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1、初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根初中数学竞赛专题选讲一元二次方程的根一一、内容提要、内容提要1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的实数根，是由它的系数 a,b,c 的值确定的.根公式是：x=aacbb242.(b24ac0)2.根的判别式1实系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是：b24ac0.2有理系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有有理数根的判定是：b24ac 是完全平方式方程有有理数根.整系数方程 x2+px+q=0 有两个整数根p24q 是整数的平方数.3.设 x1,x2是 ax2+bx+c=0 的两个实数根，那么1ax12+bx1+c=0(a
2、0，b24ac0)，ax22+bx2+c=0(a0，b24ac0)；2x1=aacbb242，x2=aacbb242(a0,b24ac0)；3韦达定理：x1+x2=ab,x1x2=ac(a0,b24ac0).4.方程整数根的其他条件整系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有一个整数根 x1的必要条件是：x1是 c 的因数.特殊的例子有：C=0 x1=0，a+b+c=0 x1=1，ab+c=0 x1=1.二、例题二、例题例 1.已知：a,b,c 是实数，且 a=b+c+1.求证：两个方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（19901990 年泉州
3、市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题）证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么10 和20.即1040412cbacab由得 b 41，b+1 45代入，得ac=b+145，4c4a5：a24a+50，即（a2）2+10，这是不能成立的.既然10 和20 不能成立的，那么必有一个是大于 0.方程 x2+x+b=0 与 x2+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当120 时，则1和2中至少有一个是正数.例 2.已知首项系数不相等的两个方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0 和(b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0
4、(其中 a,b 为正整数)有一个公共根.求 a,b 的值.（19891989 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程的两个根是a 和12aa；方程两根是 b 和12bb.由已知 a1,b1 且 ab.公共根是 a=12bb或 b=12aa.两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2,abab+1=3,(a1)(b1)=3.a,b 都是正整数，3111ba；或1131ba.解得 42ba；或24ba.又解：设公共根为 x0那么（0)2()2()10)2()2()1(22202220bbxbxbaaxaxa先消去二次项：（b1）（a1）得（a2+2）(b1)
5、+(b2+2)(a1)x0+(a2+2a)(b1)(b2+2b)(a1)=0.整理得（ab）(abab2)(x01)=0.abx01；或(abab2)0.当 x01 时，由方程得a=1,a1=0，方程不是二次方程.x0不是公共根.当(abab2)0 时，得(a1)(b1)=3解法同上.例 3.已知：m,n 是不相等的实数，方程 x2+mx+n=0 的两根差与方程 y2+ny+m=0 的两根差相等.求：m+n的值.（19861986 年泉州市初二数学双基赛题年泉州市初二数学双基赛题）解：方程两根差是21xx 221)xx（212214)(xxxxnm42同理方程两根差是21yy mn42依题意，
6、得nm42mn42.两边平方得：m24n=n24m.（mn）(m+n+4)=0mn，m+n+40，m+n4.例 4.若 a,b,c 都是奇数，则二次方程 ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根nm（m,n 是互质的整数）.那么 a(nm)2+b(nm)+c=0,即 an2+bmn+cm2=0.把 m,n 按奇数、偶数分类讨论，m,n 互质，不可能同为偶数.当 m,n 同为奇数时，则 an2+bmn+cm2是奇数奇数奇数奇数0；当 m 为奇数,n 为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数偶数奇数奇数0；3当 m 为偶数,n 为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数偶数偶
7、数奇数0.综上所述不论 m,n 取什么整数，方程 a(nm)2+b(nm)+c=0 都不成立.即假设方程有一个有理数根是不成立的.当 a,b,c 都是奇数时，方程 ax2+bx+c=0(a0)没有有理数根.例 5.求证：对于任意一个矩形 A，总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比都等于 k(k1).（19831983 年福建省初中数学竞赛题）年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形 A 的长为 a,宽为 b，矩形 B 的长为 c,宽为 d.根据题意，得kabcdbadc.c+d=(a+b)k,cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c,d 是方程 z2(a+b)kz+abk=0
8、的两个根.（a+b）k24abk（a2+2ab+b2）k24abk=k(a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab,a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab.0.一定有 c,d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比都等于 k(k1).例 6.k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？（k21）x26(3k1)x+72=0；kx2+(k22)x(k+2)=0.解：用因式分解法求得两个根是：x1=112k，x2=16k.由 x1是整数，得 k+1=1,2,3,4,6,12.由 x2是整数，得 k1=1,2,3,6.它们的公共解是
9、：得 k=0,2,2,3,5.答：当 k=0,2,2,3,5 时，方程有两个整数解.根据韦达定理kkkkxxkkkkxx222221221x1,x2,k都是整数，k=1，2.（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把 k=1,1,2,2，分别代入原方程检验，只有当 k=2 和 k=2 时适合.答：当 k 取 2 和2 时，方程有两个整数解.三、练习三、练习1.写出下列方程的整数解：15x23x=0 的一个整数根是.23x2+(23)x 2=0 的一个整数根是.3x2+(5+1)x+5=0 的一个整数根是.2.方程（1m）x2x1=0有两个不相等的实数根，那么整数 m 的最大值
10、是.3.已知方程 x2(2m1)x4m+2=0的两个实数根的平方和等于 5，则 m=.4.若 x y，且满足等式 x2+2x5=0和 y2+2y5=0.那么yx11.（提示：x,y 是方程 z2+5z5=0的两个根.）5.如果方程 x2+px+q=0的一个实数根是另一个实数根的 2 倍，那么 p,q 应满足的关系是：.（19861986 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）6.若方程 ax2+bx+c=0 中 a0,b0,c0.那么两实数根的符号必是.（19871987 年泉州市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题）7.如果方程 mx22(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么
11、方程（m5）x22mx+m=0 实数根的个数是（）.(A)2（B）1（C）0（D）不能确定（19891989 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）8.当 a,b 为何值时，方程 x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？（19871987 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）9.两个方程 x2+kx1=0 和 x2xk=0 有一个相同的实数根，则这个根是（）(A)2（B）2（C）1（D）1（19901990 年泉州市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题）10.已知：方程 x2+ax+b=0 与 x2+bx+a=0 仅有一个公共根，那么 a,b 应
12、满足的关系是：.11.已知：方程 x2+bx+1=0 与 x2xb=0 有一个公共根为 m，求：m，b 的值.12.已知：方程 x2+ax+b=0 的两个实数根各加上 1，就是方程 x2a2x+ab=0 的两个实数根.试求 a,b 的值或取值范围.（19971997 年泉州市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题）13.已知：方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根和等于 s1，两根的平方和等于 s2,两根的立方和等于 s3.求证：as3+bs2+cs1=0.14.求证：方程 x22(m+1)x+2(m1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15.已知：a,b 是方程 x2+m
13、x+p=0 的两个实数根；c,d 是方程 x2+nx+q=0的两个实数根.求证：（ac）(bc)(ad)(bd)=(pq)2.16.如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于 5，两实数根的积是 2，那么这个方程是：.（19901990 年泉州市初二数学双基赛题）年泉州市初二数学双基赛题）17.如果方程（x1）(x22x+m)=0 的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数 m的取值范围是（）（A）0m1（B）m43（C）43m1（D）43m1（19951995 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）18.方程 7x2(k+13)x+k2k2=0(k 是整数)的两个实数根为，且 01，12，那么 k 的取值范围是()（A）3k4(B)-2k-1(C)3k4 或-2k-1（D）无解（19901990 年全国初中数学联赛题）年全国初中数学联赛题）练习题参考答案练习题参考答案1.0，1，12.03.1（舍去2）4.525.9q=2p26.一正一负7.D8.a=1,b=0.59.C10.a+b+1=0,ab11.m=1，b=212.1,241,1baba：13.左边a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)=14.用反证法，设 x10,x20,由韦达定理推出矛盾（m1）15.由韦达定理,把左边化为p,q16.x23x+2=017.C18.C