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1、关于切线长定理第一页，讲稿共二十七页哦.OOAL切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点圆的切线垂直于过切点的半径的半径几何应用几何应用几何应用几何应用:L是是 O的切线的切线，OAL 第二页，讲稿共二十七页哦A.OL经过半径的外端并且垂直于这经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线条半径的直线是圆的切线.几何应用几何应用几何应用几何应用:2.与半径垂直1.经过半径的外端；OAOA是O O的半径OAlOAl于Al l是O O的切线.切线的判定定理切线的判定定理:第三页，讲稿共二十七页哦 O。ABP过圆外一点可以引圆的几条切线？过圆外一点可以引圆的几条切线？第四页，讲稿共二十七
2、页哦尺规作图：尺规作图：过过 O外一点作外一点作 O的切线的切线O PABO第五页，讲稿共二十七页哦在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长。OPAB切线切线与与切线长切线长是一回事吗？是一回事吗？它们有什么区别与联系呢它们有什么区别与联系呢？切线切线:不可以度量。不可以度量。切线长：切线长：可以度量。可以度量。比一比比一比B第六页，讲稿共二十七页哦 OABP思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB，A、B为为切点，把圆沿着直线切点，把圆沿着直线OP对折对折,你能发你能发现什么现什么?12第七页
3、，讲稿共二十七页哦请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA=PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL)RtAOPRtBOP(HL)PA=PB OPA=OPB试用文字语言叙试用文字语言叙述你所发现的结述你所发现的结论论证一证证一证第八页，讲稿共二十七页哦PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PBOPA=OPB 从圆外一点引圆从圆外一点引圆的两条切线，它的两条切线，它们的切线长相等。们的切线长相等。几何语言
4、几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提提供新的方法供新的方法OPAB 切线长定理切线长定理 第九页，讲稿共二十七页哦APOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出你又能得出什么新的结论什么新的结论?并给出证明并给出证明.OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 OP垂直平分垂直平分ABM试一试试一试第十页，讲稿共二十七页哦APO
5、。B 若延长若延长PO交交 O于点于点C，连结，连结CA、CB，你又能得你又能得出什么新的结论出什么新的结论?并给出证明并给出证明.CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是O O的切线的切线,点点A A，B B是切点是切点 PA=PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC第十一页，讲稿共二十七页哦探究：探究：PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有）写出图
6、中所有相等的线段相等的线段（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPCOA=OB=OD=OE,PA-=PB,AC=BC,AE=BE 第十二页，讲稿共二十七页哦已知：如图已知：如图,PA,PA、PBPB是是OO的切线，切点分别是的切线，切点分别是A A、B B，Q Q为为ABAB上一点，过上一点，过Q Q点作点作OO的切线，交的切线，交PAPA、PBPB于于E E、F F点，已知点，已知PA=12CMPA=12CM，求，求PEFPEF的周长。的周长。EAQPFBO易证易证EQ=EA,FQ=FB,EQ=EA,FQ=FB,PA=PB PA=PB PE+EQ=PA=
7、12cmPF+FQ=PF+FQ=PB=PAPB=PA=12cm=12cm周长为24cm 例题例题1第十三页，讲稿共二十七页哦 变式：变式：如图所示如图所示PA、PB分别切分别切圆圆O于于A、B，并与圆，并与圆O的切线分别相交于的切线分别相交于C、D，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周长的周长(2)如果如果P=46,求求COD的度数的度数C OPBDAE第十四页，讲稿共二十七页哦例例2、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和和圆圆OO分别相切于点分别相切于点L L、M M、N N、P P，求证：求证：AD+BC=AB+CD AD+BC
8、=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC，DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DPAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 例题例题2第十五页，讲稿共二十七页哦。PBAO（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形
9、。想一想想一想第十六页，讲稿共二十七页哦例例3 ABC的内切圆的内切圆 O O与与BC、CA、AB分别相切于分别相切于 点点点点D D、E E、F F，且，且，且，且AB=9cmAB=9cm，BC=14cmBC=14cm，CA=13cmCA=13cm，求求求求AFAF、BDBD、CECE的长的长的长的长.解解:设设AF=x(cm),BD=y(cm),CEz(cm)AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).O O与与与与ABCABC的三边都相切的三边都相切AFAFAE,BDBF,CECD则有则有xy9yz14xz13解得解得x4y
10、5z9 例题例题3第十七页，讲稿共二十七页哦ABCEDFO 如图，如图，RtABC中，中，C90,BCa,ACb,ABc,O为为RtABC的内切圆的内切圆.求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r.设设设设AD=x,BE=y y,CE r O与与RtABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有xrbyraxyc解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得 rabc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，
11、斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababc 变式变式第十八页，讲稿共二十七页哦 OABCDEF OABCDE思考思考：如图，：如图，AB是是 O的直径，的直径，AD、DC、BC是切线，点是切线，点A、E、B为切点，若为切点，若BC=9，AD=4，求，求OE的长的长.第十九页，讲稿共二十七页哦例例1 1、已知：、已知：P P为为O O外一点，外一点，PAPA、PBPB为为O O的的切线，切线，A A、B B为切点，为切点，BCBC是直径。是直径。求证：求证：ACOPACOPPACBDO 例题讲解例题讲解第二十页，讲稿共二十七页哦切线长定理切线长定理 从圆
12、外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线条切线的夹角的夹角。APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA=PB,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角相线段相等，角相等，弧相等，垂直关系等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。必须掌握并能灵活应用。第二十一页，讲稿共二十七页哦练习练习.如图，如图，ABC中中,C=90,它的它的内切圆内切圆O分别与边分别与边AB、BC、CA相切相切于点于点D、E、F，且，且
13、BD=12，AD=8，求求 O的半径的半径r.OEBDCAF第二十二页，讲稿共二十七页哦BDEFOCA如图，如图，ABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r,ABC的周长为的周长为l,求求ABC的面积的面积S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算 思考思考第二十三
14、页，讲稿共二十七页哦ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4,O为为RtABC的内切圆的内切圆.（1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径.（2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都都相切，求相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。设设设设AD=x,BE=,BE=y y,CE,CE r O O与与与与RtRtABCABC的三边都相切的三边都相切的三边都相切的三边都相切ADADAF,BEAF,BEBF,CEBF,CECDCD则有则有xr4yr3xy5解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆
15、与三边相切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。解得解得解得解得r1 1在在在在RtRtABCABC中，中，中，中，BCBC3,AC3,AC4,4,ABAB5 5由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形由已知可得四边形ODCEODCE为正方形，为正方形，为正方形，为正方形，CDCDCECEODOD RtABC的内切圆的半的内切圆的半径为径为1。第二十四页，讲稿共二十七页哦（2）如图所示，设与）如图所示，设与BC、AC相切的最大圆与相切的最大圆与BC、AC的切的切点分别为点分别为B、D,连结连结OB、OD,则四边形则四边形BODC为正方形。为正方形。A
16、BODCOBBC3半径半径r的取值范围为的取值范围为0r3几何问题代数化是解几何问题代数化是解决几何问题的一种重决几何问题的一种重要方法。要方法。第二十五页，讲稿共二十七页哦基础题：基础题：1.1.既有外接圆既有外接圆既有外接圆既有外接圆,又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是又内切圆的平行四边形是_._.2.直角三角形的外接圆半径为直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为内切圆半径为1cm,1cm,则此三角形的周长是则此三角形的周长是_._.3.3.OO是边长为是边长为2cm的正方形的正方形的正方形的正方形ABCD的内切圆的内切圆,EF切切 OO 于于于于P P点，交点，交点，交点，交ABAB、BCBC于于于于E E、F F，则，则，则，则BEF的周长是的周长是的周长是的周长是_.EFHG正方形正方形22cm22cm2cm第二十六页，讲稿共二十七页哦感感谢谢大大家家观观看看9/26/2022第二十七页，讲稿共二十七页哦