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1、2.2函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都
2、有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)对于函数f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在D上是增函数()(3)函数y|x|是R上的增函数()(4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(5)函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是(0，)()(6)函数y的最大值为1.()1(2014北京改编)下列函数中
3、，在区间(0，)上为增函数的是_y； y(x1)2；y2x; ylog0.5(x1)答案解析中，函数y在1，)上为增函数，所以函数在(0，)上为增函数，故正确；中，函数y(x1)2在(，1)上为减函数，在1，)上为增函数，故错误；中，函数y2x()x在R上为减函数，故错误；中，函数ylog0.5(x1)在(1，)上为减函数，故错误，故选.2函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数，下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；指数函数f(x)2x(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x
4、1x2，则f(x1)f(x2)；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)答案解析由xx，未必有x1x2，故不正确；对于f(x)2x，当f(x1)f(x2)时一定有x1x2，故正确；当f(x)为单函数时，有f(x1)f(x2)x1x2，则其逆否命题f(x)为单函数时，x1x2f(x1)f(x2)为真命题，故正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f(x1)f(x2)x1x2，故正确3函数f(x)在1,2的最大值和最小值分别是_答案，1解析f(x)2在1,2上是增函数，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)1.4已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上
5、具有单调性，则实数a的取值范围为_答案(，12，)解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，).题型一函数单调性的判断例1(1)判断函数f(x)(a0)在x(1,1)上的单调性(2)求函数y的单调区间解(1)设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减函数(2)令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3
6、或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)思维升华(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；可导函数则可以利用导数解之(2)复合函数yfg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即yf(u)与ug(x)若具有相同的单调性，则yfg(x)为增函数，若具有不同的单调性，则yfg(x)必为减函数(1)判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性(2)求函数y(x24x3)的单调区间解(1)设x1，x2是任意两个正数，且0
7、x1x2，则f(x1)f(x2)(x1x2a)当0x1x2时，0x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，上是减函数；当x1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，上是减函数，在，)上为增函数(2)令ux24x3，原函数可以看作yu与ux24x3的复合函数令ux24x30，则x3.函数y (x24x3)的定义域为(，1)(3，)又ux24x3的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3在(，1)上是减函数，在(3，)上是增函数而函数yu在(0，)上是减函数，y (x24x3)的单调递减区间为(3，)，单调递增区间为(，1)题型二利
8、用单调性求参数范围例2(1)如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是_(2)已知f(x)满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是_答案(1)，0(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0，且4，解得a0.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，解得a0，故0a1.(2)因为f(x)是R上的增函数，所以可得解得4a1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明任取x1
9、，x2(0，)，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设x1，x2R，且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)
10、f(x2)，f(x)在R上为增函数(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3,2)解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)0时，f(x)1，构造不出f(x2)f(x1)f(x2x1)1的形式，便找不到问题的突破口第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(N)的形式解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的
11、单调区间的约束.方法与技巧1利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断2判断单调性的常用方法：定义法、图象法、导数法失误与防范1区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(1,0)(0,1)上却不一定是减函数如函数f(x).A组专项基础训练(时间：40分钟)1下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)”的
12、是_(填序号)f(x)； f(x)(x1)2；f(x)ex; f(x)ln(x1)答案解析由题意知f(x)在(0，)上是减函数中，f(x)满足要求；中，f(x)(x1)2在0,1上是减函数，在(1，)上是增函数；中，f(x)ex是增函数；中，f(x)ln(x1)是增函数2已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间(，3)上是减函数，则a的取值范围是_答案0，解析当a0时，f(x)12x5，在(，3)上是减函数；当a0时，由得0f(1)的实数x的取值范围是_答案(，0)(1，)解析依题意得0，所以x的取值范围是x1或x0.5定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(
13、1x)x(2x)，x2,2的最大值等于_答案6解析由已知得当2x1时，f(x)x2，当1f(a3)，则实数a的取值范围为_答案(3，1)(3，)解析由已知可得解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)8设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_答案1，)解析f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.9已知函数f(x)(a0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值(1)证明设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2)f(x1)()()0，f(x2)f(x1)，f(x)在(0，)上是增函数(2)解
14、f(x)在，2上的值域是，2，又f(x)在，2上单调递增，f()，f(2)2.易得a.10已知函数f(x)，x0,2，用定义证明函数的单调性，并求函数的最大值和最小值解设x1，x2是区间0,2上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2)().由0x1x22，得x2x10，(x11)(x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在区间0,2上是增函数因此，函数f(x)在区间0,2的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f(0)2，最大值是f(2).B组专项能力提升(时间：20分钟)1已知函数f(x)是(，)上的减函数，那么a的取值范围是_答案(0,2
15、解析由题意得解得0a2.2已知f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析由f1，1或1，0x1或1x0.3对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_答案1解析依题意，h(x)当0x0且f(x)在(1，)内单调递减，求a的取值范围(1)证明任取x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增(2)解任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)内恒成立，a1.综上所述，a的取值范围是(0,15已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，设1x1x2，则f(x2)f(x1)(x2x1)(1)，1x10,2x1x22，00，f(x2)f(x1)0，f(x1)0恒成立x22xa0恒成立设yx22xa，x1，)，则函数yx22xa(x1)2a1在区间1，)上是增函数所以当x1时，y取最小值，即ymin3a，于是当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3.12