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1、初中数学竞赛专题选讲非负数初中数学竞赛专题选讲非负数一、内容提要一、内容提要1.非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作 a0,读作 a 大于或等于零，即 a 不小于零.2.初中学过的几种非负数：实数的绝对值是非负数.若 a 是实数，则a0.实数的偶数次幂是非负数.若 a 是实数，则 a2n0（n 是正整数）.算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数.若a是二次根式，则a0，a0.一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有两个实数根，则 b24ac0.若 b24ac0(a0)，则二次方程 ax2+bx+c=0
2、 有两个实数根.数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3.非负数的性质：非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a2有最小值 0（当 a=0 时），1x也有最小值 0（当 x=1 时）.如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若 a0 且a 0，则 a=0；如果 ab0 且 ba0，那么 ab=0.有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若 a，b，x 都是实数数，则 a2+b20,ab0,a2x0.若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如若1a（b3）2+12 c=0那么0120)3(012cba即01
3、20301cba5.031cba.二、例题二、例题例 1.求证：方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x4+2x2+1）+(x2+2x+1)+4=0即（x2+1）2+(x+1)2=4（x2+1）20，(x+1)20，（x2+1）2+(x+1)20.但右边是4.不论 x 取什么实数值，等式都不能成立.方程 x4+3x2+2x+6=0 没有实数根.例 2.a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(aaaa有意义？解：二次根式的被开方数（a2）()1a与(a2)(1)a都是非负数，且（a2）()1a与(a2)(1)a是互为相反数，（a2）()1a0.（非负数性质
4、 2）a2=0；或1a=0.a1=2,a2=1,a3=1.答：当 a=2 或 a=1 或 a=1 时，原二次根式有意义.例 3.要使等式（231x）2+48162xxx0 成立，x 的值是.（19911991 年泉州市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题）解：要使原等式成立（231x）20，48162xxx0.48162xxx44xx1，(x40)（231x）21，且 x40.即041)3122xx（解得493xxx或x=3.答：x 的值是 3.例 4.当 a,b 取什么实数时，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？（19871987 年全国初中数学联
5、赛题）年全国初中数学联赛题）解：当0 时，方程有实数根.解如下不等式：2（1a）24(3a2+4ab+4b2+2)08a216ab16b2+8a40，2a2+4ab+4b22a+10，（a+2b）2+(a1)20（a+2b）20 且(a1)20，得（a+2b）2+(a1)20只有当（a+2b）20 且(a1)20不等式和才能同时成立.答：当 a=1 且 b=21时，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根.三、练习三、练习1.1.已知在实数集合里xx33有意义，则x=_.2.2.要使不等式（a+1）20 成立，实数 a=_.3.3.已知1212bba0，则a=,
6、b=,a100b101=_.4.4.把根号外因式移到根号里：aa=，bb=，cc1=.5.如果 ab,那么)()(3bxax等于（）（A）（x+a）)(bxax.(B)（x+a）)(bxax.(C)（x+a）)(bxax.(D)（x+a）)(bxax.（19861986 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）6.已知 a 是实数且使 aa=x,则 x=.(1990(1990 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)7.已知 a,b 是实数且 a2111bb.化简1214422abbaaba后的值是.(1990(1990 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)8.当
7、x=时，3（x2）有最大值.（19861986 年泉州市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题）9.已知：,141ca且a1,4c都是整数.求 a,c 的值.（19891989 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）10.求方程 x2+y2+x2y2+6xy+4=0 的实数解.11.求适合不等式 2x2+4xy+4y24x+40 的未知数 x 的值.12.求证：不论 k 取什么实数值，方程 x2+(2k+1)xk2+k=0 都有不相等的实数解.13.比较 a2+b2+c2与 ab+bc+ca 的大小.14.已知方程组azxyaxzyzxyzyx112的解 x,y,z 都是非负数.求 a 的值.练习题参考答案练习题参考答案1.32.13.1，1，14.3a，3b，c5.C6.0。因为左边a0，右边x0。7.a。b=1,a218.x=2,最大值39.0,141,01ca.4,2;4,05,1cacaca；10.222,2yxyx；1112yx12.8k2+1 13.用求差法，配方（乘上 20.5）14.a411