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1、南阳市2013届高三年级期终质量评估数学试题（理） 第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Px2 5x0,xZ，Q0，a，若PQ，则a等于 A1 B2 C1或2 D1或22已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角终边上一点，且sin，则y A8 B8 C4 D43已知函数f（x）2x，则A3 B4 C35 D454若展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于A8 B16 C80 D705执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A2或2 B2或2
2、C2 或2 D2或2 6在同一坐标系下，直线axbyab和圆（ab0，r0）的图像可能是7若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的外接球表面积是 A B C3 D48已知P是ABC所在平面内一点，2 0，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是 A B C D9已知双曲线(a0，b0)的左顶点与抛物线2px（p0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为 A2 B2 C4 D410在一个容量为300的样本频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面 积由小到大构成等比数列，已知a22a1，则小长方形面积
3、最大的一组的频数为A80 B120 C160 D20011已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x0, 1时，f（x）x，那么在区间1,3内关于x的方程f（x）kxk1（kR，k1）的根的个数A不可能有3个 B最少有1个，最多有4个C最少有1个，最多有3个 D最少有2个，最多有4个12已知A，B是椭圆（2b0）长轴的两个顶点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2且k1k20，若k1k2的最小值为1，则椭圆方程中b的值为A B1 C2 D第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请把答案填在答题纸相应位置13设随机变量服从正态分布N
4、（3，4），若P（2a3）P（a2），则a的值为_.14在直二面角MN中，等腰直角三角形ABC的斜边BC，一直角边AC，BC与所成角的正弦值为，则AB与所成的角是_.15在平面直角坐标系中，不等式组， 表示的平面区域的面积为5，直线mxym0过该平面区域，则m的最大值是_16已知数列满足a11，（n2），则数列的通项公式为_ 三、解答题：本大题共6小题，共70分应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（本题满分10分） 设函数f（x）sin（x），其中0，若coscossinsin 0，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是（1）求函数f（x）的解析式；（2）若A,B,C是ABC的三
5、个内角，且f（A）1，求sinBsinC的取值范围18（本题满分12分） 已知函数f（x）（m为常数0m1，且数列f（）是首项为2，公差为2的等差数列（1）f（），当m时，求数列的前n项和；（2）设，如果中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围19（本题满分12分） 某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率20（本题满分12分） 如图，四棱锥SABCD是正四棱锥，每条侧棱的长都是
6、底面边长的倍，P为侧棱SD上的点（1）求证ACSD；（2）若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SE ：EC的值；若不存在，试说明理由21（本题满分12分） 设椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为，3 （1）求椭圆C的离心率； （2）如果，求F1AB的面积22（本题满分12分） 已知函数f（x）axx lnx的图象在点xe（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3（1）求实数a的值；（2）若kZ，k对任意x1恒成立，求k的最大值； （3）当nm4时，
7、证明数学试题（理）答案一选择题 DACDD DCCAC BB 二填空题 13. 14. 15. 16. 三解答题17解：（1）由条件， 2分又图象的一条对称轴离对称中心的最近距离是，所以周期为，2分 5分（2）由，知，是的内角，从而 6分由， 8分，即 10分18：解 因数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以又 2分 当时 3分两式相减 6分（2） 由（1）知要使对于一切成立，即对一切成立对一切成立 9分只需，而单调递增，时得的取值范围是 12分19.解：（1）的所有可能取值为0，1，2 1分设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是
8、旧球，所以， 3分， 5分 7分所以的分布列为（注：不列表，不扣分）012的数学期望为 8分（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件而事件、互斥，所以，由条件概率公式，得， 9分， 10分 11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 12分20:解（1）设AC与BD交于O，连接SO，由题意知SO平面ABCD,以O坐标原点分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz，如图设底面边长为a则高，于是，故，从而 4分（2）由题意知，平面PAC的一个发向量为，平面DAC的一个发向量为。设所求二面角为，则，所求二面角的大小为 8
9、分（3）在棱SC上存在一点E使BE平面PAC，由（2）知是平面PAC的法向量，且，设,则，而 10分即当SE:EC=2:1时，,而BE不在平面PAC内，故BE平面PAC12分21 解（1） 可设，直线的方程为由知， 3分由知， 6分(2)由（知， 所以， 9分到直线AB：的距离为11分 12分22（1）解：因为，所以1分因为函数的图像在点处的切线斜率为3，所以，即所以2分（2）解：由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立3分令，则，4分令，则，所以函数在上单调递增 5分因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，6分所以函数在上单调递减，在上单调递增所以7分所以故整数的最大值是38分（3）证明1：由（2）知，是上的增函数，9分所以当时，10分即整理，得因为，所以即即所以12分证明2：构造函数，9分则10分因为，所以所以函数在上单调递增 因为， 所以所以即即即 所以12分证明3：要证 构造函数 则在上恒成立 在上递增 时即10