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1、初中数学竞赛专题选讲换元法初中数学竞赛专题选讲换元法一、内容提要一、内容提要1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法.2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系.例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进行代换.3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验.4.解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换.5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系数相等.例如：一
2、元四次的倒数方程 ax4+bx3+cx2+bx+a=0.两边都除以 x2,得 a(x2+21x)+b(x+x1)+c=0.设 x+x1=y,那么 x2+21x=y22,原方程可化为 ay2+by+c2=0.对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0，必有一个根是1.原方程可化为(x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0.ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0，这是四次倒数方程.形如ax4bx3+cx2bx+a=0 的方程，其特点是：与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.两边都除以 x2,可化为 a(x2+21x)b(xx1)
3、+c=0.设 xx1=y,则 x2+21x=y2+2,原方程可化为 ay2by+c+2=0.二、例题二、例题例 1.解方程1112xxx=x.解：设11xx=y,那么 y2=2x+212x.原方程化为：y21y2=0.解得y=0；或 y=2.当 y=0 时，11xx=0(无解)当 y=2 时，11xx=2，解得，x=45.检验（略）.例 2.解方程：x4+(x4)4=626.解：（用平均值24 xx代换，可化为双二次方程.）设 y=x2，则 x=y+2.原方程化为(y+2)4+(y2)4=626.(y+2)2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0整理，得y4+24y2297=0.(这
4、是关于 y 的双二次方程).(y2+33)(y29)=0.当 y2+33=0 时，无实根；当 y29=0 时，y=3.即 x2=3，x=5；或 x=1.例 3.解方程：2x4+3x316x2+3x+2=0.解：这是个倒数方程，且知 x0，两边除以 x2,并整理得 2(x2+21x)+3(x+x1)16=0.设 x+x1=y,则 x2+21x=y22.原方程化为2y2+3y20=0.解得y=4；或 y=25.由 y=4 得x=2+3；或 x=23.由 y=2.5 得x=2；或 x=21.例 4解方程组01012124012522222yxyxyxyxyxyx解：（这个方程组的两个方程都是二元对称
5、方程，可用基本对称式代换.）设 x+y=u,xy=v.原方程组化为：01021201222vuuvuu.解得374vu；或91132vu.即374xyyx；或91132xyyx.解得：33213321yx；或33213321yx；或412412yx；或412412yx.三、练习三、练习解下列方程和方程组：（1 到 15 题）：1.)7(27xxxx352x.2.(16x29)2+(16x29)(9x216)+(9x216)2=(25x225)2.3.(2x+7)4+(2x+3)4=32.4.(2x2x6)4+(2x2x8)4=16.5.(2115x)4+(2315x)4=16.6.xxxx11
6、2=223.7.2 2x43x3x23x+2=0.8.19182222xyyxyxyx9.160311122yxyx.10.563964467222xxxxxx.11.(6x+7)(6x+7)2 2(3x+4)(x=1)=6.12.13511yxyx.13.1025yxxyyx.14.01823312yxyyyxyx.15xxxx111.16.分解因式：(x+y2xy)(x+y2)+(1xy)2；a4+b4+(a+b)4.17.已知：a+2=b2=c2=d2,且 a+b+c+d=1989.则 a=_,b=_,c=_,d=_(19891989 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题)1
7、8.a表示不大于 a 的最大整数，如2=1，2=2，那么 方程 3x+1=2x21的所有根的和是_.(1987(1987 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)练习题参考答案练习题参考答案1.2212292.43343.254.2,23,46515.3231-32211，6.17.21,28.727272722332yxyxyxyx9.555555555555412124yxyxyxyx10.7,111.32,3512.10358yxyx13.8228yxyx14.1031041031041513yxyxyxyx15.x=25116.设 x+y=a,xy=b设 a2+b2=x,ab=y17.设原式=k,k=44218.2 可设 2x21=t,x=21t+41代入3x+1