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1、关于几种典型函数的积分现在学习的是第1页，共28页一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第2页，共28页例例1.将下列真分式分解为部分分式:解解:(1)用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第3页，共28页(2)用赋值法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页，共28页(3)混合法机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=现在学习的是第5页，共28页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页
2、下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 现在学习的是第6页，共28页例例2.求解解:已知例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第7页，共28页例例3.求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共28页例例4.求求解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.现在学习的是第9页，共28页二二、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.三角函数有理式的积分三
3、角函数有理式的积分则现在学习的是第10页，共28页例例5.求求解解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第11页，共28页机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第12页，共28页例例6.求求解解:说明说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共28页例例7.求解解 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页，共28页例例8.求求解解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第15页，共28页2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分
4、令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令现在学习的是第16页，共28页例例9.求解解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第17页，共28页例例10.求解解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第18页，共28页例例11.求解解:令则原式原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第19页，共28页内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根
5、式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,现在学习的是第20页，共28页思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解解:1.2.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第21页，共28页作作 业业P212(A)3,6,11.(B)1,3,7,12,14,15,18 .第五节 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第22页，共28页备用题备用题 1.求不定积分解：解：令则,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.现在学习的是第23页，共28页2.求不定积分解：解：原式=前式令;后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第24页，共28页例例5.求求解解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第25页，共28页常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求求解解:原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁现在学习的是第26页，共28页感谢大家观看26.09.2022现在学习的是第28页，共28页