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1、初中数学竞赛专题选讲 逆推法一、内容提要1. 如果把探求问题的常规方法叫做顺向推理，那么与习惯方法相反的逆向推理方法，就可以叫做逆推法.顺与逆是相对而言，没有绝对的界限.2. 逆向推理包括了公式、法则、定义 、定理的逆向应用. 例如： 乘法公式的逆向应用之一，就是因式分解. 还有其他变形的应用，如：(x+y)2=x2+xy+y2，以x, y的基本对称式，表示x, y的平方和、立方和(差)：x2+y2=(x+y)22xy ， x3+y3=(x+y)33xy(x+y). 分数的加减法则的逆向应用，可把一个分数(或整数)化为几个分数的和(差)： 1=， . “互为相反数相加得零”的逆向应用：0=a+
2、(a).在因式分解中折项，添项，配方都用到它，在证明恒等式或化简、计算中也常用它. 公式的逆向应用要注意公式成立的前提.例如：的逆向应用是：当a0时，a=；当a0 时,a= ；如 xy0时， 则xy=. 因为定义可以反叙，所以定义既是判定又是性质. 例如：相似多边形的定义： .方程解的定义：若m 是方程ax2+bx+c=0的解，则 am2+bm+c=0；反过来，若an2+bn+c=0,则n是方程ax2+bx+c=0的解. 对于定理的逆用，当然要先判断定理的逆命题为真.一个定理的题设和结论不只一项时，交换题设和结论中的一项，就组成一个逆命题，故逆命题有多个，有真，有假.一般地，若题设和结论都是唯
3、一对象的定理，它有逆定理；对于分段式的定理也有逆定理.3. 解答数学题通常是：在顺向推理有困难时用反向推理；在正面探求有困难时用反面探求；直接解答有困难时用简接解答.顺、逆两种方法都能熟练掌握，灵活应用，那么解题能力就能较大地提高.二、例题例1解方程(a2x2+(x+c2a2=0 . (a2.分析：由观察法，可得到一个根为1 (方程各系数的和是0). 再用韦达定理来解：方程a2+(+ c2a2=0 ， 有一个实数根是1 .可设另一根为x2， 根据韦达定理得 1x2=. 解得 x2=.原方程的解是x1=1, x2=.例2. 化简.解：0，= =. 例3.已知：， .求证：.分析：本题直接证明有困
4、难，不论是从左到右或从右到左，都难以完成，估计是要从某一个已知不等式出发.试用逆推法，从结论倒推出应有的不等式.由两边平方，得a2+2ab+b21+2ab+a2b2.a2+b2a2b210, 分解因式：（1b2）(a21)0, 由已知可推出这不等式.证明： ，a21，b21，a210，1b20.（a21）（1b2）0, a2+b2a2b210,a2+b22ab1+a2b2+2ab(a+b)2(1+ab)2 . .例4. 已知：四边形ABCD中，ABBDACCD.求证：ABAC.分析：直接推导，应证明 BDCD或BDCD.即证明BCD1，有困难，不妨用反证法.这也是一种逆推法，从反面推导.证明：
5、设AB不小于AC，即ABAC，2ABC. BCD2，ABC1.BCD1.BDCD.ABBDACCD，这和已知条件相矛盾，故假设不能成立. ABAC.例5. 有100个人排成一列，自1往下报数，报奇数的人，走出队列，留下的人按原顺序重新报数，报奇数的又走出队列，这样继续下去，最后留下一人，问这人第一次报数是多少？解：从第1，2，3次往下推，可知人数分别是100，50，25，12，6，3人，要确定留下的人，依次是报几号，最好是用逆推法，由最后一次，在3人中的报号必定是2；上一次，在6人中的报号必定是报4；再上一次在12人中，必是报8. 其规律是：21，22，23，2 n. 所以，第一次报数应是小于
6、100的2的最高次幂，2610027，这人第一次报数是2 6即64.例6.计算：3517257(.分析：本题直接计算有困难，可由通式，用确定n的自然数值，回还原数3，5，17，257，再逆用平方差公式a+b=, 就可很快得出结果 .解：原式= (28+1)(=.=(221)(22+1)(24+1)(28+1)(= 三、练习1. 已知：a,b,c,d 都是实数 . 求证： (a2+b2)(c2+d2) (ac+bd).2. 已知：a,b,c 是ABC的三边长. 求证： (ab+bc+ca)(a+b+c)1).化简：(4a28. 小王卖馒头，第一次卖去一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次
7、又卖去剩下的一半又半个，这时，还剩有馒头一个，问小王共拿几个馒头来卖？9. 三个容器内都有水，如果把甲容器内的水的倒入乙容器，再把这时乙容器内的水的倒入丙容器，最后把丙容器内现有的水的倒入甲容器，则各容器内的水都是9升，问原有各容器内的水各是几升？10. 求证： 不论a 取什么值，如下方程都有实数解. (1+a)x4+x3(3a+2)x24a=0.11. 要使下列三个方程中至少有一个方程有实数根，m的取值应是什么？2x22x+m=0, x2 +2mx+mm+=0, (m+1)x22mx+m+2=0.12. 90张卡片，每张都写上一个非负整数，这90个数字的和不超过1979求证90张卡片中至少有
8、3张数字相同.13. 已知：ABC中边BC被点D和点E三等分，求证：AD，AE不能三等分BAC.14. 已知：不等式x2+ax+b0 的解集是2x3, 则a=_,b=_15. _.16. 已知：(，则x=_.17.计算的值是（）（A）1.（B）5.（C）.（D）5. (2000年全国初中数学联赛题)练习题参考答案1，2两题都可以用求差法证明，也可用反证法.3.由已知a-1,b2是方程x2+x-1=0相异的两根4.由已知x,y,z至少有两个是互为相反数5.k=-1,26.可由逆推而出 7. 08. 15 个9.甲12，乙8，丙7.10.先化为关于a的方程，（x4-3x2-4）a=2x2-x3-x4，0a=0时,a有一切实数解11.用反推法，若三个方程都没有实数根，解不等式组得m的值是，当m或m 1时，三个方程中至少有一个方程有实数根.10. 反推若只有两张相同，则（01244）219801979，所以要把1张调换小于44的非负整数，于是11. 用反证法，设BADDAEEAC，则，即ADBE，同理AEDC，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，12. a=-5,b=6. 13. 15. .14. 16. x=2,x=2.15. 17.（C）.