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1、四、几种特殊类型函数的积分四、几种特殊类型函数的积分(一一一一)有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分 (二二二二)三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 (三三三三)简单无理函数的积分：简单无理函数的积分：简单无理函数的积分：简单无理函数的积分：11.1.有理函数有理函数(1)2.2.真分式、假分式真分式、假分式真分式真分式 假分式假分式 (一一一一)有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分有理函数的积分 2由代数理论知可分解为由代数理论知可分解为 真分式可以化为几个简单真分式的代数和。真分式可以化为几个简单真分式的代数和。任何一
2、个有理函数都可化为多项式与真分式之和。任何一个有理函数都可化为多项式与真分式之和。法法法法1.1.1.1.（比较系数法）（比较系数法）法法法法2.2.2.2.（赋值法）（赋值法）3可分解为可分解为 4可分解为可分解为 5例例1解解由前面的讨论可知，任何一个有理函数都可化为：由前面的讨论可知，任何一个有理函数都可化为：多项式、多项式、的代数和。的代数和。再如：再如：6例例2解解7例例3解解8注：注：注：注：当被积函数容易分解时，也不必墨守成规非要用待定系数当被积函数容易分解时，也不必墨守成规非要用待定系数法或赋值法，只要直接分解就可以。如法或赋值法，只要直接分解就可以。如 例例4 解解：法法1
3、法法2 通分得通分得:比较比较x的系数得：的系数得：繁！繁！繁！繁！简单！简单！简单！简单！9例例5解解是二次质因式，是二次质因式，但但10讨论讨论令令即即记记则则11当当时，如例时，如例4。当当时，时，有理函数的原函数都是初等函数。有理函数的原函数都是初等函数。12注：注：注：注：对于有理函数的积分要灵活运用各种方法。如：对于有理函数的积分要灵活运用各种方法。如：例例6 解解：例例7 解解：13(二二二二)三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分 常数和三角函数常数和三角函数经过有限次四则运算所构成的函数经过有限次四则运算所构成的函数.三角函数有理式三
4、角函数有理式是三角函数有理式，是三角函数有理式，14解解例例115例例2 求求解解 有理分式！有理分式！有理分式！有理分式！16解解 例例3此法往往较繁，能用简单方法的尽量用简单方法。此法往往较繁，能用简单方法的尽量用简单方法。17(三三三三)简单无理函数的积分：简单无理函数的积分：简单无理函数的积分：简单无理函数的积分：解解例例118解解例例2解解例例319解解例例4 20例例5 解解21小小 结：结：1有理函数的积分：将有理函数化为多项式和有理函数的积分：将有理函数化为多项式和部分分式之和再积分。部分分式之和再积分。2三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分3简单无理函数的积分（第二类换元积分法）简单无理函数的积分（第二类换元积分法）作代换作代换22都不是初等函数。都不是初等函数。初等函数在其定义区间上的原函数一定存在，初等函数在其定义区间上的原函数一定存在，不一定都是初等函数不一定都是初等函数.但原函数但原函数23