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1、关于几种典型函数的积分第一页，讲稿共二十八页哦一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二页，讲稿共二十八页哦例例1.将下列真分式分解为部分分式:解解:(1)用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三页，讲稿共二十八页哦(2)用赋值法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四页，讲稿共二十八页哦(3)混合法机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=第五页，讲稿共二十八页哦四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 变
2、分子为 再分项积分 第六页，讲稿共二十八页哦例例2.求解解:已知例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 第七页，讲稿共二十八页哦例例3.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八页，讲稿共二十八页哦例例4.求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.第九页，讲稿共二十八页哦二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则第十页，讲稿共二
3、十八页哦例例5.求求解解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一页，讲稿共二十八页哦机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二页，讲稿共二十八页哦例例6.求求解解:说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十三页，讲稿共二十八页哦例例7.求解解 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十四页，讲稿共二十八页哦例例8.求求解解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十五页，讲稿共二十八页哦2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的
4、积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第十六页，讲稿共二十八页哦例例9.求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十七页，讲稿共二十八页哦例例10.求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十八页，讲稿共二十八页哦例例11.求解解:令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十九页，讲稿共二十八页哦内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积
5、分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,第二十页，讲稿共二十八页哦思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解解:1.2.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十一页，讲稿共二十八页哦作作 业业P212(A)3,6,11.(B)1,3,7,12,14,15,18 .第五节 目录 上页 下页 返回 结束 第二十二页，讲稿共二十八页哦备用题备用题 1.求不定积分解：解：令则,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.第二十三页，讲稿共二十八页哦2.求不定积分解：解：原式=前式令;后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十四页，讲稿共二十八页哦例例5.求求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二十五页，讲稿共二十八页哦常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求求解解:原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁第二十六页，讲稿共二十八页哦感感谢谢大大家家观观看看26.09.2022第二十八页，讲稿共二十八页哦