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1、1,定义,为D的转置行列式,(转置)行列互换值不变,即,1.2 n 阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,性质1,2,(换法)换行(列)换号,即,性质2,3,两行(列)同值为零,即,推论,4,(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k, 等于用数k乘以这个行列式,即,性质3,5,两行(列)成比例，值为零,例如,如果行列式某一行(列)有公因子k时,则k 可以提到行列式符号的外面,推论,即:,(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两个行列式之和,即,性质4,6,7,例如,8,(消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元
2、素上去,则行列式的值不变,即,性质5,9,总结行列式性质,性质1,性质2,推论,性质3,推论,性质4,性质5,换行(列)变号.,两行(列)同，值为零.,某行(列)乘数 k=kD.,两行(列)成比例,值为零.,D可按某行(列)分拆成两行列式之和.,D某行(列)乘数 k 加至另行(列),行列式值不变.,(转置),(换法),(倍法),(消法),10,行列式的性质是有关行列式计算和推 理的基础,必须熟练掌握,会灵活运用.,行列式变换的表示符号,注,行变换,列变换,消法,倍法,换法,11,计算,例7,解 通过行变换将D化为上三角行列式,12,13,设有四阶行列式:,则展开式中x4的系数是( ). (A)
3、 2; (B) 2; (C) 1; (D) 1.,解 含x4的项只有一项,例8,(1)(4321) a14a23a32a41=2x4,14,已知,计算,例9,15,解,由性质4,16,性质 3 为我们提供了使用矩阵初等变换计算行列式的简便方法, 这种方法的计算工作量要比按定义展开的方法小得多。 利用初等变换计算行列式的一个基本程序： 通过适当的初等变换把行列化为三角行列式。,二、 行列式的计算,行列式的“消元法”或“化零运算”。,例4. 设,，求 detA.,解一：化为“三角行列式”,利用初等变换计算行列式的另一个基本程序：把行列式的某一行(列)的元素尽可能化为零, 然后按该行(列)展开, 降
4、阶后再计算行列式的值。,解二：,例5 计算,解,例6 计算,解,例7 证明范德蒙行列式(n2),例7 证明范德蒙行列式(n2),证,n = 2:,设对于n-1阶结论成立，对于n阶：,n-1阶范德蒙行列式,例8,例9 计算,解,加边法,(考虑：其他解法？),(再考虑例6？),解二,3、用一些简单的、已知的行列式来计算行列式,计算行列式的方法归纳及综合运用：,1、依定义计算行列式,2、用对角线法则计算行列式，它只适用二阶、 三阶行列式,三角行列式；一行(列)元素全为零的行列式；两行(列)元素对应成比例的行列式；范德蒙行列式；,4、用行列式性质对行列式进行变形，化成已知的或容易计算的行列式5、利用行
5、列式按行(列)展开的性质对行列式进行降阶来计算行列式6、用数学归纳法证明行列式7、综合运用上述方法计算行列式,例10,解,思考题1,求第一行各元素的代数余子式之和:,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,思考题2,证明 2n 阶行列式,证一:,(1) 当 a = 0 时, 根据行列式的定义有,(2) 当 时, 利用行列式的初等变换有,证二 : 将行列式第 2n 行依次与第2n-1行, 第2行对调(作2n-2次相邻对换),再把第2n 列依次与2n-1列 , , 第2列对调,得,思考题3,两行对应成比列,50,下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算的问题, 即,1.3 行列式展开定理,
6、定义 在给定的n阶行列式 中,把元素,所在的i 行和j 列的元素划去,剩余元素,记作 ;,构成的n-1阶行列式称为元素 的余子式,而元素 的代数余子式记作,51,52,在行列式,中,例10,53,若 D 的第 i 行元素除 外都是零，,引理,则,行(列)的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和, 即,定理3,n阶行列式 等于它的任意一,54,55,n阶行列式 ,则,定理4,56,证,及降阶法将 G 按 j 行展开有,由,57,1.定义法利用n阶行列式的定义计算;2.三角形法利用性质化为三角形行列式来 计算；3.降阶法利用行列式的按行(列)展开 性质对行列式进行降阶计算；4. 加边法(升阶法);
7、5. 递推公式法；6.归纳法.,总结 n行列式的计算方法,58,计算 n 阶行列式(行和相同),例1,59,解,60,61,计算 n 阶行列式（两道一点）,例2,解,62,计算n+1阶行列式(爪形),其中,例3,63,解,64,当 全不为零时,65,证明n阶(三对角)行列式,例4,其中,66,对行列式阶数n用数学归纳法证明,n=2 时，,结论成立.,证,n=1 时，,结论成立.,67,则对于n阶行列式 按第一行展开有,设n-1, n-2时结论成立,68,证明范德蒙(Vandermonde)行列式,例5,69,用数学归纳法证明,证,n=2 时，,结论成立.,假设对n-1阶行列式结论成立,下证n阶成立.,从第 n 行开始, 每一行减去前一行的x1倍, 目的是把第一列除1以外的元素都化为零.然后按第一列展开, 并提取各列的公因子, 可以得到:,70,71,或者利用递推公式,由上述递推结果即可得到结论.,72,预 习 1.4- 2.2,