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1、第4章 频率特性分析本讲稿第一页，共三十八页 频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法特性的主要方法,沟通了时域与频域的研究与分析：沟通了时域与频域的研究与分析：1.传递函数从复数域到具有明确物理概念的频域来分析系传递函数从复数域到具有明确物理概念的频域来分析系统的特性；统的特性；2.建立系统的时间响应与其频谱建立系统的时间响应与其频谱;单位脉冲响应与频率特性单位脉冲响应与频率特性之间的直接关系之间的直接关系;3.在下列方面有重要作用：在下列方面有重要作用：本讲稿第二页，共三十八页（1 1）系统分析方面：）系统分析方面：任何信号可分解为
2、叠加的谐波信号任何信号可分解为叠加的谐波信号（周期信号分解为叠加的频率谱离散的谐波信号，非周（周期信号分解为叠加的频率谱离散的谐波信号，非周信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号），可用系统对信号分解为叠加的频谱连续的谐波信号），可用系统对不同频率的谐波信号的响应特性的研究，取代系统对任不同频率的谐波信号的响应特性的研究，取代系统对任何信号的响应特性的研究何信号的响应特性的研究(系统的稳定性和响应的快速系统的稳定性和响应的快速性与准确性性与准确性)。（2 2）系统建模方面：）系统建模方面：对于无法用分析法求得传递函数对于无法用分析法求得传递函数或微分方程的系统或环节或微分方程的系统或环节,可以通过
3、试验求出系统或可以通过试验求出系统或环节的频率特性，进而求出该系统或环节的传递函数。环节的频率特性，进而求出该系统或环节的传递函数。对于那些能用分析法求得传递函数的系统，也通过频对于那些能用分析法求得传递函数的系统，也通过频率特性加以验证和修正。率特性加以验证和修正。本讲稿第三页，共三十八页主要内容主要内容：1.频率特性的基本概念及其与传递函数的关系频率特性的基本概念及其与传递函数的关系;2.2.分析典型环节的或系统的频率特性的图形表示分析典型环节的或系统的频率特性的图形表示极极坐标图、对数坐标图坐标图、对数坐标图;3.3.利用利用NyquistNyquist图研究系统的开环与闭环频率特性的关
4、系图研究系统的开环与闭环频率特性的关系;4.4.讨论频率特性的特征量、最小相位系统、时间响应与其讨论频率特性的特征量、最小相位系统、时间响应与其频谱间的关系。频谱间的关系。本讲稿第四页，共三十八页4.1 4.1 频率特性概述频率特性概述 本节将讨论频率特性的基本概念及其传递函数、单本节将讨论频率特性的基本概念及其传递函数、单位脉冲响应函数的关系，介绍频率特性的求法。位脉冲响应函数的关系，介绍频率特性的求法。4.1.1 4.1.1 频率响应与频率特性频率响应与频率特性1.1.频率特性频率特性频率特性的定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与频率特性的定义：线性定常系统的输出量的傅氏变换与输入量的傅
5、氏变换之比。输入量的傅氏变换之比。频率特性与传递函数存在下列简单的关系频率特性与传递函数存在下列简单的关系 本讲稿第五页，共三十八页 频率特性是复变函数，频率特性是复变函数，频率频率是实变量。是实变量。例例 幅角形式幅角形式 指数形式指数形式 代数形式代数形式频率特性有幅频特性和相频特性。频率特性有幅频特性和相频特性。本讲稿第六页，共三十八页 频率特性的物理意义频率特性的物理意义频率特性是线性定常系统在正弦输入信号作用下，输出量的稳态频率特性是线性定常系统在正弦输入信号作用下，输出量的稳态分量的复相量与输入正弦信号复相量之比。分量的复相量与输入正弦信号复相量之比。线性定常系统在正弦输入信号作用
6、下：线性定常系统在正弦输入信号作用下：稳态输出的正弦信号幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系稳态输出的正弦信号幅值，与输入正弦信号的幅值之比，就是系统的统的幅频特性幅频特性；稳态输出的正弦信号相角，与输入正弦信号的相角之差，就是系稳态输出的正弦信号相角，与输入正弦信号的相角之差，就是系统的统的相频特性相频特性。系统的稳态输出系统的稳态输出对于稳定系统可以采用实验的方法得到系统的频率特性，即在感对于稳定系统可以采用实验的方法得到系统的频率特性，即在感兴趣的频率范围内，改变正弦输入信号的频率，测量系统稳态输兴趣的频率范围内，改变正弦输入信号的频率，测量系统稳态输出与输入的幅值比和相角差，就可以得
7、到系统的幅频特性和相频出与输入的幅值比和相角差，就可以得到系统的幅频特性和相频特性曲线。特性曲线。本讲稿第七页，共三十八页2.2.频率响应频率响应对于线性定常系统，在正弦输入信号作用下，对于线性定常系统，在正弦输入信号作用下，系统输出的系统输出的稳态分量稳态分量也是一个也是一个同频率同频率的正弦信号。的正弦信号。系统的稳态输出系统的稳态输出 线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响频率响应应。本讲稿第八页，共三十八页稳态输出稳态输出 稳态输出稳态输出 稳态输出稳态输出 本讲稿第九页，共三十八页3.3.频率特性的几何表示频率特性的几何表示实频特性实频特性 虚
8、频特性虚频特性 以以为参变量，为参变量，为横坐标，为横坐标，为纵坐标的频率特性图。为纵坐标的频率特性图。例如，惯性环节例如，惯性环节的奈氏图如图所示。的奈氏图如图所示。1 1）奈氏图（）奈氏图（Nyquist Nyquist 图）图）本讲稿第十页，共三十八页 2 2）伯德图伯德图 （BodeBode图，图，由两幅图组成由两幅图组成）。另一幅是对数相频率特性图，横坐标是对数频率，。另一幅是对数相频率特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是相角纵坐标是相角幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 一幅是对数幅频特性图，横坐标是对数频率一幅是对数幅频特性图，横坐标是对数频率，纵坐标是幅值的分贝值，即，纵坐标是幅
9、值的分贝值，即。本讲稿第十一页，共三十八页证明证明:对于图示一般线性定常系统，可列出描述输出量对于图示一般线性定常系统，可列出描述输出量c(t)c(t)和输入量和输入量r(t)r(t)关系的微分方程：关系的微分方程：与其对应的传递函数为与其对应的传递函数为 线性定常系统线性定常系统 图图4.1.2 4.1.2 频率特性与传递函数的关系频率特性与传递函数的关系本讲稿第十二页，共三十八页拉氏反变换，可求得系统的输出为拉氏反变换，可求得系统的输出为 本讲稿第十三页，共三十八页稳态分量为稳态分量为 对于稳定的系统对于稳定的系统,瞬态分量随着时间的增长而趋于瞬态分量随着时间的增长而趋于零，稳态分量零，稳
10、态分量C CS S(t)(t)即为系统的稳态响应即为系统的稳态响应.可见在正弦信号作用下可见在正弦信号作用下,系统的稳态输出也是同频率的系统的稳态输出也是同频率的正弦信号正弦信号.本讲稿第十四页，共三十八页可可以以定定义义该该正正弦弦信信号号的的幅幅值值与与输输入入信信号号的的幅幅值值之之比比为为幅幅频频特性特性A(),A(),相位之差为相频特性相位之差为相频特性(),(),则有则有:线性定常系统的频率特性包括幅频特性和相频特性线性定常系统的频率特性包括幅频特性和相频特性,通常用复数来表示通常用复数来表示,即即 显然，只要在传递函数中令显然，只要在传递函数中令s=js=j即可得到频率特即可得到
11、频率特性。可以证明，稳定系统的频率特性等于输出量富性。可以证明，稳定系统的频率特性等于输出量富氏变换与输入量富氏变换之比。氏变换与输入量富氏变换之比。本讲稿第十五页，共三十八页对对于于不不稳稳定定的的线线性性定定常常系系统统，在在正正弦弦信信号号作作用用下下，其其输输出出信信号号的的瞬瞬态态分分量量不不可可能能消消逝逝，瞬瞬态态分分量量和和稳稳态态分分量量始始终终存存在在，系系统统的的稳稳态态分分量量是是无无法法观观察察到到的的，但但稳稳态态分分量量是是与与输输入入信信号号同同频频率率的的正正弦弦信信号号，可可定定义义该该正正弦弦信信号号的的幅幅值值与与输输入入信信号号的的幅幅值值之之比比为为
12、幅幅频频特特性性A(),A(),相相位位之之差差为为相相频频特特性性()()。据据此此可可定定义义出不稳定线性定常系统的频率特性出不稳定线性定常系统的频率特性。频率特性和传递函数、频率特性和传递函数、微分方程一样，也是系微分方程一样，也是系统的数学模型。统的数学模型。传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性图图本讲稿第十六页，共三十八页例例若输入信号若输入信号r(t)=2sin2tr(t)=2sin2t，试求系统的稳态输出和稳态误，试求系统的稳态输出和稳态误差。差。单位负反馈系统的开单位负反馈系统的开环传递函数为环传递函数为解解 容易判断，所给系统是稳定的。在正弦信号作用下，容易判断，
13、所给系统是稳定的。在正弦信号作用下，稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差也是正弦稳定的线性定常系统的稳态输出和稳态误差也是正弦信号，本题可以利用频率特性的概念来求解。信号，本题可以利用频率特性的概念来求解。本讲稿第十七页，共三十八页即即：A(2)=1,A(2)=1,(2)=-90,(2)=-90,因因此此稳稳态态输输出出为为 C CS S(t)=2sin(2t-90)(t)=2sin(2t-90)。在在计计算算稳稳态态误误差差时时，可可把把误误差差作作为为系系统统的的输输出出量量，利利用用误误差传递函数来计算，即：差传递函数来计算，即：因此稳态误差为：因此稳态误差为：本讲稿第十八页，共三十八
14、页从例可以看出，在正弦信号作用下求系统的稳态输出从例可以看出，在正弦信号作用下求系统的稳态输出和稳态误差时，由于正弦信号的象函数和稳态误差时，由于正弦信号的象函数R(s)R(s)的极点的极点位于虚轴上，不符合拉氏变换终值定理的应用位于虚轴上，不符合拉氏变换终值定理的应用条件，不能利用拉氏变换的终值定理来求解，条件，不能利用拉氏变换的终值定理来求解，但运用频率特性的概念来求解却非常方便，需但运用频率特性的概念来求解却非常方便，需要注意的是，此时的系统应当是稳定的。要注意的是，此时的系统应当是稳定的。本讲稿第十九页，共三十八页4.1.3 4.1.3 频率特性的求法频率特性的求法1.1.根据系统的频
15、率响应来求根据系统的频率响应来求2.2.将传递函数中的将传递函数中的s s换为换为jj（s=js=j）来求取来求取3.3.用试验方法用试验方法求取求取传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性图图本讲稿第二十页，共三十八页4.1.4 4.1.4 频率特性的特点和作用频率特性的特点和作用1.1.频率特性的作用频率特性的作用 频率特性的分析方法始于频率特性的分析方法始于20世纪世纪40年代，目前已年代，目前已广泛应用于机械、电气、流体等各类系统，成为分析广泛应用于机械、电气、流体等各类系统，成为分析线性定常系统的基本方法之一，是经典控制理论的重线性定常系统的基本方法之一，是经典控制理论的重要
16、组成部分。要组成部分。2.2.频率特性的特点频率特性的特点1）对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。）对频率特性的分析就是对单位脉冲响应函数的频谱分析。2）时间响应分析用于分析线性系统的过渡过程，以获）时间响应分析用于分析线性系统的过渡过程，以获得系统的动态特性，而频率特性分析则将通过分析不得系统的动态特性，而频率特性分析则将通过分析不同的谐波输入对系统的稳态响应，以获得系统的动态同的谐波输入对系统的稳态响应，以获得系统的动态特性。特性。本讲稿第二十一页，共三十八页3）在研究系统的结构及参数变化对系统性能的影响时，）在研究系统的结构及参数变化对系统性能的影响时，许多情况下频域分析容
17、易些。根据频率特性可以较方便许多情况下频域分析容易些。根据频率特性可以较方便判别系统的稳定性及其稳定储备，并可通过频率特性进判别系统的稳定性及其稳定储备，并可通过频率特性进行参数选择或对系统进行校正。根据频率特性可以选择行参数选择或对系统进行校正。根据频率特性可以选择系统的工作频率范围。系统的工作频率范围。4）在分析不能用传递函数或微分方程表示的高阶系统时，）在分析不能用传递函数或微分方程表示的高阶系统时，频率特性更具优势。频率特性更具优势。5）频率特性分析法可选择出合适的通频带，抑制噪声的影）频率特性分析法可选择出合适的通频带，抑制噪声的影响。响。频率特性分析也有其频率特性分析也有其缺点缺点
18、。由于系统中非线性的存在，。由于系统中非线性的存在，使得频率特性分析存在误差；难于应用于时变系统和多使得频率特性分析存在误差；难于应用于时变系统和多输入多输出系统；对系统的在线识别困难。输入多输出系统；对系统的在线识别困难。本讲稿第二十二页，共三十八页 用曲线图形表示系统的频率特性具有直观方便的优点。用曲线图形表示系统的频率特性具有直观方便的优点。常用的频率特性图示方法有常用的频率特性图示方法有极坐标图极坐标图和和对数坐标图对数坐标图两种。两种。4.2.1 4.2.1 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图常见的极坐标图见常见的极坐标图见P137P137表表4.2.14.2.1。4.2 4.2
19、频率特性的图示方法频率特性的图示方法 4.2.2 4.2.2 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图常见的对数坐标图见常见的对数坐标图见P150P150表表4.2.24.2.2。光盘，第光盘，第4章的章的Section15。本讲稿第二十三页，共三十八页例例 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。所示，确定该系统的传递函数。本讲稿第二十四页，共三十八页起点与终点：起点与终点：当包含一阶微分环节，这时的幅当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸。相曲线也可能出现凹凸。起点与终点：起点与终点：绘制系统的开环绘制系统的开环
20、Nyquist图。图。例例绘制系统的开环绘制系统的开环Nyquist图。图。例例本讲稿第二十五页，共三十八页0型3型2型1型本讲稿第二十六页，共三十八页已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。例例本讲稿第二十七页，共三十八页本讲稿第二十八页，共三十八页局部放大本讲稿第二十九页，共三十八页 例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。本讲稿第三十页，共三十八页Nyquist Nyquist 图图 本讲稿第三十一页，共三十八页局部放大本讲稿第三十二页，共三十八页局部放大本讲稿第三十三页，共三十八页相对稳定性分析相对稳定性分析稳定裕度稳定裕度（从（从Nyquist 图分析）图分析）本讲稿第三十四页，共三十八页稳定裕度稳定裕度（从（从Bode 图分析）图分析）本讲稿第三十五页，共三十八页本讲稿第三十六页，共三十八页本讲稿第三十七页，共三十八页本讲稿第三十八页，共三十八页