少化验次数.验血方案的选择验血方案的选择32解解 为简单计，设为简单计，设 n 是是 k 的倍数，的倍数， 设共分成设共分成 n / k 组组第第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X i kp 1 kp 11Xi P 1 k + 1 11)1(1kkipkpEX kpkk 1)1(33 kniiEXEX1 kpkkkn 1)1( kpnk1)1(1, 01)1( kpk若若则则EX
16、n例如，例如，100001100101999. 0110000,10,001. 0,1000010 EXkpn341定义定义, )(xFX 的的分分布布函函数数为为设设连连续续型型随随机机变变量量则满足条件则满足条件21)()( mFmXP的的或或分分布布函函数数称称为为的的数数)(xFXm中位数中位数中位数的优点：中位数的优点：而而期期望望则则不不然然或或特特别别小小的的值值影影响响很很小小且且受受个个别别特特别别大大具具有有代代表表性性,中中位位数数、众众数数和和分分位位点点4.2 352定义定义的的是随机变量是随机变量称称如果如果设设XpXPpXPpppp 1)(,)(,10分分位位点点
17、（上上侧侧分分位位点点）p的的是随机变量是随机变量称称同理如果满足条件同理如果满足条件XpXPpXPppp 1)(,)(分位点分位点下侧下侧 p数数的的转转化化公公式式：上上侧侧分分位位数数与与下下侧侧分分位位pppp 11, 363定义定义的的为为的的数数值值称称满满足足为为其其概概率率密密度度是是连连续续型型随随机机变变量量若若XmxfmfxfXx00)(sup)(, )(,)1( 众数众数的的为为的的数数值值，称称满满足足为为其其概概率率分分布布是是离离散散型型随随机机变变量量若若XmpmXPkpxXPXkxkk00max)()2 , 1( ,)(,)2( 众数众数37的的中中位位数数求
18、求正正态态分分布布),(2 N 数都是数都是由对称性知中位数、众由对称性知中位数、众 的的中中位位数数求求，概概率率都都是是并并且且取取其其中中每每一一个个值值的的，的的取取值值集集合合为为设设随随机机变变量量XX2110例例1 解解例例2 38解解)21, 1( BX 1,1102100)(xxxxF，有有对对于于任任何何,10 a21)0()( XPaXP21)1()( XPaXP的的中中位位数数中中任任何何一一个个实实数数都都是是区区间间由由定定义义知知X)1 , 0(394.3 方差方差引例引例 检验两批灯泡的质量检验两批灯泡的质量, ,从中分别随机抽样从中分别随机抽样5 5只只, ,
19、测得使用寿命测得使用寿命( (单位单位: :小时小时) )如下如下: : A: 2000 1500 1000 500 1000 A: 2000 1500 1000 500 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 B: 1500 1500 1000 1000 1000 试比较这两批灯泡质量的好坏试比较这两批灯泡质量的好坏计算得计算得: :平均寿命平均寿命分别为分别为:A:1200 B:1200:A:1200 B:1200 观察得观察得:A:A中中使用寿命偏离使用寿命偏离较大较大,B,B中使用寿命中使用寿命 偏离较小偏离较小, ,所以所以,B,B产品质量较好产品质量较好数
20、学期望数学期望方差方差40 1. 方差的定义方差的定义(X - EX)2 随机变量随机变量X 的取值偏离平均值的的取值偏离平均值的 情况情况, 是是X的函数的函数, 也是随机变量也是随机变量 E(X - EX)2 随机变量随机变量X的取值偏离平均值的取值偏离平均值的平均偏离程度的平均偏离程度 数数定义：定义：即即记记为为的的方方差差为为则则称称存存在在若若是是一一个个随随机机变变量量设设,)(,)(,22DXXEXXEEXXEX 2)(EXXEDX 方方差差DX)(标标准准差差均均方方差差注注: 方差反映了随机变量相对其均值的方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度偏离程度41, 2 , 1,)
21、( kpxXPkk若若 X 为离散型随机变量，概率分布为为离散型随机变量，概率分布为 kkkpEXxDX2若若 X 为连续型随机变量，概率密度为为连续型随机变量，概率密度为f (x) dxxfEXxDX)(2 常用的计算方差的公式：常用的计算方差的公式：22)(EXEXDX 42 2. 方差的性质方差的性质为常数）为常数）CDC(0)1( DXCCXD2)()2( DYDXYXDYX )(,)3(则则变变量量是是两两个个相相互互独独立立的的随随机机设设1)(, )(10)4( CXPEXCCXDX即即这这里里取取常常数数以以概概率率的的充充要要条条件件是是)()()()5(22为为任任意意常常
22、数数aaEXaXEDX 43例例1 设设 X P ( ), 求求 DX解解 0!kkkekEX 11)!1(kkke EXXXEEX )1(2!) 1()1(0kekkXXEkk 2222)!2( kkke 22EX 22)(EXEXDX 3. 方差的计算方差的计算44例例2 设设 X B( n , p)，求，求 DX 解一解一 仿照上例求仿照上例求DX 解二解二 引入随机变量引入随机变量nXXX,21 发发生生次次试试验验事事件件第第发发生生次次试试验验事事件件第第AiAiXi, 0, 1nXXX,21相互独立，相互独立，ni, 2 , 1 )1(ppDXi niiXX1故故)1(1pnpD
23、XDXnii 45解解DX22)(EXEX 22)2(1badxabxba 12)(2ab 例例3 设设 X U( a , b)，求，求 DX 46例例4 设设 X N ( , 2), 求求 DX 解解dxexDXx222)(221)( dtetttx222221 令令2 47常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布分布方差方差概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pXPpXP 1)0()1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0)1()( np(1-p)P( ), 2 , 1 , 0!)( kkekXPk 48分布分布方差方差概率密度概率密度区
24、间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布 其它其它, 0,1)(bxaabxf12)(2ab E( ) 其其它它, 0, 0,)(xexfx 21 N( , 2)222)(21)( xexf2 49RxexfXx ,21)(222)( f(x)x0若若固定固定,改变改变, ,则则越大越大, ,曲线越平坦曲线越平坦, , 越小越小, ,曲线越陡峭曲线越陡峭小方差的概念直观背景也可以通过正态分布中方差的概念直观背景也可以通过正态分布中不同不同2 2的密度曲线反映出来的密度曲线反映出来: :50解解 DX22)(EXEX 2102)()( dxexxx222)()2( 222)()()1( 2 例例
25、5DXGX求求设设, ),( 51达达到到最最小小值值时时，当当证证明明)(xfEXx ,)()(2RxxXExf 设设证证)2()()(222xxXXExXExf )()2(22xExXEEX 222xxEXEX 022)( xEXxf02)( xf又又例例6EXx 解解得得达达到到最最小小值值时时，当当所所以以)(xfEXx DXEXXEEXf 2)()(最最小小值值为为52例例7 已知已知X ,Y 相互独立，且都服从相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求求 E( | X Y | )解解)5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX1)(, 0)( YXDYXE故故)1 ,
26、0( NYX dzezYXEz2221|)(| 222202 dzezz53例例8 设设X 表示独立射击直到击中目标表示独立射击直到击中目标 n 次为止次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概所需射击的次数，已知每次射击中靶的概 率为率为 p ，求，求EX , DX 解解 令令 X i 表示击中目标表示击中目标 i - 1 次后到第次后到第 i 次击中次击中 目标所需射击的次数，目标所需射击的次数，i = 1,2, n 1, 2 , 1,)(1 qpkpqkXPki 1111kkkkikqpkpqEXpqp1)1(12 nXXX,21相互独立相互独立 ,且且 niiXX154 11112)
27、1(kkkkikpqpqkkEXpqkkpqkk1)1(22 pxdxdpqqxkk1022 pxpqqx1)1(23 22pp 222112pppppDXi 55pnEXEXnii 1故故21)1(ppnDXDXnii 56例例9 0, 0, 0,ln)(,21,21XXXXgYUX设设求求 EY , DY 解解 dxxfxgEYX)()( 21211)(dxxg 2101lndxx2121ln21 212ln21 57 dxxfxgEYX)()(22 21021lndxx2ln12ln2121ln121ln2122 22)(EYEYDY 22212ln212ln12ln21 432ln21
28、2ln412 58标准化随机变量标准化随机变量DXEXXX 为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量. 显然，显然，1, 0 DXEX则称则称且且都存在都存在方差方差的期望的期望设随机变量设随机变量,0, DXDXEXX59仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：例如：XP -1 0 1 0.1 0.8 0.1YP -2 0 20.025 0.95 0.025与与2 . 0, 0 DXEX2 . 0, 0 DYEY它们有相同它们有相同的期望的期望,方差方差但是分布但是分布却不同却不同60但若已知分布的类型及期望和方差，常能但若已知分布的类型及期
29、望和方差，常能确定分布确定分布例例10 已知已知 X 服从正态分布服从正态分布, EX = 1.7, DX = 3, Y = 1 2 X , 求求 Y 的密度函数的密度函数解解 1234, 4 . 27 . 121 DYEY yeyfyY,621)(24)4 . 2(2 61例例11 已知已知 X 的密度函数为的密度函数为 其它其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中其中 A ,B 是常数，且是常数，且 EX = 0.5 求求 A ,B 设设 Y = X 2, 求求 EY ,DY 62解解 (1)1)()(102 dxBxAxdxxf21)()(102 dxBxAxxdxxxf213412
30、3 BABA66 BA63(2)103)66()(102222 dxxxxdxxfxEXEY71)66()(1024442 dxxxxdxxfxEXEY70037)(22 EYEYDY64 4.4 协方差及相关系数协方差及相关系数问题问题 对于二维随机变量对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布已知联合分布边缘分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间随机变量各自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系可能还有某种联系. 问题是用一个什么样问题是用一个什么样的数去反映这种联系的数去反映这种联系. )(EYYEXXE 数
31、数反映了随机变量反映了随机变量X ,Y 之间的某种关系之间的某种关系65定义定义 称称为为X ,Y 的的协方差协方差 ，记为，记为 )(),(EYYEXXEYXCov 1. 协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义DYDXYXCovXY),( 为为X ,Y 的的 相关系数相关系数若若, 0 XY 称称 X ,Y 不相关不相关 )(EYYEXXE 称称66则则若若特特别别地地,YX DXEXXEXXCov 2)(),(因此因此, ,方差是协方差的特例方差是协方差的特例协方差刻画两个随机变量之间的协方差刻画两个随机变量之间的“某种某种”关系关系可以证明可以证明 若若(X,Y)服从二维正态分布服
32、从二维正态分布, 即即则则 ),(),(222211 NYX21),( YXCov 2121),(DYDXYXCovXY67若若 ( X ,Y ) 为离散型，为离散型，ijijjipEYyEXxYXCov 11)(),(若若 ( X ,Y ) 为连续型，为连续型， dxdyyxfEYyEXxYXCov),()(),( )(),(EYYEXXEYXCov 68由定义可得由定义可得),(2)(YXCovDYDXYXD EXEYXYEYXCov )(),( 协方差的性质：协方差的性质：),(),()1(XYCovYXCov 为常数为常数baXYCovabbYaXCov,),(),()2( ),(),
33、(),()3(2121YXCovYXCovYXXCov 计算协方差计算协方差的常用公式的常用公式69相相关关系系数数的的性性质质：1|)1( XY 则则若若,)2(baXY 1010XYXYaa ，时时，时时1)(1)3( baXYPXY 0,)4( XYYX 则则相相互互独独立立若若注注:密密切切程程度度之之间间的的线线性性关关系系的的的的大大小小反反映映了了YXXY, 之间无线性关系之间无线性关系时时YXXY,0 之之间间具具有有线线性性关关系系时时YXXY,1 70不相关不相关与与YX0 XY 0),( YXCovEXEYXYE )(注注: :显然显然相关相关YXXY,0 YXXY,0
34、不相关不相关YXXY,0 正相关正相关YXXY,0 负相关负相关),1(YXXY 完全正相关完全正相关),1(YXXY 完全负相关完全负相关独独立立YX,独独立立不不相相关关不不一一定定有有YXYX,不不相相关关独独立立则则服服从从二二维维正正态态分分布布若若YXYXYX,),(71求求 Cov (X ,Y ), XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 已知已知 X ,Y 的联合分布为的联合分布为XY 1 010 p 0 0 q0 p 1p + q = 1解解 1 0 p qX Y P 72pqDYpqDXpEYpEX ,pXYE )(1),()(),( DYDXYXCovp
35、qEXEYXYEYXCovXY 73 例例2 设设 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ), 求求 XY 解解dxdyyxfyxYXCov),()(),(21 dsdtestttstysx222221121)()1(2122112 令令dudteutttuuts22221)1(2221)(12 令令74dtetduetu222212)1(222112 21 XY若若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, )则则X ,Y 相互独立相互独立X ,Y 不相关不相关75例例3 设设 ( X ,Y ) N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求
36、求 XZ解解4, 1 DYDXEYEX2),(,21 YXCovXY 6),(),(),( YXCovXXCovZXCov12),(2)( YXCovDYDXYXDDZ231226 XZ 76例例4由由是是否否相相互互独独立立？说说明明理理与与问问）（是是否否相相关关？与与并并问问的的协协方方差差和和相相关关系系数数，与与求求和和方方差差的的期期望望求求的的概概率率密密度度函函数数为为设设XXXXXXDXEXXxexfXx3)2()1(),(,21)( 解解dxexEXx 21)1(0 7722)(EXEXDX 0212 dxexxdxexx 022122 XEEXXXEXXCov )(),(
37、)2(021 dxexxx0 XDDXXXCovXX),( 0 不不相相关关与与所所以以XX78独独立立性性由由其其定定义义来来判判断断)3(),()(, 0aXaXa 事事件件对对于于任任意意的的常常数数因因此此有有且且, 1)(, 0)( aXPaXP)(),(aXPaXaXP )()()(aXPaXPaXP )()(),(aXPaXPaXaXP 所所以以不不独独立立与与故故XX79例例5的的联联合合密密度度函函数数求求相相互互独独立立时时，当当是是否否相相关关？是是否否独独立立？，问问的的相相关关系系数数与与求求又又正正态态分分布布都都服服从从是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量和和
38、设设),(,)3()2()1(, ), 0(,2 bYaXbYaXNYX 解解), 0(, ), 0()1(22 NYNX2, 0 DYDXEYEX)(bYaXEE bEYaEX 0 )(bYaXEE bEYaEX 0 80也也相相互互独独立立所所以以相相互互独独立立已已知知bYaXYX,故故有有)(bYaXDD DYbDXa22 222)( ba )(bYaXDD DYbDXa22 222)( ba )()(2222YbXaEE 2222EYbEXa 222)( ba DDCov),( 所所以以 DDEEE )(2222baba 810)2( 时时，当当ba不相关不相关 ,0 时时，当当ba相关相关 ,的的线线性性组组合合为为独独立立都都服服从从正正态态分分布布且且相相互互由由于于YXYX, )(0(,222 baN ，都都服服从从正正态态分分布布所所以以不不相相关关与与独独立立是是等等价价的的在在正正态态分分布布中中,时时当当所所以以ba 独独立立 ,时时当当ba 不独立不独立 ,82)3()2 , 0(,2222 aNba正正态态分分布布都都服服从从即即相相互互独独立立时时当当 22222221)( aseasf 22222221)( ateatf 222242241),( atseatsf 所所以以