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1、第2讲用导数研究函数的单调性与极值一、填空题1已知f(x)xcos x(xR)，则不等式f(ex1)f(0)的解集为_解析 f(x)xcos x，f(x)1sin x0，f(x)(xR)是增函数若f(ex1)f(0)，则ex10，ex1，即x0.解集为(0，)答案 (0，)2函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析由f(x)0，得x0或x2.由f(x)0得x0或x2，由f(x)0得0x2，所以f(x)在x2处取得极小值答案23若f(x)x33ax23(a2)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是_解析f(x)3x26ax3(a2)，由题意知f(x)0有两个不等的实根，由(6a)2433(
2、a2)0，即a2a20，解得a2或a1.答案(，1)(2，)4已知函数f(x)ln x2x，若f(x22)f(3x)，则实数x的取值范围是_解析由f(x)ln x2x，得f(x)2xln 20，x(0，)，所以f(x)在(0，)上单调递增，又f(x22)f(3x)，得0x223x，所以x(1,2)答案(1,2)5已知函数f(x)(4m1)x2(15m22m7)x2在实数集R上是增函数，则实数m的取值范围是_解析f(x)x22(4m1)x15m22m7，依题意，知f(x)0在R上恒成立，所以4(m26m8)0得2m4.答案2,46 设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)若x1为函数f(x)e
3、x的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)的图象是_解析 设h(x)f(x)ex，则h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex.由x1为函数f(x)ex的一个极值点，当x1时，ax22axbxbcca0，ca.f(x)ax2bxa.若方程ax2bxa0有两根x1，x2，则x1x21，中图象一定不满足该条件答案 7已知函数f(x)的定义域为(2,2)，导函数为f(x)x22cos x且f(0)0，则满足f(1x)f(x2x)0的实数x的集合是_解析因为当x(2,2)时，f(x)0且为偶函数，所以f(x)是奇函数且在(2,2)上单调递增，于是由f(1x)f(x2x)
4、f(xx2)，得2xx21x2，解得1x1.答案(1,1)8已知函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，若f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案 2，19已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立，则实数a的取值范围是_答案 4，)10设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)xf(x)0，则不等式f()f()的解集为_解析设F(x)xf(x)，则由F(x)f(x)xf(x)0，可得函数F(x)是R上的增函数又0，所以由f()f()可变形得f()f()，即F()F()，所以解得1x0的解集为(1,3)，可设f(x)
5、2xa(x1)(x3)，且a0，因而f(x)a(x1)(x3)2xax22(1a)x3ag(x)xf(x)ax32(1a)x23ax，g(x)在区间内单调递减，g(x)3ax24(1a)x3a在上的函数值非正，由于a0，故只需ga(1a)3a0，注意到a0，a24(1a)90，得a1或a5(舍去)故所求a的取值范围是(，1(2)证明：a1时，方程f(x)2x31仅有一个实数根，即证方程2x3x24x40仅有一个实数根令h(x)2x3x24x4，由h(x)6x22x40，得x11，x2，易知h(x)在(，1)，上递增，在上递减，h(x)的极大值h(1)10)由题意，得f(1)0，所以k1.(2)
6、由(1)得f(x)(1xxln x)(x0)令h(x)1xxln x(x0)，则当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0，所以x(0,1)时，f(x)0，x(1，)时，f(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)14已知函数f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a1，如果对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|，求实数a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax.当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a1时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当1a0时，令f(x)0，解得x .所以当x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，此时函数f(x)单调递减(2)不妨设x1x2，而a1，由(1)知f(x)在(0，)上单调递减，从而对于任意的x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|成立，它等价于对任意的x1，x2(0，)，有f(x2)4x2f(x1)4x1.令g(x)f(x)4x，则g(x)2ax4，式等价于g(x)在(0，)上单调递减，即2ax40在(0，)上恒成立，从而a2在(0，)上恒成立，由于22，故a的取值范围是(，2.5