3.4-多维随机变量的数字特征课件.ppt

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1、3.4 3.4 多维随机变量的数字特征多维随机变量的数字特征u 数学期望数学期望u 方差方差u 协方差与相关系数协方差与相关系数3.4.1 多维随机变量的函数的数学期望多维随机变量的函数的数学期望 (,)(,)ijijijE g X Yg xyp 定理定理 3.4.1：以二维为例：以二维为例1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X Yg x y p x y dxdy ( , )p x y联合概率密度为联合概率密度为(,)Zg X Y 是随机变量是随机变量 X， Y的函数的函数, 离散型离散型 多维随机变量的边际分布的数学期望多维随机变量的边际分布

2、的数学期望(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量.()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p.( )jjjjjijjjjiE Yy P Yyy py p()( )( ,),XE Xxpx dxxp x y dxdy ( )( )( ,).YE Yypy dyyp x y dxdy(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量以二维随机变量为例以二维随机变量为例二维随机变量的边际分布的方差二维随机变量的边际分布的方差(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量222.( )iiiiiijiiijVar XxEXP XxxEXpxE

3、Xp222.( )jjjjjijjjjiVar YyEYP YyyEYpyEYp2()( ,),Var XxEXp x y dxdy 2( )( ,).Var YyEYp x y dxdy(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量3.4.2 数学期望与方差的性质数学期望与方差的性质推广：推广：()()( )E XYE XE Yu .性质性质3.4.11212()()()()nnE XXXE XE XE Xu性质性质3.4.2 当随机变量当随机变量 3.4.2 数学期望与方差的性质数学期望与方差的性质,X Y相互独立时相互独立时推广：推广： 1212()() ()()nnE X

4、 XXE XE XE X12,nXXX相互独立时相互独立时当随机变量当随机变量 ()() ( )E XYE X E Yu3.4.3 当随机变量当随机变量3.4.2 数学期望与方差的性质数学期望与方差的性质()()( )Var XYVar XVar Y,X Y相互独立时相互独立时 推广：推广： 相互独立时相互独立时 当随机变量当随机变量12,nXXX12212()()()()nVar XXXVar XVar XVar X例例3.4.33.4.3：已知：已知 相互独立，且相互独立，且123,XXX123(0,6),(1,3),(3)XUXNXExp求求 的数学期望和标准差。的数学期望和标准差。12

5、323YXXX 例例3.4.4：设一袋中装有：设一袋中装有m只颜色各不相同的只颜色各不相同的球，每次从中任取一只，有放回地摸取球，每次从中任取一只，有放回地摸取n次，以次，以X表示在表示在n次摸球中摸到球的不同颜色的数目，次摸球中摸到球的不同颜色的数目，求求E（X）.在长为在长为a a的线段上任取两点的线段上任取两点X X和和Y Y，求此两，求此两点间的平均长度点间的平均长度. .例例3.4.1设设 和和 是相互独立同分布的随机变量，是相互独立同分布的随机变量，其共同分布为指数分布其共同分布为指数分布 ，试求，试求 的数学期望的数学期望. .例例3.4.21X2Xexp( )12max(,)Y

6、XX注意：若某些场合所涉及的求和或求积难以计算，如注意：若某些场合所涉及的求和或求积难以计算，如例例3.4.2，则可以先求随机变量函数的分布，然后再，则可以先求随机变量函数的分布，然后再由函数的分布求数学期望。由函数的分布求数学期望。3.4.3 协方差协方差 对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)(X,Y)，除了讨论，除了讨论X X与与Y Y的的数学期望和方差外，还需讨论描述数学期望和方差外，还需讨论描述X X与与Y Y之间相之间相互关系的数字特征。互关系的数字特征。 定义：定义： ()( )(, )(, )().( )EXE XYE YXYCov X YCov X YEXE XYE Y量

7、称为随机变量 与 的协方差，记为：，即v协方差的含义：协方差的含义：(, )()( ) .Cov X YEXE XYE Y1.(, )0,XY;Cov X Y 当时 表示 与 正相关2.(, )0,XY;Cov X Y 当时 表示 与 负相关3.(, )0,XY;Cov X Y 当时 表示 与 不相关v协方差的性质：性质协方差的性质：性质3.4.4 - 3.4.103.4.4 - 3.4.10 ()()( )2(,)3. Var XYVar XVar YCov X Y (,1. )()()( )Cov X YE XYE X E Y (,)(,) ,6. Cov aX bYabCov X Ya

8、b是常数 ().,05Cov X a ,(,2)0XYCov X Y若和相互独立 则. (,)( ,4. )(,)()Cov X YCov Y XCov X XVar X，1,1111()()2():nnniiiijiiijVarXVar XCov X X推广 (,)(,)()7.,Cov XY ZCov X ZCov Y Z 例：设例：设X,YX,Y服从同一分布，其分布列为：服从同一分布，其分布列为： X -1 0 1X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/4 1/2 1/4 已知已知P(|X|=|Y|)=0,P(|X|=|Y|)=0,判断判断X X和和Y Y是否不相关？是否是

9、否不相关？是否 独立？独立？ .,10111 401 211 41 41 21 4jiX YXYpp解： 先求的联合分布列：000001 41 41 41 4()( 1)1 401 21 1 40()( 1)(0)1 4(0)( 1)1 40(1)1 4101 40E XE XY (, )0,OVYCX YX所以，与即不相关.(1,1)0,(1) (1)1 4 1 4P XYP XP Y (1,1)(1) (1)P XYP XP YXY 所， 与以不独立。.10111 401 211 41 41 21 4jiXYpp000001 41 41 41 4XYXYXYXY从而可知，当 与 相互独立与

10、 一定不相关反之，若 与 不相关， 与 却不一定相互独立因此，因此，独立独立是比是比不相关不相关更强的一个概念，独立更强的一个概念，独立的证明需要从分布的角度说明，而不相关则可的证明需要从分布的角度说明，而不相关则可以从数字特征的角度说明。以从数字特征的角度说明。:(, ):1(),01,023( , )0,(238).X Yxyxyp x yVarXY例设二维随机变量的联合密度函数为其他试求3.4.4 相关系数相关系数 定义：定义： (,()0,( )0, )(, )()( )XYXYCov X YX YVar XVar YXCorr X YVarYrX Var Y设()是二维随机变量,且则

11、称为随机相关变量 与 的,也记为或者.相关系数是一系数个无量纲的量2. (, )1,(, )10)(, )101Corr X Ya bP YaXbCorr X YaCorr X Ya 特别的， 当时，； 时数，使，存在常 相关系数的性质：相关系数的性质：1. (,)1Corr X Y可由引理可由引理3.4.1（施瓦茨不等式）的结论直接得到。（施瓦茨不等式）的结论直接得到。,X Y相关系数是一个用来刻画之间紧密线性关系程度的量,X Y当Corr(X,Y)=0时，称间没有线性关系；1,X Y当Corr(X,Y)= 时，称间存在完全正相关关系；1,X Y当Corr(X,Y)=- 时，称间存在完全负相

12、关关系；11,X Y当- Corr(X,Y) 时，称间存在一定的线性相关关系；在描述随机变量相关性大小时，相关系数通常比协在描述随机变量相关性大小时，相关系数通常比协方差更常用。方差更常用。 例：已知随机向量（例：已知随机向量（X X，Y Y）的联合密度函数为：）的联合密度函数为：8,00.5 0 ,13( , )0,xyx yp x y，其他求求Corr(X,Y) (P185 Corr(X,Y) (P185 例例3.4.10)3.4.10) XYXY注意， 与 不相关，只是对于从相关系数的角度再次说明独立和不相关的线性关系而言的与 相互独立是就一般关关系:系而言的(,)0XYCorr X Y

13、随机变量与 不相关，即的等价条件有：1. (, )0Cov X Y 2. ()() ( )E XYE X E Y3. Var()()( )XYVar XVar YXYXYXYXY我们已经知道，当与 相互独立与 一定不相关反之，若与 不相关，与 却不一定相互独立但对于正态分布来说，独立与不相关却是等价的。但对于正态分布来说，独立与不相关却是等价的。 二元正态分布二元正态分布设二维随机变量设二维随机变量 (, )X Y的概率密度为的概率密度为 12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)p x yxxyy (,)xy 221212, 120,0, 11 其中其

14、中均为参数均为参数 则称则称 (, )X Y服从参数为服从参数为 1212, 的的二元正态分布二元正态分布 Oxyz221212(, )N 记为记为例：如果二维随机变量（例：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布）服从正态分布 221212,N 则两个边际分布分别是什么？则两个边际分布分别是什么？ 2211222222121212()()()()11exp22(1)21xxyydy2212122211()122(1)212121xyxeedy( )( , )XPxp x y dy解：解：212122212212()211()2(1)2212121xyxeedy 2121221221(12()2

15、1)221121xyxedey2121()211 2xex 2222()221 ( ), 2xYpyey 同理即 二 维 正 态 分 布 的两 个 边 缘 分 布 都 是一 维 正 态 分 布 ，并 且 都 不 依 赖 于 参 数结论：如果二维随机变量（结论：如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布）服从正态分布 221212,N 则两个边际分布分别服从正态分布则两个边际分布分别服从正态分布 211,XN 222,YN 与参数与参数 无关无关 可见，联合分布可以确定边际分布，可见，联合分布可以确定边际分布，但边际分布不能确定联合分布但边际分布不能确定联合分布v 2122211222221212(

16、, )1 p( , )21()()()()1exp22(1) X Yx yxxyyXYXYXY 例：设服从二维正态分布，它的概率密度为：求和 的相关系数，并证明 与 相互独立与 不相关,X Y解：已经证明的边际概率密度为：121()2211( ) 2xXpxex ；222()2221( ) 2yYpyey 续221122(),()( ),( )E XVar XE YVar Y所以；12(, )()()Cov X YEXY而12()() ( , )xyp x y dxdy 121()221212221222122()()211()2(1)21Xxedxyexpyxdy 121()22122121

17、1()()2Xxexdx 121()2222111() 2Xxedx 221121 (, )(, )()( )Cov X YCorr X YVar XVar Y于是2211222222121212p( , )()()()()11exp22(1)21x yxxyy 22222211222222121122()()()11exp2() 2(1)21xxyy 2222222212222211211222222212222111121()()()()()1exp2()2(1)xxyxxy2221122222222211122()()11exp()(12(1)21xxy 2221122222221112

18、()()111expexp() 22(1)21xxy(, ),X YX YX Y即二维正态变量的概率密度中的参数就是的相关系数，因而二维正态变量的分布完全可由各自的均值、方差以及它们的相关系数所确定。( , )0( , )( , ) X YXYCorr X YX YXYXY若服从二维正态分布，那么 和 相互独立现在知道，从而知：对于二维正态变量来说，和 不相关与 相互独立v 21222112222212121 p( , )21()()()()1exp22(1) x yxxyy 121()2211( ) 2XXpxex ；222()2221( ) 2YYpyey 2212221212()()11

19、0,p( , )ex p2 2 xyx y 当 = 时 3.4.5 随机向量的数学期望与协方差随机向量的数学期望与协方差定义定义3.4.3 记记n维随机向量为维随机向量为 ，若其每个分量的数学期望都存在，则称若其每个分量的数学期望都存在，则称12(,)XnXXX12()(),(),()XnEE XE XE X1121212212()()()(,)(,)(,)()(,)(,)(,)()XXXXnnnnnEEEVar XCov XXCov XXCov XXVar XCov XXCov XXCov XXVar X为该随机向量的方差为该随机向量的方差-协方差阵，简称协方差阵，协方差阵，简称协方差阵，记为记为 。 为为n维随机向量维随机向量 的数学期望向量，简称为的数学期望向量，简称为 的数学的数学期望，而称期望，而称XX()XCov定理定理3.4.2 n维随机向量的协方差阵维随机向量的协方差阵 是一个对称的非负定是一个对称的非负定矩阵矩阵.()(,)Xijn nCovCov XX