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1、第三章离散系统的分析本讲稿第一页，共四十九页在离散系统中，激励用f(k)（连续系统用f(t)）表示,响应用y(k)(连续系统用y(t)表示，其中k为整数。初始状态用x(k0)表示，其中为整常数，通常取k00。与连续系统类似，LTI离散系统的全响应y(k)也分为零输入响应yx(k)和零状态响应yf(k)，即：y(k)yx(k)yf(k)本讲稿第二页，共四十九页对于时不变系统，若激励f(k)引起的零状态响应为yf(k)，那么激励f(kkd)引起的零状态响应就为yf(kkd)。其中kd为延迟或移位。时不变系统的这种性质可以称为激励与响应之间的移位不变性（或称时不变性）本讲稿第三页，共四十九页3.1
2、LTI离散系统的响应一、微分与差分方程 与连续时间信号的微分方程及积分运算相对应，离散系统有差分和序列求和运算。设有序列f(k)，则称.f(k+2)、f(k+1)、f(k1)、f(k2).等为移位序列。序列的差分可分前向差分和后向差分。一阶前向差分和一阶后向差分分别定义为：本书主要采用后向差分本讲稿第四页，共四十九页差分方程的线性性质本讲稿第五页，共四十九页差分方程的一般形式：差分方程的一般形式：Gk,y(k),y(k-1),.,y(k-n)=0 如果上式中y(k)及其移位项均为一次的,就称起为线性的，否则为非线性的。如果y(k)及其移位的系数均为常数,就称其为常系数差分方程。否则为变系数差分
3、方程。描述LTI离散系统的式常系数差分方程。差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代发可求得差分方程得数值解线性与非线性差分方程本讲稿第六页，共四十九页线性差分方程本讲稿第七页，共四十九页二、差分方程得经典解本讲稿第八页，共四十九页齐次解当输入为零时，方程的解为齐次解：本讲稿第九页，共四十九页对于n阶齐次差分方程，它的齐次解有形式为Ck的序列组合而成，将Ck代入方程，得：本讲稿第十页，共四十九页特解本讲稿第十一页，共四十九页全解本讲稿第十二页，共四十九页本讲稿第十三页，共四十九页本讲稿第十四页，共四十九页本讲稿第十五页，共四十九页如果差分方程所有得特征根均小于1，这样得
4、系统称为稳定系统，这时自由响应也称为瞬态响应。稳定系统在阶跃序列或有始周期序列作用下，其强迫响应也是稳态响应本讲稿第十六页，共四十九页三、零输入响应和零状态响应LTI系统的全响应也可以分为零输入响应（yx(k)）和零状态响应（yf(k)）。即：y(k)yx(k)yf(k)在零输入条件下，化为齐次方程。若其特征根为单根，则其零输入响应为 本讲稿第十七页，共四十九页本讲稿第十八页，共四十九页本讲稿第十九页，共四十九页本讲稿第二十页，共四十九页本讲稿第二十一页，共四十九页3.2 单位序列和单位序列响应一、单位序列与单位阶跃序列一、单位序列与单位阶跃序列单位序列单位序列本讲稿第二十二页，共四十九页n单
5、位阶跃序列单位阶跃序列本讲稿第二十三页，共四十九页本讲稿第二十四页，共四十九页单位序列响应 当LTI离散系统的激励位单位序列(k)时，系统的零输入响应称为单位序列响应（或单位样值响应、单位取样响应、单位函数响应），用h(k)表示，它的作用与连续系统中的冲激响应h(t)类似。求解系统的单位序列响应也用求解差分方程法或z变换法 单位序列(k)仅在k0处等于1。因而在k0时，系统的单位序列响应与该系统的零输入的函数形式相同。这样就把求单位序列响应的问题转化为求差分方程齐次解的问题，至于k0处的值h(0)可按零状态的条件有差分方程确定。二、单位序列响应和阶跃响应本讲稿第二十五页，共四十九页3.2-1
6、求图所示离散系统的单位序列响应h(k)？本讲稿第二十六页，共四十九页解：（1）列出差分方程，求初始值本讲稿第二十七页，共四十九页如图得离散系统，求其单位序列响应本讲稿第二十八页，共四十九页本讲稿第二十九页，共四十九页本讲稿第三十页，共四十九页阶跃响应当LTI离散系统的激励为单位阶跃序列(k)时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用g(k)表示。若已知系统的差分方程，利用经典法可以求得系统得单位阶跃响应g(k).由于：本讲稿第三十一页，共四十九页本讲稿第三十二页，共四十九页本讲稿第三十三页，共四十九页本讲稿第三十四页，共四十九页本讲稿第三十五页，共四十九页一、卷积和 在LTI连续时间系
7、统中，把激励信号分解为一系列冲激函数，求出各冲激函数单独作用于系统是的冲激响应，然后将这些响应相加就得到系统对于该激励信号的零状态响应。这个相加的过程表现为求卷积积分。在LTI离散系统中，方法大致类似卷积和本讲稿第三十六页，共四十九页本讲稿第三十七页，共四十九页本讲稿第三十八页，共四十九页本讲稿第三十九页，共四十九页本讲稿第四十页，共四十九页二、卷积的图示本讲稿第四十一页，共四十九页三、卷积的性质1）二子系统并联组成的复合系统，其单位序列响应等于 二子系统的单位序列响应之和2）二子系统级联组成的复合系统，其单位序列响应等于 子系统的单位序列响应的卷积本讲稿第四十二页，共四十九页本讲稿第四十三页，共四十九页本讲稿第四十四页，共四十九页本讲稿第四十五页，共四十九页本讲稿第四十六页，共四十九页本讲稿第四十七页，共四十九页本讲稿第四十八页，共四十九页本讲稿第四十九页，共四十九页