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1、定义定义为为D的的转转置置行行列列式式(转置转置)行列互换值不变行列互换值不变,即即，称称1.4 n 阶行列式的性质阶行列式的性质1(换法换法)换行换行(列列)换号换号,即即性质性质2 22两行两行(列列)同值为零同值为零,即即推论推论3(倍法倍法)把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的所的所有元素同乘以数有元素同乘以数k,等于用数等于用数k乘以乘以这个行列式这个行列式,即即性质性质3 34两行两行(列列)成比例，值成比例，值为零为零如果行列式某一行如果行列式某一行(列列)有公因子有公因子k时时,则则k 可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面即即:(分拆分拆)如果行列式某行如果行
2、列式某行(列列)的所有的所有元素都是两数之和，则该行列式为元素都是两数之和，则该行列式为两个行列式之和两个行列式之和,即即性质性质4 4567性质性质5 58总结行列式性质总结行列式性质性质性质1性质性质2推论推论性质性质3推论推论 性质性质4 性质性质5换行换行(列列)变号变号.两行两行(列列)同同，值为零值为零.某行某行(列列)乘数乘数 k=kD.两行两行(列列)成比例成比例,值为零值为零.D可按某行可按某行(列列)分拆成两行列式之和分拆成两行列式之和.D某行某行(列列)乘数乘数 k 加至另行加至另行(列列),行列式值不变行列式值不变.(转置转置)(换法换法)(倍法倍法)(消法消法)9行列
3、式变换的表示符号行列式变换的表示符号10计算计算例例7 7解解 通过行变换将通过行变换将D化为上三角行列式化为上三角行列式1112设有四阶行列式设有四阶行列式:则展开式中则展开式中x4的系数是的系数是().(A)2;(B)2;(C)1;(D)1.解解 含含x4的项只有一项的项只有一项例例8 813已知已知计算计算例例9 914解解1516 下面讨论将下面讨论将n阶行列式转化为阶行列式转化为n-1-1阶行阶行列式计算的问题列式计算的问题,即即1.3 行列式展开定理行列式展开定理1718在行列式在行列式中中例例101019若若 D 的第的第 i 行行元素除元素除 外都是零，外都是零，引理引理行行(
4、列列)的所有元素与其对应的代数的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和余子式的乘积之和,即即定理定理3 32021n阶行列式阶行列式 ,则则定理定理4 422证证及降阶法将及降阶法将 G 按按 j 行展开有行展开有第第 i 行行第第 j 行行231.定义法定义法利用利用n阶行列式的定义计算阶行列式的定义计算;2.三角形法三角形法利用性质化为三角形行列式来利用性质化为三角形行列式来 计算；计算；3.降阶法降阶法利用行列式的按行利用行列式的按行(列列)展开展开 性质对行列式进行降阶计算；性质对行列式进行降阶计算；4.加边法加边法(升阶法升阶法););5.递推公式法；递推公式法；6.6.归纳法归纳法
5、.总结总结 n行列式的计算方法行列式的计算方法24计算计算 n 阶行列式阶行列式(行和相同行和相同)例例1 1252627例例2 228计算计算n+1+1阶行列式阶行列式(爪形爪形)其中其中例例3 329解解3031证明证明n阶阶(三对角三对角)行列式行列式例例4 432对行列式阶数对行列式阶数n用数学归纳法证明用数学归纳法证明n=2 时时，结论成立结论成立.n=1 时时，结论成立结论成立.33则对于则对于n阶行列式阶行列式 按第一行展开有按第一行展开有设设n-1,-1,n-2-2时结论成立时结论成立,34证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式行列式例例5 535用数学归纳法证明用数学归纳法证明n=2 时时，结论成立结论成立.假设对假设对n-1-1阶行列式结论成立阶行列式结论成立,下证下证n阶成立阶成立.从第从第 n 行开始行开始,每一行减去前一行的每一行减去前一行的x1倍倍,目的是把第一列除目的是把第一列除1以外的元素都以外的元素都化为零化为零.然后按第一列展开然后按第一列展开,并提取各列并提取各列的公因子的公因子,可以得到可以得到:3637 或者利用递推公式或者利用递推公式 由上述递推结果即可得到结论由上述递推结果即可得到结论.38预预 习习 1.4-2.2 1.4-2.2 39