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1、1,线性代数与空间解析几何,南京邮电大学工程数学教研室,闫庆伦,2012.7.7,2,学时:48 学时 3 学分,共16 周课,开课在第一二学期. 成绩: 100 分 平时+期末,线性代数与解析几何,序言,3,线性代数的应用:有很多实际问题,都 可以转成线性代数的方法去解决.在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、密码学、经济学和统计学中都有很多应用.,线性代数的重要性：线性代数与微积分是大学数学基础课.无论这样评价其重要性都不为过。而学好这些数学基础课程，将受益终生.,4,线性代数 ( 抽象) 为了解决多变量问题 形成的学科. （代数为几何提供了便利 的研究工具, 几何为代数 提供了直观
2、想象的空间) . 解析几何 ( 直观),一、教学内容,5,内容抽象 概念多，符号多 计算原理简单但计算量大 证明简洁但技巧性强 远期应用广泛,二、课程特点,6,掌握三基基本概念 基本理论 基本方法 课前预习、课后复习体会思路多动手，勤思考深入体会思想方法培养自学能力，独立分析问题和 独立解决问题的能力,三、学习方法,7,1.线性代数与空间解析几何赵礼峰等编写. 2.线性代数与空间解析几何学习指导 俞正光 ( 清华) 等编，科学出版社.3.线性代数复习指导恩波组编，胡金德 ( 清华) 国家行政学院出版社.4. 答疑：每周一次.,四、教学参考书,8,五、教学要求,1.上课遵守纪律关手机，不迟到 !
3、2.答疑时间: .3.交作业时间: 每周一次，上课时候交. (作业 写上学号!),9,目 录,行列式矩阵空间解析几何和向量运算n维向量线性方程组矩阵相似对角化二次型,10,线性代数与空间解析几何,第一章行列式,11,行列式的定义行列式的性质行列式的计算Cramer法则,本章主要内容,12,本节主要内容,二阶行列式的定义 三阶行列式的定义 n阶行列式的定义 行列式的性质,13,设二元线性方程组为,1.1.1 二阶和三阶行列式,其中,行列式是一种算式,是根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.,1.1 n阶行列式,14,对方程组用加
4、减消元法求出解:,此解不易记忆，因此有必要引进新的符号“行列式”来表示解,如果定义二阶行列式如下(对角线法则）：,+,主对角线,副对角线,15,当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:,16,解,则方程组的解为,例1 求解方程组,由于,二阶行列式对角线法则:,二阶行列式的特点1、它表示 2! 项的代数和2、每一项都是不同行不同列的两个元素的乘积3、正负项各占一半,主对角线,副对角线,18,三阶行列式的特点1、它表示 3! 项的代数和2、每一项都是不同行不同列的三个元素的乘积3、正负项各占一半,三阶行列式对角线法则:,19,如果定义三阶行列式如下(对角线法则） ：,那么对三元一次
5、方程组,在系数行列式 D 0 时,方程组有唯一解,其解可表示为:,20,其中,例2,21,问题1：怎样定义n阶行列式?,定义 由1,2, , n 组成的有序数组称 为一个 n阶 ( 全) 排列, 一般记为:,例如 自然数1 ,2 ,3 的排列共有六种.,1.1.2 全排列的逆序数、对换,例如 是一个n阶排列,叫自然排列.,22,在一个排列 中,如果一个大,数排在小数的前面,则称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为逆序数,表示为,如果,为偶数,则称为偶排列.,为奇数,则称为奇排列.,定义,如果,23,例3,因为,所以 23541 是一个奇排列.,例4,24,对换: 一个排列中的某两个数的
6、位置互换，其余的数不动，就得到一个新的排列，称这样的变换为一次对换.相邻两个元素对换称为相邻对换.,对换改变排列的奇偶性.,需要进行 2s+1 次相邻对换.,证,(1)相邻对换,(2)不相邻对换,定理1,所以对换改变排列的奇偶性.,25,推论1 全体 n元（n2）排列的集合中，奇排列与偶排列各一半，都是 n!/2。推论2 任一个n阶排列都可以经过一系列对换变成自然排列，并且所做的对换的次数与这个排列有相同的对偶性。,26,用排列观点总结三阶行列式:,1.1.3 n 阶行列式的定义,（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,（3）正负项各占一半,
7、27,（4）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,- 负号,28,定义,记一阶行列式,下面给出n阶行列式定义:,29,由 个元素组成;为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 当行按自然顺序取,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.,注 用定义只能计算一些简单的行列式.,归纳如下：,30,证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积, 即,例5,31,只以下三角行列式为例来证明.,先决定所有可能的非零项,其次决定非零项的符号,证,32,其中 * 表示此处元素可以是任意的数.,例6,3
8、3,这个行列式的值一般并不等于,当 n=4,5 时:,当 n=6,7 时:,问题 2: 如何决定下面一般项的符号?,注意,34,根据这个结论,也可以把行列式表示为:,行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来计算 主要利用行列式性质来计算,注,35,定义,为D的转置行列式,(转置)行列互换值不变,即,1.2 n 阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,性质1,36,性质2,(换法)换行(列)换号,即,37,两行(列)同值为零.即,推论,38,(倍法)把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k, 等于用数k乘以这个行列式,即,性质3,39,如果行列式有两行(列)成比例，则该
9、行列式为零,推论1,例如,如果行列式某一行(列)有公因子k时,则该公因子k可以提到行列式符号的外面,推论2,40,(分拆)如果行列式某行(列)的所有元素都是两数之和，则该行列式为两个行列式之和,即,性质4,41,42,例如,43,(消法)将行列式的某一行(列)的各元素乘以常数加到另一行(列)的对应元素上去,则行列式的值不变,即,性质5,44,奇排列s个,偶排列t个,(1,2)对换,(1,2)对换,证,全部 n(2)阶排列中奇偶排列各占一半.,定理2,45,学习大学数学，要了解大学数学与中学数学的差别： 中学的数学是静态的，并且只学计算的方法，内容少而简单； 大学的数学是变量数学，以分析为主要特色，内容多而理解起来难，老师讲课进度快。所以，大家应该全方位地学习，要有快速接受知识的能力。尽快从中学过渡到大学，适应大学的学习 对于培养科学素质和创新能力，大学数学是最有用且最值得你努力的课程。,