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1、江苏省南京市汇文中学2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共18分）1方程2x2=x的根为( )Ax=Bx=0Cx1=2，x2=0Dx=或x=02我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：这些队员年龄的众数和中位数分别是( ) 年龄/岁141516171819人数213673A18，17B17，18C18，17.5D17.5，183下列命题中，是真命题的是( )A三点确定一个圆B长度相等的弧是等弧C圆周角等于圆心角的一半D正七边形有七条对称轴4已知O的直径为8，直线l上有一点M，满足OM=4，则直线l与O的位置关系是( )A相交B相离或
2、相交C相离或相切D相交或相切5如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是( )AB4.75C5D4.86如图已知四边形ABCD是O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题：AEDBEC AEB=90BDA=45 图中全等的三角形共有3对其中正确的命题有( )个A1B2C3D4二、填空题（每题3分，共30分）7若a是方程x22x1=0的解，则代数式2a24a+2011的值为_8已知三角形三边长分别为1cm、cm和cm，则此三角形的外接圆半径为_cm9如图，O是ABC的内切圆，切点分别为
3、D、E、F，点M是O上一点，EMF=55，则A=_10一组数据1，2，x，0，1的极差为3，则整数x的值是_11已知圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则它的表面积为_cm2（结果保留）12一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=_13已知AB、CD是O的两条直径，则四边形ACBD一定是_形14若一组数据a1，a2，an的方差是5，则一组新数据2a1，2an的方差是_15若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是_16如图所示，给出下列条件：B=ACD；ADC=ACB；AC2=ADAB，其中单独能够判定ABCACD的有_三、解答题17已知关
4、于x的一元二次方程x26x+k=0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x26x+k=0与x2+mx1=0有一个相同的根，求常数m的值18有四张背面图案相同的卡片A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）小敏将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张，放回洗匀再摸出一张（1）用树状图（或列表法）表示两次摸出卡片所有可能的结果；（卡片可用A、B、C、D表示）（2）求摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的概率19一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）甲乙丙丁戊平均分标准差数学7172696870英语
5、888294857685（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）成绩标准差从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？20如图，AB是O的直径，BC是O的弦，半径ODBC，垂足为E，若BC=，DE=3求：（1）O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积21某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个设每个定价增加x元（1）
6、写出售出一个可获得的利润是_ 元（用含x的代数式表示）（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？22在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长23已知，如图，在RtABC中，C=90，BAC的角平分线AD交BC边于D（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=，求O的半径24如图，已知点I是ABC的内心，A
7、I交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=EDEA25如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF、BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径26（14分）如图ABC与DEA是两个全等的等腰直角三角形，BAC=D=90，DEA 绕点A旋转，边AD、AE与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5回答下列问题：（1）求证：GAFGBA；（2）求证：AF2=FGFC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取
8、值范围） （4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论2015-2016学年江苏省南京市汇文中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（各题所给答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共18分）1方程2x2=x的根为( )Ax=Bx=0Cx1=2，x2=0Dx=或x=0【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可【解答】解：方程整理得：2x2x=0，分解因式得：x（2x1）=0，解得：x=或x=0故选D【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键2我校男子足球队22名队员的年龄如下表所示：这些队员年
9、龄的众数和中位数分别是( ) 年龄/岁141516171819人数213673A18，17B17，18C18，17.5D17.5，18【考点】中位数 【专题】图表型【分析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数【解答】解：18出现的次数最多，18是众数第11和第12个数分别是17、17，所以中位数为17故选A【点评】本题考查了确定一组数据的众数和中位数的能力3下列命题中，是真命题的是( )A三点确定一个圆B长度相等的弧是等弧C圆周角等于圆心角的一半D正七边
10、形有七条对称轴【考点】命题与定理 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【解答】解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、错误，能够重合的弧是等弧；C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；D、正确故选D【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是对这些有关的定理及定义熟练掌握4已知O的直径为8，直线l上有一点M，满足OM=4，则直线l与O的位置关系是( )A相交B相离或相交C相离或相切D相交或相切【考点】直线与圆的位置关系 【分析】根据直线与圆的位置关系来判定判断直线和圆的位置关系：直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；直线
11、l和O相离dr分OM垂直于直线l，OM不垂直直线l两种情况讨论【解答】解：O的直径为8，半径为4，OM=4，当OM垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d=4=r，O与l相切；当OM不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d4=r，O与直线l相交故直线l与O的位置关系是相切或相交故选D【点评】本题考查直线与圆的位置关系解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定5如图，在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是( )AB4.75C5D4.8【考点】切线的性质；勾股定理的逆定理；圆周角定理 【
12、专题】压轴题【分析】设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，连接CO，CD，则有ODAB；由勾股定理的逆定理知，ABC是直角三角形OC+OD=EF，由三角形的三边关系知，CO+ODCD；只有当点O在CD上时，OC+OD=EF有最小值为CD的长，即当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时CD=BCACAB=4.8【解答】解：如图，ACB=90，EF是直径，设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则ODABAB=10，AC=8，BC=6，ACB=90，EF为直径，OC+OD=EF，CO+ODCD，当点O在直角
13、三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF=CD有最小值由三角形面积公式得：CD=BCACAB=4.8故选D【点评】本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解6如图已知四边形ABCD是O的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题：AEDBEC AEB=90BDA=45 图中全等的三角形共有3对其中正确的命题有( )个A1B2C3D4【考点】命题与定理 【分析】由圆周角的推论可以知道，ABE=DCE，BAE=CDE，而AB=DC，可求出ABEDCE，由此可得出三对全等三角形，也可得出BE=CE，AE=DE，那么AE=4，根据勾股定理的逆定理
14、，可知ABE为直角三角形，即AEB=90由此可得出其他正确的结论【解答】解：根据圆周角的推论，可得到：ADE=BCE，DAE=CBE，则AEDBED，正确；由上面的分析可知，BE=CE=3，AB=5，AE=ACCE=4，根据勾股定理的逆定理，ABE为直角三角形，即AEB=90，正确；AE=DE，EAD=EDA=45，正确；从已知条件不难得到ABEDCE、ABCDCB、ABDDCA共3对，正确其中正确的命题有4个；故选D【点评】此题考查了命题与定理，用到的知识点是圆周角定理的推论和相似三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理二、填空题（每题3分，共30分）7若a是方程x22x1=0的解，则代数式2
15、a24a+2011的值为2013【考点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a22a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可【解答】解：a是方程x22x1=0的一个解，a22a=1，则2a24a+2011=2（a22a）+2011=21+2011=2013；故答案为：2013【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值8已知三角形三边长分别为1cm、cm和cm，则此三角形的外接圆半径为cm【考点】三角形的外接圆与外心；勾股定理的逆定理 【分析】易得此三角形为直角三角形，那么外接圆的半
16、径等于斜边的一半，计算即可解答【解答】解：三角形的三条边长分别为1cm、cm和cm，12+（）2=（）2，此三角形是以cm为斜边的直角三角形，这个三角形外接圆的半径为2=（cm）故答案为：【点评】本题主要考查直角三角形的外接圆半径的求法；判断出三角形的形状是解决本题的突破点；用到的知识点为：直角三角形外接圆的半径是斜边的一半9如图，O是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，点M是O上一点，EMF=55，则A=70【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】利用切线的性质得出AEO=AFO=90，根据圆周角定理得出EOF=110，进而利用四边形内角和定理得出答案【解答】解：连接OF，OE，O是ABC的
17、内切圆，切点分别为D、E、F，AEO=AFO=90，EMF=55，EOF=110，A=180110=70故答案为：70【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心的知识以及圆周角定理等知识，根据已知得出EOF的度数是解题关键10一组数据1，2，x，0，1的极差为3，则整数x的值是2或1【考点】极差 【分析】根据极差的公式：极差=最大值最小值x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论【解答】解：当x是最大值，则x（1）=3，所以x=2；当x是最小值，则2x=3，所以x=1；所以x的值为2或1故答案为2或1【点评】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中
18、的最大值减去最小值同时注意分类的思想的运用11已知圆锥的高为4cm，底面半径为3cm，则它的表面积为15cm2（结果保留）【考点】圆锥的计算 【分析】利用勾股定理可得圆锥母线长，则圆锥侧面积=底面周长母线长【解答】解：由勾股定理知：圆锥母线长=5cm，则圆锥侧面积=65=15cm2故本题答案为：15【点评】本题考查圆锥的侧面积计算公式应用需注意应先求出母线长12一组数据23，27，20，18，x，12，它们的中位数是21，则x=22【考点】中位数 【分析】要确定x与各个数的大小关系，可以先将除x外的五个数从小到大重新排列后为12，18，20，23，27，然后分：x在23前；27以后；在其中两个
19、数之间；分别等于数组中的数这几种情况分别讨论就可以确定x的具体位置从而确定大小【解答】解：这组数据23，27，20，18，x，12，共6个；最中间两个数的平均数是这组数据的中位数将除x外的五个数从小到大重新排列后为12 18 20 23 27；20这个数总是中间的一个数，由于中位数是21，所以中间还一个是22，即x=22故填22【点评】本题考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数13已知AB、CD是O的两条直径，则四边形ACBD一定是矩形【考点】圆周角定理；矩形的判定 【分析】根据圆的直径相等，且圆心为直
20、径的中点，得到圆心到A、B、C及D四点的距离相等，根据对角线互相平分且对角线相等，得到四边形ACBD为矩形【解答】解：连接AC、BC、BD、AD，AB、CD为圆O的直径，OA=OB=OC=OD，四边形ACBD为矩形故答案是：矩【点评】此题考查圆周角定理和矩形的判别方法，考查了数形结合的数学思想，是一道基础题14若一组数据a1，a2，an的方差是5，则一组新数据2a1，2an的方差是20【考点】方差 【分析】根据平均数和方差的公式的性质求解【解答】解：一组数据a1，a2，an的方差是5，设其平均数为m，方差为n，即n=5；则一组新数据2a1，2a2，2an的平均数是2m，方差是S2=4n2=20
21、故答案为：20【点评】本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有n个数据，x1，x2，xn，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍15若一个圆锥的侧面积是它底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是180【考点】圆锥的计算 【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度由题意得S底面面积=r2，l底面周长=2r，S扇形=2S底面面积=2r2，l扇形弧长=l底面
22、周长=2r由S扇形=l扇形弧长R得2r2=2rR，故R=2r由l扇形弧长=得：2r=解得n=180故答案为180【点评】本题通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键16如图所示，给出下列条件：B=ACD；ADC=ACB；AC2=ADAB，其中单独能够判定ABCACD的有【考点】相似三角形的判定 【专题】压轴题【分析】利用相似三角形相似的判定，分别把用作条件，结合题中已知条件均可证明ABCACD【解答】解：由图可知A为两个要证明相似的三角形的公共角，因此，只要再找出一组对应角
23、相等，或两组对应边成比例即可证明ABCACD而分别与A为ABC与ACD的公共角相结合，均可推出ABCACD中A不是已知的比例线段的夹角，故不正确选故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定定理三、解答题17已知关于x的一元二次方程x26x+k=0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x26x+k=0与x2+mx1=0有一个相同的根，求常数m的值【考点】根的判别式 【专题】计算题；判别式法【分析】（1）根据题意知=b24ac0，从而求出k的取值；（2）根据题意和（1）知当k=9时，方程有相同的根，然后求出两根，再求m的值即可【解答】解：（1）b24a
24、c=（6）241k=364k0k9（2）k是符合条件的最大整数且k9k=9当k=9时，方程x26x+9=0的根为x1=x2=3；把x=3代入方程x2+mx1=0得9+3m1=0m=【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件18有四张背面图案相同的卡片A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）小敏将这四张卡片背面朝上洗匀摸出一张，放回洗匀再摸出一张（1）用树状图（或列表法）表示两次摸出卡片所有可能的结果；（卡片可用A、B、C、D表示）（2）求摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的概率【考点】列表法与树状图法；中心对称图形 【分析
25、】（1）列举出所有情况即可；（2）中心对称图形是绕某点旋转180后能够和原来的图形完全重合，那么B，D是中心对称图形，看所求的情况占总情况的多少即可【解答】解：（1）树状图：或列表法 ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）；（2）由图可知：只有卡片B、D才是中心对称图形所有可能的结果有16种，其中满足摸出的两张卡片图形都是中心对称图形（记为事件A）有4种，即：（B，B）（B，D）（D，B）（D，D）P（A）=【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能
26、性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=注意本题是放回实验19一次期中考试中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的数学、英语成绩等有关信息如下表所示：（单位：分）甲乙丙丁戊平均分标准差数学7172696870英语888294857685（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）成绩标准差从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问甲同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？【考点】标准差；算术平均数 【专题】图表型【分析】由平均数的概念计算平均数
27、，根据标准差是方差的算术平方根计算标准差，根据标准分的计算公式：标准分=（个人成绩一平均成绩）成绩标准差，计算数学和英语的标准分，然后比较【解答】解：（1）数学考试成绩的平均分数学=，英语考试成绩的标准差S英语=；（2）设甲同学数学考试成绩标准分为P数学，英语考试成绩标准分为P英语，则P数学=，P英语=P数学P英语，从标准分来看，甲同学数学比英语考得更好【点评】本题考查了平均数和标准差的计算20如图，AB是O的直径，BC是O的弦，半径ODBC，垂足为E，若BC=，DE=3求：（1）O的半径；（2）弦AC的长；（3）阴影部分的面积【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理 【分析】（
28、1）半径ODBC，所以由垂径定理知：CE=BE，在直角OCE中，根据勾股定理就可以求出OC的值；（2）根据AB是O的直径，得到ACB=90，因而在直角三角形ABC中根据勾股定理得到AC的长；（3）阴影部分的面积就是扇形OCA的面积减去OAC的面积【解答】解：（1）半径ODBC，CE=BE，BC=6，CE=3，设OC=x，在直角三角形OCE中，OC2=CE2+OE2，x2=（3）2+（x3）2，x=6即半径OC=6；（2）AB为直径，ACB=90，AB=12，又BC=6，AC2=AB2BC2=36，AC=6；（3）OA=OC=AC=6，AOC=60，S阴=S扇SOAC=69【点评】阴影部分的面积
29、可以看作是扇形的面积减去三角形的面积，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求21某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个设每个定价增加x元（1）写出售出一个可获得的利润是x+10 元（用含x的代数式表示）（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题【分析】（1）根据利润=销售价进价列关系式；（2）总利润=每个的利润销售量，销售量为40010x，列方程求解，根据题意取舍；【解答】解：由题意得：（1）50+x40=
30、x+10（元）（2）设每个定价增加x元列出方程为：（x+10）（40010x）=6000解得：x1=10 x2=20要使进货量较少，则每个定价为70元，应进货200个【点评】考查了一元二次方程的应用，应用题中求最值需先求函数表达式，再运用函数性质求解此题的关键在列式表示销售价格和销售量22在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长【考点】勾股定理；平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】几何综合题【分析】（1）ADF和DEC中，易知ADF=CED
31、（平行线的内错角），而AFD和C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）在RtABE中，由勾股定理易求得BE的长，即可求出EC的值；从而根据相似三角形得出的成比例线段求出AF的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADF=CED，B+C=180；AFE+AFD=180，AFE=B，AFD=C，ADFDEC；（2）解：CD=AB=4，AEBC，AEAD；在RtADE中，DE=，ADFDEC，；，解得AF=【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质23已知，如图，在RtABC中，C=90，BAC的角平分线AD交BC边于D（1）以AB边上一
32、点O为圆心，过A，D两点作O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的O与AB边的另一个交点为E，AB=6，BD=，求O的半径【考点】作图复杂作图；切线的判定 【分析】（1）根据题意得：O点应该是AD垂直平分线与AB的交点；由BAC的角平分线AD交BC边于D，与圆的性质可证得ACOD，又由C=90，则问题得证；（2）设O的半径为r则在RtOBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值【解答】解：（1）如图1，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆判断结果：BC是O的切线如图2，连接OD AD平分BAC，DAC=D
33、ABOA=OD，ODA=DABDAC=ODA，ODAC，ODB=C，C=90，ODB=90， 即：ODBC，OD是O的半径，BC是O的切线（2）设O的半径为r，则OB=6r，BD=2，在RtOBD中，OD2+BD2=OB2，即r2+（2）2=（6r）2，解得r=2故O的半径是2【点评】此题考查了切线的判定与性质，以及勾股定理等知识此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想的应用24如图，已知点I是ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆O于E，求证：（1）IE=EC；（2）IE2=EDEA【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】（1）由内心的性质可知；ACI=BCI，BAE=CAE，由圆周角定理
34、可知BCE=BAE，从而得到CAE+ACI=ICB+BCE，从而得到EIC=ICE，于是得到IE=EC；（2）先证明DCECAE，从而可得到CE2=DEEA，由IE=EC从而得到IE2=DEEA【解答】解：（1）如图所示；连接IC点I是ABC的内心，ACI=BCI，BAE=CAE又BAE=BCE，CAE=BCECAE+ACI=ICB+BCEEIC=ICEIE=EC（2）由（1）可知：CAE=BCE又AEC=DEC，DCECAECE2=DEEAIE=EC，IE2=DEEA【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质和判定、圆周角定理，明确三角形的内心是三角形内角平分线的交点是解题的关
35、键25如图，AB是O的弦，D为半径OA的中点，过D作CDOA交弦于点E，交O于点F，且CE=CB（1）求证：BC是O的切线；（2）连接AF、BF，求ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求O的半径【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质 【专题】压轴题【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明OBC=90即可证明BC是O的切线；（2）连接OF，AF，BF，首先证明OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出ABF的度数；（3）过点C作CGBE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由于ADE=CGE=90，AED=GE
36、C，得到GCE=A，ADECGE，于是得到sinECG=sinA=，在RtECG中求得CG=12，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果【解答】（1）证明：连接OBOB=OA，CE=CB，A=OBA，CEB=ABC又CDOAA+AED=A+CEB=90OBA+ABC=90OBBCBC是O的切线（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，DA=DO，CDOA，AF=OF，OA=OF，OAF是等边三角形，AOF=60ABF=AOF=30；（3）解：如图2，过点C作CGBE于G，CE=CB，EG=BE=5，ADE=CGE=90，AED=GEC，GCE=A，ADECGE，sinECG=sinA=，
37、在RtECG中，CG=12，CD=15，CE=13，DE=2，ADECGE，AD=，CG=，O的半径OA=2AD=【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键26（14分）如图ABC与DEA是两个全等的等腰直角三角形，BAC=D=90，DEA 绕点A旋转，边AD、AE与BC分别与AD、AE相交于点F、G，CB=5回答下列问题：（1）求证：GAFGBA；（2）求证：AF2=FGFC；（3）设y=AF2+AG2，FG=x，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （4）探究BF2、FG2、GC2之间的关系，证明你的结论【考点】相
38、似形综合题 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到C=B=DAE=E=45，由外角的性质得到CFA=B+FAB，GAB=FAG+FAB，于是得到CFA=BAG，即可得到结论（2）方法同（1）证得AGFACF，根据相似三角形的性质即可得到结论（3）由GAFGBA，可得AG2=FGBG，又由AF2=FGFC，易得y=AF2+AG2=FG（CB+FG），继而求得y与x的函数关系式（4）首先把ABF旋转至ACP，得ABFACP，再利用三角形全等的知识证明ACP+ACB=90，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系【解答】证明：（1）ABC与DEA是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDA=90，C
39、=B=DAE=E=45，CFA=B+FAB，GAB=FAG+FAB，CFA=BAG，GAFGBA；（2）ABC与DEA是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDA=90，C=B=DAE=E=45，FGA=B+EAC，CAF=FAG+EAC，AGF=CAF，AGFACF，AF2=FGFC（3）GAFGBA，AG2=FGBG，AF2=FGFC，y=AF2+AG2=FGBG+FGFC=FG（BG+FC）=FG（CB+FG），FG=x，CB=5，y=x（x+5）=x2+5x；（4）把ABF旋转至ACP，得ABFACP，1=4，AF=AP，CP=BF，ACP=B，1+3=45，4+3=45，2=4+3=45，2=PAG，在FAG和PAG中，AFGAGP（SAS），FG=GP，ACP+ACB=45+45=90，在RtPGC中，GP2=GC2+CP2，FG2=BF2+GC2【点评】此题属于相似三角形的综合题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及等腰直角三角形性质注意准确作出辅助线是解此题的关键22