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1、电 力 系 统 稳 态 分 析合肥工业大学杨向真greenleaf_电力系统稳态分析电力系统稳态分析2016/1/111电力系统稳态分析 合肥工业大学第四章 复杂PS潮流的计算机算法2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学24.1 电力网络方程节点电压方程和节点导纳矩阵节点导纳矩阵的修改4.2 功率方程及其迭代解法功率方程和变量、节点的分类牛顿-拉夫逊迭代法4.3 牛顿-拉夫逊法潮流计算4.4 P-Q分解法潮流计算PS基本概念元件和电力网络等值电路和参数计算PF手算方法PF计算机算法有功和频率调整无功和电压调整4.1 电力网络方程2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学3电力网
2、络方程建立方法以节点电压为未知量,根据KCL写出独立的节点电流方程，然后联立求解出节点电压的方法。节点电压法：以回路电流为未知量，根据KVL列出独立回路的电压方程，联立求解的方法。回路电流法：PS的等值网络中有较多接地支路，独立的回路电流方程式往往多于独立的节点电压方程式数建立节点电压方程式前，可以不必将并联支路合并以减少方程式数对具有交叉跨接的非平面网络，建立独立节点电压方程式较建立独立回路方程式方便网络结构或变压器变比改变时，改变方程式组的系数较为方便节点电压法的优点因此，下面仅介绍节点电压方程以及节点导纳矩阵节点电压方程2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学4以电路中节点电压为
3、未知量,根据KCL写出独立的节点电流方程，然后联立求解出节点电压的方法。（1）把电压源与阻抗的串联形式化为电流源与阻抗的并联形式。（2）标出节点，并选取参考节点（本书一般都以大地作参考节点）。（3）列出节点电压方程。列方程方法：自导纳乘以该节点电压+与该节点相邻的互导纳乘以相邻节点的电压=流入该节点的电流源的电流-流出该节点电流源的电流（4）联立求解出上面所有的节点电压方程。1、列写节点电压方程的步骤节点电压方程2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学52.三母线系统的电力网络方程C1GS2GS1LS3LS1231l2l3l（1）节点注入功率111;GLSSS22;GSS33LSS 规
4、定由外部向系统注入的功率为节点功率的正方向。发电机发出的功率为正，负荷吸收的功率为负，注入节点的净功率为发电机功率与负荷功率的代数和。则各节点的注入功率为：则各节点的注入功率为：等值电源功率等值负荷功率节点电压方程2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学6（2）等值电路将各个线路和变压器用型等值电路表示，并将串联阻抗用串联导纳表示。在等值电路中，与节点注入功率相对应的电流称为节点注入电流，正方向与注入功率相一致。1231l2l3l12y120y210y23y230y320y330y130y310y13y1I2I3IC1GS2GS1LS3LS1231l2l3l节点电压方程2016/1/1
5、1电力系统稳态分析 合肥工业大学7（3）等值电路化简将接在同一节点上的接地导纳进行并联，得：101201302021023030310320330yyyyyyyyyy1231l2l3l12y120y210y23y230y320y330y130y310y13y1I2I3I1231l2l3l12y10y30y13y1I2I20y3I节点电压方程2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学8（4）节点电压方程1231l2l3l12y10y23y30y13y1I2I20y3I2202122123231212012232233()()=+()Iy UyUUyUUy UyyyUy U110112121
6、3131012131122133()()=()Iy UyUUyUUyyyUy Uy U3303133123321312323013233()()=+()Iy UyUUyUUy Uy UyyyU节点电压方程2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学9写成矩阵形式：111121312212223231323333=IYYYUIYYYUYYYUI自导纳111012132220122333301323YyyyYyyyYyyy122112133113233223YYyYYyYYy 1231l2l3l12y10y23y30y13y1I2I20y3I互导纳节点电压方程2016/1/11电力系统稳态分析
7、 合肥工业大学103.n母线系统的电力网络方程nnnnnnnnnnnIUYUYUYUYIUYUYUYUYIUYUYUYUY3322112232322212111313212111nnnnnnnnnIIIIUUUUYYYYYYYYYYYY32132132122322211131211BBBIUY节点导纳矩阵，只和系统的结构有关。写成矩阵形式为：节点导纳矩阵元素的确定方法2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学110,jiiiiUj iIYUYii（i=1,2,n）数值上等于在节点i施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点i注入网络的电流自导纳的确定方法自导纳的确定方法nnnnnnnnnI
8、IIIUUUUYYYYYYYYYYYY32132132122322211131211以右侧网络为例，取节点i=1，在节点1上施加单位电压源，节点2、3接地，据定义可知：2311111012130=+UUYUyyy（I）结论：结论：节点i的自导纳数值上等于该节点直接连接的所有支路导纳总和节点导纳矩阵元素的确定方法2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学12232321211203131130=UUUUYUyYUy （I）（I）(0,)jjjiiUjiIYUYji（j=1,2,n;i=1,2,n;i j）数值上等于在节点i施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点j注入网络的电流互导纳的确定
9、方法互导纳的确定方法nnnnnnnnnIIIIUUUUYYYYYYYYYYYY32132132122322211131211以右侧网络为例，取节点i=1，在节点1上施加单位电压源，节点2、3接地，据定义可知：结论结论：（1）节点j、i之间的互导纳数值上等于连接节点j、i支路导纳的负值（2）Yij=Yji（3）若j、i之间没有直接联系，则 Yij=Yji=02I1122U yI 1133U yI 节点导纳矩阵的形成2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学13方阵n*n阶（除参考节点外的节点数）对称矩阵，只需求取矩阵的上三角或下三角稀疏矩阵（互导纳特性决定），由于每个节点所连接的支路数总有
10、一定限度，随着节点数的增多，稀疏度（零元素数与总元素数的比值）愈高对角元素：自导纳，该节点所连导纳的总和。非对角元素：互导纳，连接节点i,j支路导纳的负值。变压器用反映变比特性的型等值电路。nnnnnnnnnIIIIUUUUYYYYYYYYYYYY32132132122322211131211按照自导纳和互导纳定义求取节点导纳矩阵时，仅需注意以下几点：节点导纳矩阵的修改2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学141112111212222212(0)1212ijnijniiiiijinjjjijjjnnnninjnnYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY(0)ijijij
11、YYY其中，(0)YYY 修改原因：PS计算中，往往要计算不同结线方式下的运行状况，如某电力线路或变压器投入前后的状况，以及某些元件参数变更前后的运行状况方法：不需要重新形成节点导纳矩阵，只需对原有节点矩阵作某些修改节点导纳矩阵的修改2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学15（1）在原n节点网络中的任一节点i增加一条导纳为yik的支路，k为新增节点新增对角线元素，Ykk=yik新增非对角元素中，Yik=Yki=-yik，其余均为0原有n阶矩阵中，节点i自导纳将增加Yii=yik电力网ikyikYB(nn)YB(n+1)(n+1)（2）在原n节点网络中i、j节点间增加一条导纳为yij的
12、支路电力网ijyijYB(nn)YB(nn)对i、j自导纳的影响：Yii=Yjj=yij对i、j间互导纳的影响：Yij=Yji=-yij其余元素不变n n+1n n节点导纳矩阵的修改2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学16（3）在原n节点网络中i、j节点间切除一条导纳为yij的支路。相当于在i、j间增加一条导纳为-yij的支路来处理对i、j自导纳的影响：Yii=Yjj=-yij对i、j间互导纳的影响：Yij=Yji=yij其余元素不变（4）把原n节点网络中i、j节点间的导纳由yij变成了yij电力网ij-yijyijyij电力网ij=-;=-=-iiijijjjijijijjiij
13、ijYyyYyyYYyy对i、j自导纳的影响：对i、j间互导纳的影响：其余元素不变相当于先切除yij，再增加yij节点导纳矩阵的修改（5）在原n节点网络中i、j节点间增加一条变压器支路，变比为kij对i自导纳的影响：Yii=YT/k2对i、j间互导纳的影响：Yij=Yji=-YT/k对j自导纳的影响：Yjj=YTZTk：1变压器模型，统一用：P67,图2-54e电力网/kTY2U1U1I2I2(1)TkYk(k 1)TYkij节点导纳矩阵的修改（6）在原n节点网络中i、j节点间的变压器变比由k变为k对i自导纳的影响：对j自导纳的影响：Yjj=0对i、j间互导纳的影响：可以看作是先切除一变比为k
14、的变压器，再增加一变比为k的变压器2211()iiTYYkk11()ijijTYYYkk （5）在原n节点网络中i、j节点间增加一条变压器支路，变比为k对i自导纳的影响：Yii=YT/k2对i、j间互导纳的影响：Yij=Yji=-YT/k对j自导纳的影响：Yjj=YT作业2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学19j0.21235j0.25j0.4-j5j0.4j0.14-j5各支路电抗的标幺值已给出，求下图所示网络的节点导纳矩阵。请写到作业本上nnnnnnnnnIIIIUUUUYYYYYYYYYYYY321321321223222111312114.2 功率方程及其迭代解法2016/
15、1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学20节点电压方程：节点导纳矩阵的元素为：节点功率方程-潮流方程：1(Y U)i1,2,nniijjjIijijijYGjB*1(P)j(QQ)(Y U)iiiiiGiLiGiLinijjijSU IPjQPU一、节点功率方程-潮流方程节点注入电流节点电压节点注入功率等值电源功率等值负荷功率工程实践中，已知的既不是节点电压，也不是节点电流，而是节点功率，从而功率损耗功率损耗节点功率方程2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学21节点功率方程组（极坐标）()*11111(cossin)1,2(Y U)(Y)(Y)(GjB)(cossin)(cossin
16、)(sinijijijiiiiinnnjjjiiiiijjiijjiijjjjjniijijjijijjnijijijijijijijjUU eUjinSPjQUU eU eUU eUUjUUGBjUUG，1cos)nijijijjB对于n个节点的电力网，有2n个非线性方程组，但有6n个变量等值电源功率：PGi、QGi等值负荷功率：PLi、QLi节点电压V和相位（或实部e和虚部f）11(cossin)(sincos)niGiLiijijijijijjniGiLiijijijijijjPPPUUGBQQQUUGB*1(Y U)niijjiiijSU IU不可控变量2n个（扰动变量）,d负荷消耗的
17、有功、无功功率无法控制，不受约束控制变量2n个，通过调速器来控制原动机的输入大小，从而控制发电机输出的有功功率通过励磁控制系统来控制发电机输出的无功功率；一方面考虑G运行极限（第二章），另一方面计及动力机械所受约束（下一章）状态变量2n个，x变量的分类及约束条件2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学22iiiiUef、或者、iGGiPQ、11(cossin)(sincos)niGiLiijijijijijjniGiLiijijijijijjPPPUU GBQQQUU GB iLLiPQ、minGimaxminGimaxGiGiGiGiPPPQQQ受控制变量控制的因变量，U由QG控制，
18、由PG控制minmaxmax|iiiijijVVV系统稳定性已知哪些条件才能求解该非线性方程组？潮流计算的定解条件2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学23已知/给定扰动变量和控制变量，运用功率方程组解出状态变量U，。那么，已知4n个变量，由2n个方程求解2n个变量，能解吗？变量给定方式一11(cossin)(sincos)niGiLiijijijijijjniGiLiijijijijijjPPPUU GBQQQUU GB能解吗？NO 不能求解原因：（1）已知注入功率，只能求解出相对角度ij，不可能求出绝对相位角，因为同一个相对角度对应不同的绝对角度i，j（2）死循环潮流计算的定解条
19、件2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学24变量给定方式二能解吗？YES为克服上述困难，在一个具有n个节点的系统中，对变量的给定稍作调整：c）只给定（n-1)对控制变量PGi、QGi，余下一对控制变量PGs、QGs待定，用于平衡网损，使系统功率保持平衡，（n-1)对变量已知；a）PLi、QLi均为已知，n对变量已知；能够求解的原因：由2n个方程求解出2n个变量，即n个节点电压大小Ui和n个相对角度ij，则：（1）由参考电压角度，可以求解出各个节点电压的绝对相位角；解决上述问题一（2）由n个节点大小和相位，可以求解网损，从而求解出剩余的一对发电机功率PGs、QGs；解决上述问题二b）给
20、定一对s、Us，其中:，1对变量已知；00.1sssUU 那么，已知4n个变量，由2n个方程求解2n个变量，能解吗？（数学给定方式）实际PS是如何求解的呢？PGi=QGi=0潮流计算的定解条件2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学25变量给定方式三（电力系统节点分类）PQ节点给定了节点的Pi、Qi（PLi、QLi、PGi、QGi），待求节点Ui、iPV节点给定了节点的Pi、Ui（PLi、PGi、QLi、Ui），待求量为QGi、i平衡节点给定了节点的Us、s（PLs、QLs），待求量为PGs、QGs 按给定出力发电的发电厂母线、没有其它电源的变电所母线及联络节点。所有负荷节点有无功储备
21、的发电厂母线、有无功调节设备的变电所母线。PV节点的特点：通过调节QGi，使电压保持恒定担任调频任务的发电厂母线或者选择容量较大、出线较多的发电厂母线。少量，甚至没有大量只有一个注意：（1）节点类型的划分不是绝对的、一成不变的（2）当可调节的无功功率出力保持在其上限或下限值，PV节点将转化为PQ节点2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学26高斯-塞德尔迭代法，适用于求解线性/非线性方程组二、高斯-塞德尔迭代法1.原理设有方程组11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xya xa xa xya xa xa xy可改写为：111221331122
22、21 1233223331 123233111xya xa xaxya xa xaxya xa xa（-）（）（）逐渐建立迭代的思想。2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学27二、高斯-塞德尔迭代法1)()()11122133111)1)()2221 1233221)1)1)3331 123233111kkkkkkkkkxya xa xaxya xa xaxya xa xa（）（）（）(1)(0)(0)1112213311(1)(1)(0)2221 123322(1)(1)(1)3331 123233111xya xa xaxya xa xaxya xa xa（-）（）（）(2)(1
23、)(1)1112213311(2)(2)(1)2221 123322(2)(2)(2)3331 123233111xya xa xaxya xa xaxya xa xa（-）（）（）),()()()1(1)1(2)1(1)1(knkikikknkixxxxxgx注意迭代格式，对最新计算出来的前（i-1）个第k+1次近似分量加以利用。2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学28二、高斯-塞德尔迭代法*1(Y U)niijjiiijSU IU*11(Y U)niiiijjjiiniiiiiijjjij iSPjQUUPjQY UY UU11niiiijjjiiij iPjQUY UYU潮流
24、方程(1)(1)(1)()()111111()(1)(1)(1)(1)112211()11kkkkkiiiiiiiiiiinnkiiikkkknnnnnnnnknnnPjQUY UY UY UY UYUPjQUY UY UYUYU),()()()1(1)1(2)1(1)1(knkikikknkixxxxxgx高斯-塞德尔，一般迭代公式1(1)i1in 1(1)n2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学29二、高斯-塞德尔迭代法高斯-赛德尔潮流计算步骤(1)(1)(1)()()111111()(1)(1)(1)(1)1112212()11111kkkkkiiiiiiiiiiinnkiii
25、kkkknnnnnnnnknnnPjQUY UY UY UY UYUPjQUY UY UYUYU0(1,2,3,1)iUin（）01.0 0iU（）(1)先假设一组：一般：(1)(1,2,3,1)iUin(2)计算：1()(1,2,3,1)kkiiUUin（），(3)检验：如该式不满足，则返回(2)，否则，返回(4);(4)计算平衡节点注入功率；(5)计算支路功率损耗.平衡节点：0nnUU11niiiijjjiiijiPjQUY UYU平衡节点2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学30二、高斯-塞德尔迭代法对各类节点的计算和处理（1）PQ节点：按标准迭代式直接迭代；（2）PV节点：已
26、知的是Pp 和Up，求解的是Qp，p；按标准迭代式算出Up(k)，p(k)后，(a)首先修正:()()kkpppUU(b)然后修正:()(1)()11*()()()1ImIm()kkkpnkkkppjpjpnjjnpppjjpQUIUY UY UYU由于节点的类型不同，已知条件和求解对象不同，约束条件不同，在计算过程中的处理不同。(c)检查无功是否越限，如越限，取限值,此时：PVPQmax)(minpkppQQQ)1(kpU(d)然后再用)(kpQ计算nnnnnnnnnIIIIUUUUYYYYYYYYYYYY321321321223222111312111(Y U)i1,2,nniijjjI(
27、)11(1)(k 1)(k)()11kpnppkppjjpjjpnnkjj ppppPjQUY UY UY UYU2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学31三、牛顿三、牛顿-拉夫逊迭代法（拉夫逊迭代法（N-R法，牛法，牛-拉法拉法）!)()(!2)()()()()()0()0()(2)0()0()0()0()0()0()0(nxxfxxfxxfxfxxfnn0)(xf求解单变量非线性方程：0)()0()0(xxf利用泰勒公式进行展开误差单变量非线性方程N-R法原理其真解为x（即精确解），近似的假设值为x（0）(0)(0)xxx2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学32单变量
28、非线性方程N-R法求解原理修正方程式(0)(0)(0)(0)(0)()()()0f xxf xfxx(0)(0)(0)()()f xxfx()(1)()()()()kkkkf xxxfx(0)(1)(0)(0)(0)(0)()()f xxxxxfx新的近似解为：(0)(1)(k 1)xxx单变量非线性方程解为：()()()()(1)()()()()0,1,2,.()()kkkkkkkf xxfxkf xxxfx 2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学33上述迭代过程可以整理成以下迭代格式：有时，在求解过程中永远得不出所需要的精度，甚至迭代过程中得到的解离真解越来越远，这种情况称为迭代
29、不收敛或迭代发散。NR法的几何意义？2)(1)(或)(kkxxf收敛判据：单变量非线性方程N-R法求解原理2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学34N-R法的几何意义x(0)xx(0)x(1)()yf x真解初始解距离真解太远了！()(1)()()()()12()()()kkkkkkf xxxfxf xx或多变量非线性方程组如何求解？xxx(0)x(1)x(2)()yf xx注意：（1）N-L法初值选择要比较接近精确解，否则迭代过程可能不收敛（2）某些程序可以将N-L法与高斯-赛德尔法（第一、二次迭代，对初值要求不严格）配合计算潮流。（3）初解距离真解太远不是N-L法不收敛的唯一原因
30、（不在本书范围内）tg2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学35多变量非线性方程组N-R法求解原理nnnnnyxxxfyxxxfyxxxf),(),(),(2122121211注：假定各变量的初始值分别为：x1（0）、x2（0）、xn（0）。各变量初值与精确值间的误差分别为：x1（0）、x2（0）、xn（0）。(0)(0)(0)(0)(0)(0)111221(0)(0)(0)(0)(0)(0)211222(0)(0)(0)(0)(0)(0)1122(,)(,)(,)nnnnnnnnf xxxxxxyfxxxxxxyfxxxxxxy(0)(0)(0)(0)(0)(0)111112121
31、12000(0)(0)(0)(0)(0)(0)121212000(,)(,)nnnnnnnnnnnffff xxxxxxyxxxffffxxxxxxyxxx对上式按泰勒级数展开，并略去高阶项，得到：为函数f1(x1,x2,xn)对自变量xn的偏导数在x1（0）,x2（0）,xn（0）处的取值2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学36多变量非线性方程组的N-R法求解原理)0()0(2)0(10020101021011)0()0(2)0(1)0()0(2)0(111),(),(nnnnnnnnnnxxxxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfy将上式写成矩阵形式：牛顿法的修正方程组利用
32、高斯消去法或三角分解法可以解出修正量：x1(0),x2(0),xn(0)，然后对初始值进行修正。)2,1()0()0()1(nixxxiiik次迭代时？(0)(0)(0)(0)(0)(0)11111212112000(0)(0)(0)(0)(0)(0)121212000(,)(,)nnnnnnnnnnnffffxxxxxxyxxxffffxxxxxxyxxx1)()(2)(1),(maxknkkiixxxfy2)(maxkix2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学37多变量非线性方程组的N-R法求解公式)()(2)(12112111)()(2)(1)()(2)(111),(),(kn
33、kkknnknknknkkknkknnknkkxxxxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfy得到修正量：x1(k)、x2(k)、xn(k)，再对各变量进行修正。(1)()()(1,2)kkkiiixxxinJij即雅可比矩阵元素由xi组成的列向量不平衡量的列向量iijjkfJx第i个函数fi对第j个变量xj求偏导数，并在(x1（k）x2（k）xn（k）)处取值。收敛判据或N-R法的一般迭代格式（修正方程组）：fJ x 函数fi的雅可比矩阵2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学38多变量非线性方程组的N-R法求解步骤（1）将xi(0)代入原方程和雅可比矩阵方程，分别算出f，J 中各
34、元素，形成修正方程组，解出xi(0)；(是个逐次线性化的过程)（2）修正xi(1)xi(0)xi(0)；1)()(2)(1),(maxknkkiixxxfy2)(maxkix多变量非线性方程组修正方程（组）nnnnnyxxxfyxxxfyxxxf),(),(),(2122121211)()(2)(12112111)()(2)(1)()(2)(111),(),(knkkknnknknknkkknkknnknkkxxxxfxfxfxfxfxfxxxfyxxxfy（3）判断是否满足下列收敛判据，若满足，则停止迭代。否则，转到第1步，进入下一次迭代。或怎么把NR法应用在潮流计算中呢？（4）收敛判据：雅
35、可比矩阵4.3 牛拉法潮流计算2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学39 牛-拉法潮流计算的核心：修正方程组的建立和求解 对网络中各节点作如下约定：（a）网络中共有n个节点，编号为1，2，3，n；（b）网络中包含（m1）个PQ节点，编号为1，2，3，m-1的节点；（c）nm个PV节点，编号为m,m+1,，n-1；（d）一个平衡节点，编号为n 节点电压用直角坐标表示的功率方程nijfeUiii2,1njjijjijinjjijjijiLiGiieBfGffBeGePPP11)()(njjijjijinjjijjijiLiGiieBfGefBeGfQQQ11)()(*1(P)j(QQ)(
36、Y U)iiiiiGiLiGiLinijjijSU IPjQPU节点电压用直角坐标表示的N-R法PF计算节点分类2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学40njjijjijinjjijjijiLiGiieBfGffBeGePPP11)()(njjijjijinjjijjijiLiGiieBfGefBeGfQQQ11)()(PQ节点（m-1个）给定了节点的Pi、Qi，待求量为ei,fi，共2(m-1)个变量有功功率方程(m-1)个无功功率方程(m-1)个PV节点（n-m个）给定了节点的Pi、Ui，待求量为QGi、ei,fi，共2(n-m)个变量njjijjijinjjijjijiLiGi
37、ieBfGffBeGePPP11)()(有功功率方程(n-m)个222iiifeU电压方程(n-m)个平衡节点（1个）给定了节点的en,fn，待求量为PGn、QGn，不包括在方程组内2(m-1)个方程；2(n-m)个方程；原因：只有确定了全网的ei,fi后，才能计算平衡节点的注入功率*11,2nnjjnnjjjjSUYUUejfjn，其中，2(n-1)个方程求解2(n-1)个变量节点电压用直角坐标表示的N-R法PF计算功率方程组2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学4122(e,)(e,)(e,)PPfQQfUUf1111111111111111111111111111111111(
38、)()()()()()()(nnjjjjjjjjjjnnnnnjjnjjnnjjnjjjjnnjjjjjjjjjjnmmmjjmjjmmjjjPeG eB ffG fB ePeGeBffGfBeQfG eB feG fB eQfGeBfeGf11222222111)nmjjjmmmnnnBeUefUefm-1+n m=n-1m-1n-mPQ节点（m-1个）PV节点（n-m个）平衡节点（1个）节点电压用直角坐标表示的N-R法PF计算修正方程组2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学422()PHNfQJLeRSUfJ x 雅可比矩阵注入功率和节点电压平方的不平衡量误差变量组成的列向量为（
39、2(n-1)列）1-11-1Tkkkknnffee注入功率和节点电压平方的不平衡量为（2(n-1)列）误差变量雅可比矩阵（2（n-1）*2（n-1）功率和电压的平方对各个变量的偏导在近似解处的值222,(m 1)(n m)()1-1(mkkiiikkiiikkiiiPPPQQnUnmQUU，个个个实际值K次迭代后的值2211111()()kkkkkknmmnPPQQUU22(e,)(e,)(e,)PPfQQfUUf由功率方程组列出N-R法潮流计算修正方程组2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学43节点电压用直角坐标表示的N-R法PF计算时的修正方程组11111111111111111
40、1111111111111112222111()()()()nnnnnnnnnnmmmmnnmmmmnPPPPffeePPPPffeeQQQQffeeHNJLQQQQRSffeeUUUUffee1222211111111()()()()nnnnnnnUUUUffee(n-1)*(n-1)(n-1)*(n-1)(m-1)*(n-1)(m-1)*(n-1)(n-m)*(n-1)(n-m)*(n-1)2()PHNfQJLeRSUPQ节点（m-1个）PV节点（n-m个）平衡节点（1个）雅可比矩阵各元素计算（直角坐标）2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学441111222()()()()nn
41、iiijjijjiijjijjjjnniiijjijjiijjijjjjiiiPeG eB ffG fB eQfG eB feG fB eUef当j i时，对于特定的j，只有该特定节点的fj和ej是变量，雅可比矩阵各元素值为：22;0;0iiijijiijiijijiijijjiiijijiijiijijijiijiiijjjiiijijjjPPHB eG fNG eB ffeQQJB fG eNLG fB eHfeUURSfe 2()PHNfQJLeRSUPQ节点（m-1个）PV节点（n-m个）平衡节点（1个）雅可比矩阵各元素计算（直角坐标）2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学4
42、5为使偏导表达式更加简洁，引入节点注入电流的表达式：1111222()()()()nniiijjijjiijjijjjjnniiijjijjiijjijjjjiiiPeG eB ffG fB eQfG eB feG fB eUef11111()()()()()()nnniijjijijjjijjijjijjijjjjjnnijjijjijjijjjjiiiiIY UGjBejfG eB fj G fB eG eB fjG fB eajb当i=j时，雅可比矩阵各元素值为：2()PHNfQJLeRSU雅可比矩阵各元素计算（直角坐标）2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学461111()2
43、()()()niiiiiiijjijjiiiiiijij inijjijjiiiiiiiiiiiiiijniiiijjijjiiiiiiiiiiiiiijiniiiijjijjiiiiiijiPHB eG fB eG fB efG fB eB eG fB eG fbPNG eB fG eB fG eB faeQJG eB fG eB ff 122()2;2iiiiiiiiniiiijjijjiiiiiiiiiiiiiijiiiiiiiiiiiG eB faQLG fB eB eG fB eG fbeUURfSefe 雅可比矩阵的特点：（1）矩阵各元素都是节点电压的函数，并在迭代中不断变化；（2
44、）雅可比矩阵与节点导纳矩阵有相同的稀疏性；阶数：2(n-1)（3）雅可比矩阵元素不对称。111111222()()()()()()()nniiijjijjiijjijjjjnniijjijjiijjijjiiiiii ijjj inniiijjijjiijjijjjjiiiPeG eB ffG fB eeG eB ffG fB efG fB eQfG eB feG fB eUef11()()niiijjijjjniiijjijjjaG eB fbG fB e节点电压修正及收敛条件（直角坐标）2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学47 节点电压修正11,kkkkkkiiiiiieeef
45、ff 收敛条件21max|P|,|,|()|kkkiiiQU()()2max,kkiief或或2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学48N-R法PF计算流程输入原始数据形成节点导纳矩阵给各节点电压赋初值ei（0）、fi（0）对PQ节点计算Pi（k）、Qi（k）对PV节点计算Pi（k）、Ui2（k）计算H、N、J、L、R、S，形成雅可比矩阵解修正方程组得误差ei（k）、fi（k）是否收敛计算平衡节点功率和线路功率否置迭代次数k=02)()(maxkikife、是赋值多少合适？对于各个PQ节点电压有效值赋初值，通常给定为1（相当于额定电压）2max|P|,|,|()|kkkiiiQV是否
46、收敛11kkkiiikkkiiieeefff修正电压值迭代次数k=k+1节点电压分布支路功率分布2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学49平衡节点功率：*1nnjjnnnnjSUY UPjQ*2*0*2*0()()ijiijiiiijijjijjijjjjiijSU IU yU UUySU IU yU UUyijijjiSSS 线路功率损耗：把线路当做一个广义节点线路功率损耗和平衡节点功率计算（直角坐标）iUjU1ijijyzijIjiIijSjiS0iy0jy*()()()IijijijijijUUUUyUU节点电压用极坐标表示的N-R法PF计算2016/1/11电力系统稳态分析
47、合肥工业大学50 节点电压用极坐标表示的功率方程,1,2;1,2iiiijijUUin jn 约定：对网络中各节点作如下约定：（a）网络中共有n个节点，编号为1，2，3，n；（b）网络中包含（m1）个PQ节点，编号为1，2，3，m-1的节点；（c）nm个PV节点，编号为m,m+1,，n-1.（d）一个平衡节点，编号为n11(cossin)1,2(cossin)(sincos)iiiiiiniGiLiijijijijijjniGiLiijijijijijjUUUjinPPPUUGBQQQUUGB*1(P)j(QQ)(Y U)iiiiiGiLiGiLinijjijSU IPjQPU节点电压用极坐标
48、表示的N-R法PF计算节点分类2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学51PQ节点（m-1个）给定了节点的Pi、Qi，待求量为Ui,i有功功率方程(m-1)个无功功率方程(m-1)个PV节点（n-m个）给定了节点的P、U，待求量为QG、i有功功率方程(n-m)个电压方程0个2(m-1)个变量；2(m-1)个方程；(n-m)个变量；(n-m)个方程；*1,(cossin)1,2nnjjnnjjjjjjjSUYUUUUjjn其中，1(cossin)niGiLiijijijijijjPPPUU GB1(cossin)niGiLiijijijijijjPPPUU GB1(sincos)niGi
49、LiijijijijijjQQQUU GB因U已知，而QG是U,的函数1(sincos)niijijijijijjQUU GB比直角坐标系少了n-m个方程，n-m个变量平衡节点（1个）给定了节点的Un,n，待求量为PGn、QGn，不包括在方程组内原因：只有确定了全网的Ui,i后，才能计算平衡节点的注入功率m+n-2个方程求解m+n-2个变量节点电压用极坐标表示的N-R法PF计算功率方程组2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学52(U,)(U,)PPQQ1111111n-1n-1n-1n-1n-1n-1111111111111111(cossin)(cossin)(sincos)(si
50、ncos)njjjjjjnjjjjjjnjjjjjjnmmjmjmjmjmjjPUUGBPUUGBQUUGBQUUGBm-1+n m=n-1m-1节点电压用极坐标表示的N-R法PF计算修正方程组2016/1/11电力系统稳态分析 合肥工业大学53雅可比矩阵注入功率和节点电压平方的不平衡量误差变量由功率方程组列出N-L法潮流计算修正方程组fJ x(U,)(U,)PPQQ1()PHNQJLUU使雅克比矩阵的计算更加有规律(k)1(k)(k)1111211111211(k)221222122(k)112221(k)1 mnmnmnPHHHNNNPHHHNNPQQNQ11121111121111211