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1、高中数学 必修第二册 1/4 期中测试期中测试 第卷第卷、选择题：本大题共、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的.1.已知向量7,3a，,6bm，若a b，则m（）A.14 B.14 C.8 D.8 2.在等差数列 na中，31a，913a，则1a（）A.5 B.4 C.3 D.2 3.若0ab，则下列不等式成立的是（）A.11ab B.2abb C.11ab D.2aab 4.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin22bAa，且a
2、b，则B（）A.6 B.4 C.3 D.4或34 5.在正项等比数列 na中，23167264aaaa，则27aa（）A.4 B.8 C.12 D.16 6.下列式子中最小值为 4 的是（）A.263xx B.224sinsinxx C.ln13ln2xx D.455xx 7.轮船甲和轮船乙在上午 11 时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为135，两船的航行速度分别为 25海里/小时、20 2海里/小时，则当天下午 1 时两船之间的距离为（）A.10 95海里 B.10 97海里 C.100 海里 D.10 101海里 8.已知1a，3b，且向量a与b的夹角为60，则2ab（）A.7 B.3
3、 C.11 D.19 9.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosaABc，则ABC的形状一定为（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10.已知等比数列 na的前n项和与前n项积分别为nS，nT，公比为正数，且316a，3112S，则使1nT高中数学 必修第二册 2/4 成立的 n 的最大值为（）A.8 B.9 C.12 D.13 11.如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且2CFDF，AE与BF交于点P，若APAE，则（）A.34 B.58 C.38 D.23 12.已知0a，0b，且347
4、ab，则9432abab的最小值为（）A.4312 B.4112 C.257 D.237 第卷第卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题卡中的横线上把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量8,ak，3,4b，若ab，则a _.14.已知不等式20axbxc 的解集为31xx ，则不等式20bxcxa 的解集为_.15.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos34A，2 2a，则bc的最大值为_.16.已知等差数列 na的前n项和nS满足318S，3180nS，270nS，则n_.三、解答题：本大题共
5、三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知222bcabc.（1）求A；（2）若512B，2a，求c.18.（12 分）某企业用 6750 万元购得一块空地，计划在该块地建造一栋至少 12 层，且每层面积为 1500 平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为*12,x xxN层，则每平方米的平均建筑费用为95050 x（单位：元）.高中数学 必修第二册 3/4 （1）若楼房建 12 层，则楼房每平方米的平均综合费用为多少元？（2）为了使楼房
6、每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用.平均购地费用购地总费用建筑总面积）19.（12 分）如图，在ABC中，AD平分BAC，且3CDBD.（1）求sinsinBC的值；（2）若2AB，3B，求ABC的面积.20.（12 分）已知数列 na的前n项和为nS，且223nSnn.（1）求 na的通项公式；（2）若2nnnab，求数列 nb的前n项和nT.21.（12 分）如图，扇形OAB的圆心角为90，2OA，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.高中数学 必修第二册 4/4 （1）若30BON，试用向量OA，OB表示向量ON；（2）求MB
7、 ON的取值范围.22.（12 分）已知等差数列 na的前n项和为nS，且37a，648S.（1）求 na的通项公式；（2）若1252nnnnnba a，求数列 nb的前n项和nT.高中数学 必修第二册 1/6 期中测试期中测试 答案解析答案解析 一、1.【答案】A【解析】因为7,3a，,6bm，且a b，所以7630m，解得14m .2.【答案】C【解析】由3121aad，91813aad，解得13a ，2d.3.【答案】D【解析】因为0ab，所以2aab.4.【答案】B【解析】因为22sinbA，所以sinsin22sinBAA.因为sin0A，所以sin22B，又ab，所以4B.5.【答
8、案】B【解析】由23167264aaaa，得21 33 67264aaa aa，则222277264aa aa，即22764aa.又0na，故278aa.6.【答案】D【解析】对于 A，当0 x时，不符合题意；对于 B，224sinsinxx成立的条件为2sin2 1x ，不符合题意；对于 C，当ln0 x时，不符合题意.7.【答案】B【解析】设轮船甲、乙在下午1时所处的位置分别为A和B，由题可知50CA，40 2CB，135ACB，则2222222cos5040 22 5040 297002ABCACBCA CBACB ，故1 0 9 7AB 海里.8.【答案】A【解析】因为1a，3b，a与
9、b的夹角为60，所以2224424697aabbab，则27ab.9.【答案】D 高中数学 必修第二册 2/6 【解析】因为coscosaABc，所以sincoscossinsincoscossinAABCABAB，整理得cossinsin0AAB，即cos0A 或sinsin0AB，则2A或AB，故ABC的形状为等腰三角形或直角三角形.10.【答案】C【解析】由316a，3112S，解得164a，12q（13q 舍去），则72nna，132112n nnnnaTa，要使1nT，则1302n n，解得013n，故n的最大值为 12.11.【答案】A【解析】连接AF（图略），因为B，P，F三点共
10、线，所以11APmABm AFmABmADDF，因为2CFDF，所以1133DFDCAB，所以2113mAPABm AD.因为E是BC的中点，所以1122AEABBCABAD.因 为A PA E，所 以211132mABm ADABAD，则213112mm，解得34.12.【答案】C【解析】因为0a，0b，且347ab，9419432()32732abababababab 9 243125137327abababab，当且仅当9 24332abababab，即2125a，2825b 时，等号成立.二、13.【答案】10【解析】因为8,ak，3,4b，且ab，所以8 340k，得6k ，则10a
11、.14.【答案】112x xx 或（或1,1,2）【解析】由不等式20axbxc 的解集为31xx ，知0a，3 1ba ，3 1ca ，得2ba，3ca，则 不 等 式20bxcxa 等 价 于2231 0 xx，故 不 等 式20bxcxa 的 解 集 为高中数学 必修第二册 3/6 112x xx或.15.【答案】16【解析】由222312c222osAabcbcbcbcbc，得16bc，当且仅当4bc时等号成立，故bc的最大值为 16.16.【答案】15【解 析】因 为32318Sa，所 以26a，又31390nnnSSa，所 以130na.故12127022nnnn aan aaS，
12、解得15n.三、17.【答案】解：（1）由余弦定理及题设知，222co1222sbcabcbcbAc，又因为0A，所以3A.（2）因为3A，512B，所以4C.由正弦定理知，sinsinaCAC，则sinsin222 62332CAac.18.【答案】解：（1）由题设，知建筑总面积为12 150018000平方米，总的费用为46750 1095050 1218000元，故楼房每平方米的平均综合费用为46750 1095050 121800053018000元.（2）记楼房每平方米的平均综合费用为y元，由题设得46750 10950501500yxx 45000509503950 xx，当且仅当
13、4500050 xx，即30 x 时取等号.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建 30 层.19.【答案】解：（1）在ABD中，s nsiniBADBDADB，在ACD中，s nsiniCADCDADC.高中数学 必修第二册 4/6 因为AD平分BAC，且3CDBD，所以3sinsinBCCDBD.（2）由正弦定理及（1）可知sinsin3ACABBC.因为2AB，3B，所以6AC，sin36C.因为sinsinsincoscossinBACBCBCBC 333133 113262612，所以13 113sin22ABCSACABBAC.20.【答案】解：（1）因为223nSnn
14、，所以116aS.当2n时，1nnnaSS 22232113nnnn 41n.综上，6,141,2nnann.（2）由（1）知3,141,22nnnbnn，当2n时，234711154132222nnnT，则345137111541222222nnTn.得2341371114142222222nnnn 11111134117472241424212nnnnnn，则174722nnnT.又11174 17322Tb，故174722nnnT.高中数学 必修第二册 5/6 21.【答案】解：（1）如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，则0,0O，0,2A，2,0B，3,1N，所以0,2OA，2
15、,0OB，3,1ON.设ONxOAyOB，则2123xy，解得1232xy，所以1322ONOAOB.（2）设0090BON，则2cos,2sinN，0,1M，则2,1MB，2cos,2sinON，所以4cos2sin2 5cosMB ON，其中2 5cos5，5sin5（为锐角）.因为090，所以90，则max2 5coscos5，min5coscos 90sin5 ，所以MB ON的取值范围为2,4.22.【答案】解：（1）由题意知，3127aad，6161548Sad，解得13a，2d，所以1121naandn.（2）因为125252221 23nnnnnnnba ann 高中数学 必修第二册 6/6 1112221223nnnn，所以12nnTbbb 1223111111123 25 25 272221223nnnn 11126223nn 113223nn.