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1、关于几种典型函数的积分现在学习的是第1页，共28页一、一、 有理函数的积分有理函数的积分)()()(xQxPxR nnnaxaxa110mmmbxbxb110有理函数:nm 时,)(xR为假分式;nm 时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为kkqxpxNxMaxA)(;)(2)04,N(2qpk若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第2页，共28页例例1. 将下列真分式分解为部分分式 :;) 1(1) 1 (2xx;653)2(2xxx.)1)(21 (1)3(2xx解解:(1) 用拼凑法22) 1() 1(1xxxx2) 1(1
2、x) 1(1xx2) 1(1x) 1( xx2) 1(1x11xx1) 1( xx) 1( xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第3页，共28页(2) 用赋值法6532xxx)3)(2(3xxx2xA3xB原式)2(xA2x233xxx5原式)3(xB3x323xxx6故25x原式36x机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第4页，共28页(3) 混合法)1)(21 (12xx xA2121xCBx原式)21 (xA21x54机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入等式两端分别令1 ,0 xC541215461CB52B51C原式 =x214512112xx现在学习的
3、是第5页，共28页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分: CaxAln) 1( nCaxnAn1)(1xaxAd. 1xaxAnd)(. 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 xqxpxNxMd. 32xqxpxNxMnd)(. 42) 1,04(2nqp变分子为 )2(2pxM2pMN 再分项积分 现在学习的是第6页，共28页例例2. 求.)1)(21 (d2xxx解解: 已知)1)(21 (12xx51x214212xx211xxx21)21 ( d52原式221)1 ( d51xx21d51xxx21ln52)1 (ln512xCxarctan51例1(3) 目录 上页 下页 返
4、回 结束 现在学习的是第7页，共28页例例3. 求.d3222xxxx解解: 原式xxxd3223)22(21x32)32d(2122xxxx32ln212xx22)2() 1() 1d(3xxCx21arctan23机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第8页，共28页xxxd)4)(1(22)4() 1(22xx例例4. 求求.d4555222423xxxxxxIxxxxxId4552243xxxxd455224245)55d(212424xxxx45ln2124xx2arctan21xCxarctan解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 将有理函数分解为部分分式
5、进行积分虽可行,但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 现在学习的是第9页，共28页二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设)cos,(sinxxR表示三角函数有理式 ,xxxRd)cos,(sin令2tanxt 万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则现在学习的是第10页，共28页例例5. 求求.d)cos1 (sinsin1xxxx解解: 令,2tanxt 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 222222cossincossin2sinxxxxx222tan1tan2xx2
6、12tt22222222cossinsincoscosxxxxx2222tan1tan1xx2211ttxdttd122现在学习的是第11页，共28页xxxxd)cos1 (sinsin1 2121tt212tt)1 (2211ttttd212tttd122121221tt 2tlnC2tan412x2tanxCx2tanln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第12页，共28页例例6. 求求.)0(cossind2222baxbxax解解: 原式xxd2cos1222tanbxa222)(tantand1abxxa)tanarctan(1xbabaC说明说明: 通常求含xxx
7、xcossincos,sin22及的积分时,xttan往往更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第13页，共28页例例7. 求. )0(d)cossin(12baxxbxa解解 xttan令原式 dx2)tan(bxax2cos2)(dbtatCbtaa)(1Cxbxaax)cossin(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第14页，共28页例例8. 求求.dsinsin1cos2cos423xxxxx解解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令,sin xt 原式xx42sinsin1xxxdcos)2(cos2xxx422sins
8、in1 ) 1(sin4221d) 1(tttttttd1t1221213)()d(211ttttCtt3arctan311Cxxsin3cosarctan312xsind机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第15页，共28页2. 简单无理函数的积分简单无理函数的积分,d),(xbaxxRn令nbxat,d),(xxRndxcbxa令ndxcbxat被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,d),(xbaxbaxxRmn,pbxat令., 的最小公倍数为nmp现在学习的是第16页，共28页例例9. 求.21d3
9、xx解解: 令,23xu则,23 uxuuxd3d2原式u123uuduuud11) 1(32uuud)111(33221uuu1lnC3223)2( x323x321ln3xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第17页，共28页例例10. 求.d3xxx解解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,6tx 则有原式23tttt d65ttttd)111(626331t221ttt1lnCCxxxx)1(ln6632663令机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第18页，共28页例例11. 求.d11xxxx解解: 令,1xxt则,1
10、12tx22) 1(d2dtttx原式原式tt) 1(2tttd) 1(222tttd1222t211lnttCxx12Cxxx1122ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第19页，共28页内容小结内容小结1. 可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 现在学习的是第20页，共28页思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便 ?)0(d. 1662axxaxxxxcossind. 23
11、解解: 1.23233)()(d31xax原式Caxaxa33333ln61Caxaxa33333ln612. 原式xxxxxdcossincossin322xxxcossindxxxdsincos3xxtantandxx3sinsindxtanlnCx2sin121机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第21页，共28页作作 业业P212 ( A ) 3 , 6 , 11 .(B) 1, 3, 7,12, 14 , 15, 18 .第五节 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第22页，共28页备用题备用题 1.求不定积分解：解：.d)1 (126xxx令,1xt 则,1tx
12、ttxd1d2, 故xxxd)1 (126161t)11 (2tttd)1(2tttd126ttttd)111(224551t331ttCt arctanCxxxx1arctan1315135机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.现在学习的是第23页，共28页2.求不定积分解解：.dcos3sin1xxx原式 =2tanxu 前式令xxdcos31xxxdcos3sin221131uuuud122uud2122arctan21u)cos3(dcos31xxxcos3ln ; 后式配元Cx cos3ln)2tan21arctan(21xCx cos3ln机动 目录 上页
13、 下页 返回 结束 现在学习的是第24页，共28页例例5. 求求.d)22(222xxxx解解: 原式xxxd)22(22)22(2 xx)22(x1) 1(d2xx222)22()22d(xxxx) 1arctan( x2212xxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第25页，共28页常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求解解: 原式xxd14) 1(2x) 1(2 x211d4xx2arctan2211xx21221 ln21xx21xxCxxxxd12122121xxxxd121221212)(2121xx)d(1xx2)(2121xx)d(1xx注意本题技巧注意本题技巧xx21arctan2212Cxxxx1212ln24122)0( x按常规方法较繁按常规方法较繁现在学习的是第26页，共28页按常规方法解:1d4xx第一步 令)(1224dxcxbxaxx比较系数定 a , b , c , d . 得) 12)(12(1224xxxxx第二步 化为部分分式 . 即令) 12)(12(111224xxxxx121222xxDxCxxBxA比较系数定 A , B , C , D .第三步 分项积分 .此解法较繁 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 现在学习的是第27页，共28页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第28页，共28页