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1、2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分）1已知椭圆的方程为+=1，则该椭圆的焦点坐标为( )A（0，5），（0，5）B（0，7），（0，7）C（2，0），（2，0）D（0，2），（0，2）2某企业有职150人，其中高级职15人，中级职45人，一般职90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为( )A5，10，15B3，9，18C3，10，17D5，9，163与向量=（1，3，2）平行的一个向量的坐标是( )A（，1，1）B（1，3，2）C（，1）D（，3，2）4设命题p：x2+2x30 q：5x1，则命题p成
2、立是命题q成立的( )条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要5已知向量，则与的夹角为( )A0B45C90D1806已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为( )A5B38C10D387为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是( )A甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D
3、乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐8下边程序执行后输出的结果是( )A19B28C10D379从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是( )A1BCD10椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )ABC2D411在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为( )A60B90C75D10512若点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF2=90，则F1PF2的面积是( )A2B1CD二、填空题（本题共4题，每小题5分，共20分）13对于下列语句
4、：xZ，x2=3；xR，x2=2；xR，x2+2x+30；xR，x2+x50，其中正确的命题序号是_14到两个定点（0，8），（0，8）的距离之和等于24的点的轨迹方程为_15椭圆+=1的右顶点到它的左焦点的距离为_16向平面区域（x，y）|x|1，|y|1内随机投入一点，则该点落在区域（x，y）|x2+y21内的概率等于_三、解答题（本题共6题，共70分，解答就写出文字说明）17已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=，短轴长为6，求椭圆的标准方程18某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40，50），50，60）90，100后得到如下部分频率分布
5、直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求在这60名学生中分数在60，90）的人数19在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点（1）求证：四边形AEC1F为平行四边形；（2）求直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值20某种产品的广告费用支出x（千元）与销售额y（10万元）之间有如下的对应数据：x24568y34657（）请画出上表数据的散点图；（）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额y关于费用支出x的线性回归方程（III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？（参
6、考值：23+44+56+65+87=138，22+42+52+62+82=145）21如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小22已知椭圆的一个顶点为A1（0，），焦点在x轴上若右焦点到直线xy+2=0的距离3（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆交于A、B两点，且M点为线段AB的中点，求直线AB的方程及|AB|的值2015-2016学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分）1已知椭圆的方程为+=1，则该椭圆的焦点
7、坐标为( )A（0，5），（0，5）B（0，7），（0，7）C（2，0），（2，0）D（0，2），（0，2）【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆的方程为+=1，可得a=7，b=5，可得c=【解答】解：由椭圆的方程为+=1，a=7，b=5，c=2，则该椭圆的焦点坐标为故选：C【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2某企业有职150人，其中高级职15人，中级职45人，一般职90人，现抽30人进行分层抽样，则各职称人数分别为( )A5，10，15B3，9，18C3，10，17D5，9，16【考点】分层抽
8、样方法 【分析】共有150人，要抽一个30人的样本，采用分层抽样，每个个体被抽到的概率是，根据这个比例作出各种职称的人数【解答】解：抽取的比例为，15=3，45=9，90=18故选B【点评】这种问题是高考题中容易出现的，分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等3与向量=（1，3，2）平行的一个向量的坐标是( )A（，1，1）B（1，3，2）C（，1）D（，3，2）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【专题】空间向量及应用【分析】利用向量共线定理即可判断出【解答】解：对于C中的向量：（，1）=（1，3，
9、2）=，因此与向量=（1，3，2）平行的一个向量的坐标是故选：C【点评】本题考查了向量共线定理的应用，属于基础题4设命题p：x2+2x30 q：5x1，则命题p成立是命题q成立的( )条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑【分析】命题p：x2+2x30，解得3x1即可判断出命题p与q关系【解答】解：命题p：x2+2x30，解得3x1又q：5x1，则命题p成立是命题q成立的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知向量，则与
10、的夹角为( )A0B45C90D180【考点】数量积表示两个向量的夹角 【专题】计算题【分析】设则与的夹角为由向量夹角的定义可得，0180可得=90【解答】解：设则与的夹角为由向量夹角的定义可得，0180=90故选C【点评】解决本题的关键需掌握：向量数量积的坐标表示，还要知道向量的夹角的范围0，只有数列掌握基础知识，才能在解题时灵活应用6已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最大值为( )A5B38C10D38【考点】简单线性规划 【专题】数形结合；数形结合法；不等式【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由
11、z=2x+4y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（3，8），此时z=23+48=6+32=38，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键7为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是( )A甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C乙种树苗的
12、平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【考点】茎叶图 【专题】图表型【分析】本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐【解答】解：由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：=27=30S甲2S乙2故：乙种树
13、苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐故选D【点评】茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，10高考应该会有有关内容数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大8下边程序执行后输出的结果是( )A19B28C10D37【考点】程序框图 【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=4时满足条件a3，退出循环，输出S的值为28【解答】解：模拟执行程序框图，可得a
14、=1，S=1不满足条件a3，S=10，a=2不满足条件a3，S=19，a=3不满足条件a3，S=28，a=4满足条件a3，退出循环，输出S的值为28故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题9从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是( )A1BCD【考点】古典概型及其概率计算公式 【专题】计算题【分析】根据已知中五件正品，一件次品，我们易得共有6件产品，由此我们先计算出从中任取出两件产品的事件个数，及满足条件“恰好是一件正品，一件次品”的基本事件个数，然后代入古典概型概率公式，可求
15、出答案【解答】解：由于产品中共有5件正品，一件次品，故共有6件产品从中取出两件产品共有：C62=15种其中恰好是一件正品，一件次品的情况共有：C51=5种故出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率P=故选C【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键10椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )ABC2D4【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题；待定系数法【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m的值【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点
16、在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，故选 A【点评】本题考查椭圆的简单性质，用待定系数法求参数m的值11在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB=，则AB1与C1B所成的角的大小为( )A60B90C75D105【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；异面直线及其所成的角 【专题】平面向量及应用；空间位置关系与距离【分析】把问题转化为向量的夹角，由数量积为0可得结论【解答】解：不妨设BB1=1，则AB=，=（）（）=+=0+cos6012+0=0直线AB1与C1B所成角为90故选：B【点评】本题考查异面直线及其所成的角，其中利用向量法将空间直线夹角转化为向量夹角是解答的关键，属中档题12若点P在椭
17、圆上，F1、F2分别是椭圆的两焦点，且F1PF2=90，则F1PF2的面积是( )A2B1CD【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题【分析】由椭圆的定义可得 m+n=2a=2，RtF1PF2中，由勾股定理可得m2+n2=4，由可得mn的值，利用F1PF2的面积是mn求得结果【解答】解：由椭圆的方程可得 a=，b=1，c=1，令|F1P|=m、|PF2|=n，由椭圆的定义可得 m+n=2a=2 ，RtF1PF2 中，由勾股定理可得（2c）2=m2+n2，m2+n2=4，由可得mn=2，F1PF2的面积是mn=1，故选B【点评】本题考查椭圆的简单性质和定义，以及勾股定理的应用二、填空题（本题共4题
18、，每小题5分，共20分）13对于下列语句：xZ，x2=3；xR，x2=2；xR，x2+2x+30；xR，x2+x50，其中正确的命题序号是【考点】命题的真假判断与应用 【专题】常规题型【分析】对各个选项依次加以判断：利用开平方运算的性质，得到命题错误而命题正确，通过配方，利用平方非负的性质，得到正确，通过举反例得到错误【解答】解：对于，若x2=3，x的取值只有，说明“xZ，x2=3”不成立，故错；对于，存在x=R，使x2=2成立，说明“xR，x2=2”成立，故正确；对于，因为x2+2x+3=（x+1）2+220，所以“xR，x2+2x+30”成立，故正确；对于，当x=0时，式子x2+x5=5为
19、负数，故“xR，x2+x50”不成立，故错综上所述，正确的是两个命题故答案为：【点评】本题以开平方运算和二次函数恒成立为载体，考查了含有量词的命题真假的判断，属于基础题14到两个定点（0，8），（0，8）的距离之和等于24的点的轨迹方程为=1【考点】轨迹方程；椭圆的定义 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆的定义可得，满足条件的点P的轨迹是以两定点F1（0，8），F2（0，8）为焦点，半焦距等于8，长轴等于24的椭圆，由此求出a=12，c=8，b=4，从而得到点P的轨迹方程【解答】解：由椭圆的定义可得，满足条件的点P的轨迹是以两定点F1（0，8），F2（0
20、，8）为焦点，半焦距等于8，长轴等于24的椭圆故a=12，c=8，b=4，故点P的轨迹方程为=1，故答案为：=1【点评】本题主要考查椭圆的定义、标准方程的应用，属于基础题15椭圆+=1的右顶点到它的左焦点的距离为20【考点】椭圆的简单性质 【专题】数形结合；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】椭圆+=1可得：a=12，b2=80，即可得出右顶点，左焦点【解答】解：椭圆+=1可得：a=12，b2=80，=8右顶点（12，0）到它的左焦点（8，0）的距离d=12（8）=20故答案为：20【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16向平面区域（x，y）
21、|x|1，|y|1内随机投入一点，则该点落在区域（x，y）|x2+y21内的概率等于【考点】几何概型 【专题】转化思想；数形结合法；概率与统计【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的几何面积，利用几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：平面区域（x，y）|x|1，|y|1对应的区域为正方形ABCD，对应的面积S=22=4，区域（x，y）|x2+y21对应的区域为单位圆，对应的面积S=，则对应的概率P=，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积是解决本题的关键三、解答题（本题共6题，共70分，解答就写出文字说明）17已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=，短轴
22、长为6，求椭圆的标准方程【考点】椭圆的简单性质 【专题】分类讨论；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（ab0），可得，解出即可得出；当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程【解答】解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（ab0），可得，解得a=6，b=3，可得椭圆的标准方程为=1当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程为=1【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40，50），50，60）90，100后得到如下
23、部分频率分布直方图观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在 70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求在这60名学生中分数在60，90）的人数【考点】频率分布直方图 【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计【分析】（1）根据频率和为1，求出分数在70，80）内的频率以及，补全频率分布直方图；（2）求出分数在60，90）的频率与频数即可【解答】解：（1）根据频率和为1，得；分数在70，80）内的频率为1（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）10=0.3，在频率分布直方图中，分数在70，80）内的数据对应的矩形高为=0.030，补全这个频率分布直方图，如图
24、所示；（2）这60名学生中分数在60，90）的频率为（0.015+0.030+0.025）10=0.7，所求的人数为600.7=42【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目19在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点（1）求证：四边形AEC1F为平行四边形；（2）求直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质 【专题】转化思想；等体积法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，运用平行四边形的判定和性质，即可得证；（2）设A1到平面AEC1
25、F的距离为d，运用等积法，可得=，运用三棱锥的体积公式，计算即可得到所求值【解答】解：（1）取CC1的中点H，连接BH，EH，在正方形BCC1B1中，BFHC1，BF=HC1，可得BFC1H为平行四边形，即有BHFC1，BH=FC1，又ABEH，AB=EH，可得四边形ABHE为平行四边形，即有AEBH，AE=BH，则AE=FC1，AEFC1，可得四边形AEC1F为平行四边形；（2）设A1到平面AEC1F的距离为d，直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值为，由=，可得dSAEF=a，即为d=aa2，即有d=a，即有直线AA1与平面AEC1F所成角的正弦值为【点评】本题考查空间线线的位置关系的判
26、断和线面角的求法，注意运用平行四边形的判定和性质，以及体积转换法，考查运算能力，属于中档题20某种产品的广告费用支出x（千元）与销售额y（10万元）之间有如下的对应数据：x24568y34657（）请画出上表数据的散点图；（）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出销售额y关于费用支出x的线性回归方程（III）当广告费用支出1万元时，预测一下该商品的销售额为多少万元？（参考值：23+44+56+65+87=138，22+42+52+62+82=145）【考点】线性回归方程；散点图 【专题】概率与统计【分析】（I）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图（II
27、）先做出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，再做出a的值，协会粗线性回归方程（III）把所给的x的值代入线性回归方程，求出y的值，这里的y的值是一个预报值，或者说是一个估计值【解答】解：（I）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图（II）=5，=5，23+44+56+65+87=138，22+42+52+62+82=145b=0.65a=b=50.655=1.75回归直线方程为y=0.65x+1.75（III）当x=10时，预报y的值为y=100.65+1.75=8.25即销售额为82.5万元【点评】本题考
28、查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，本题是一个基础题21如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1BD（1）证明：DC1BC；（2）求二面角A1BDC1的大小【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【专题】综合题【分析】（1）证明DC1BC，只需证明DC1面BCD，即证明DC1DC，DC1BD；（2）证明BC面ACC1A1，可得BCAC取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且C1DO是二面角A1BDC1的平面角，由此可求
29、二面角A1BDC1的大小【解答】（1）证明：在RtDAC中，AD=AC，ADC=45同理：A1DC1=45，CDC1=90DC1DC，DC1BDDCBD=DDC1面BCDBC面BCDDC1BC（2）解：DC1BC，CC1BC，DC1CC1=C1，BC面ACC1A1，AC面ACC1A1，BCAC取A1B1的中点O，过点O作OHBD于点H，连接C1O，OHA1C1=B1C1，C1OA1B1，面A1B1C1面A1BD，面A1B1C1面A1BD=A1B1，C1O面A1BD而BD面A1BDBDC1O，OHBD，C1OOH=O，BD面C1OHC1HBD，点H与点D重合且C1DO是二面角A1BDC1的平面角
30、设AC=a，则，sinC1DO=C1DO=30即二面角A1BDC1的大小为30【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题22已知椭圆的一个顶点为A1（0，），焦点在x轴上若右焦点到直线xy+2=0的距离3（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M（1，1）的直线与椭圆交于A、B两点，且M点为线段AB的中点，求直线AB的方程及|AB|的值【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）依题意可设椭圆方程为=1，则右焦点F（，0）由题设=3，解出即可得出；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2
31、），则x1+x2=2，y1+y2=2，=k，可得=1，=1，相减可得k，即可得出直线AB的方程，与椭圆的方程化为：3x26x+1=0，利用|AB|=即可得出【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为=1，则右焦点F（，0）由题设=3，解得a2=4， 故所求椭圆的方程为=1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，=k，可得=1，=1，相减可得：+=0，=0，解得k=直线AB的方程为：y1=（x1），化为x+2y3=0，联立，化为：3x26x+1=0，x1+x2=2，x1x2=|AB|=【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式、弦长公式、一元二次方程的该协议书的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19