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1、行列式的性质行列式展开行列式的性质行列式展开现在学习的是第1页，共58页一、行列式的性质一、行列式的性质2 2、性质、性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.1、记、记现在学习的是第2页，共58页例如：例如：对这个行列式进行对这个行列式进行转置转置现在学习的是第3页，共58页3 3、性质、性质2 2 互换行列式的两行互换行列式的两行(列列),),行列式变号行列式变号.互换行列式的二、三行互换行列式的二、三行例例4 4、推论、推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为
2、零此行列式为零.证明证明 互换相同的两行，有互换相同的两行，有 现在学习的是第4页，共58页5 5、性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.即即行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面现在学习的是第5页，共58页6、性质、性质4行列式中如果有两行行列式中如果有两行(列列)元素成比例，元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明现在学习的是第6页，共58页7 7、性质、性质5 5若行列式的某一列若行列
3、式的某一列(行行)的元素都是两数之的元素都是两数之和和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如现在学习的是第7页，共58页8、性质、性质6把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同的各元素乘以同一数后加到另一列一数后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变例如例如现在学习的是第8页，共58页例例2.1二、应用举例二、应用举例计算行列式计算行列式常用常用方法：利用运算把行列式方法：利用运算把行列式化为三角形行列式化为三角形行列式，从而算得行列式的值，从而算得行列式的值 方法二方法二：三角形法三角形法现在学习的是第9页，共58页解解
4、现在学习的是第10页，共58页现在学习的是第11页，共58页现在学习的是第12页，共58页现在学习的是第13页，共58页现在学习的是第14页，共58页例例2.2 计算计算n 阶行列式阶行列式解解:将第将第 都加到第一列得都加到第一列得技巧技巧1：行和相：行和相同，同，全部加到某一列全部加到某一列现在学习的是第15页，共58页技巧技巧2:相同元素很多，相同元素很多，化化0（或者化为三角形）（或者化为三角形）.现在学习的是第16页，共58页 (行列式中行与列具有同等的行列式中行与列具有同等的地位地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用
5、方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质现在学习的是第22页，共58页1.4 行列式按行(列)展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则三、关于代数余子式的重要性质三、关于代数余子式的重要性质四、行列式的计算方法小结四、行列式的计算方法小结五、思考与练习题五、思考与练习题现在学习的是第23页，共58页例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式现在学习的是第24
6、页，共58页在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如现在学习的是第25页，共58页现在学习的是第26页，共58页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如现在学习的是第27页，共58页性质性质 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与
7、其的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则现在学习的是第28页，共58页现在学习的是第29页，共58页例例3.1方法三：用降阶法方法三：用降阶法现在学习的是第30页，共58页现在学习的是第31页，共58页方法四方法四:用数学归纳法用数学归纳法例例4.1证明证明现在学习的是第37页，共58页证证对阶数对阶数n用数学归纳法用数学归纳法现在学习的是第38页，共58页现在学习的是第39页，共58页评注评注现在学习的是第40页，共58页 证证用数学归纳法用数学归纳法例例4.2 证明范德蒙证明范德蒙(Vandermon
8、de)行列式行列式数学归纳法数学归纳法现在学习的是第41页，共58页现在学习的是第42页，共58页 n-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式现在学习的是第43页，共58页推论推论 行列式行列式任任一行一行(列列)的元素与的元素与另另一行一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即现在学习的是第44页，共58页三、关于代数余子式的重要性质三、关于代数余子式的重要性质现在学习的是第45页，共58页方法五方法五:利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例5计算计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将
9、所给行列式化为范德蒙行列蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。现在学习的是第46页，共58页解解现在学习的是第47页，共58页上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知现在学习的是第48页，共58页评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（
10、列）的次序等）将此行提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成范德蒙行列式列式化成范德蒙行列式现在学习的是第49页，共58页例例6 6 计算计算 阶行列式阶行列式 解：先将解：先将 添上一行一列，变成下面的添上一行一列，变成下面的 阶行列式阶行列式方法六：加边法方法六：加边法现在学习的是第50页，共58页显然显然,将将 的第一行乘以的第一行乘以 后加到其余各行，得后加到其余各行，得注意：此为爪形行列式，注意：此为爪形行列式，记住解此行列式的方法。记住解此行列式的方法。因因,将第将第 列的列的 倍加到第一列倍加到第一列,得得现在学习的是第51页，共58页注：此题也可不加边，直接利用倍加注
11、：此题也可不加边，直接利用倍加及爪形行列式方法及爪形行列式方法现在学习的是第52页，共58页例例7证明证明:现在学习的是第53页，共58页证明证明:现在学习的是第54页，共58页现在学习的是第55页，共58页 四、行列式的计算方法小结四、行列式的计算方法小结(3)降阶法降阶法(参见例参见例3.1，例，例3.2)(最常用最常用)(2)三角形法三角形法(参见例参见例2.1，例，例2.2)利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角利用行列式的运算性质运算把行列式化为上（下）三角 形行列式，从而算得行列式的值形行列式，从而算得行列式的值(4)数学归纳法数学归纳法(参见例参见例4.1,例例4.2)
12、(5)利用范德蒙行列式利用范德蒙行列式(参见例参见例5)(6)加边法加边法(参见例参见例6)(7)递推法递推法(参见课本例参见课本例1.17)(1)用行列式的逆序数定义计算用行列式的逆序数定义计算（证明）（证明）现在学习的是第56页，共58页计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法换后，再考察它是否能用常用的几种方法小结小结现在学习的是第57页，共58页五、思考与练习题五、思考与练习题现在学习的是第58页，共58页