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1、第三章 频率特性本讲稿第一页，共一百零四页 时域分析法的缺点：时域分析法的缺点：（1 1）高阶系统的分析难以进行；）高阶系统的分析难以进行；（2 2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。整个系统的分析工作将无法进行。（3 3）物理意义欠缺。）物理意义欠缺。引言本讲稿第二页，共一百零四页 频频率率分分析析法法是是二二十十世世纪纪三三十十年年代代发发展展起起来来的的一一种种经经典典工工程程实实用用方方法法,是是一一种种利利用用频频率率特特性性进进行行控控制制系系统统分分析析的的图图解解方方法法,可可方方便便地地用用于于控控制制工工
2、程程中中的的系系统统分分析析与与设设计计。频频率率法法用用于于分分析析和和设设计计系系统统有有如如下下优点：优点：（1）不不必必求求解解系系统统的的特特征征根根，采采用用较较为为简简单单的的图图解解方方法法就就可可研研究究系系统统的的稳稳定定性性。由由于于频频率率响响应应法法主主要要通通过过开开环环频频率率特特性性的的图图形形对对系系统统进进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。本讲稿第三页，共一百零四页 （2）系系统统的的频频率率特特性性可可用用实实验验方方法法测测出出。频频率率特特性性具具有有明明确确的的物物理理意意义义，它它可可以以用用实实验
3、验的的方方法法来来确确定定，这这对对于于难难以以列列写写微微分分方方程程式式的的元元部部件或系统来说，具有重要的实际意义。件或系统来说，具有重要的实际意义。（3）可可推推广广应应用用于于某某些些非非线线性性系系统统。频频率率响响应应法法不不仅仅适适用用于于线线性性定定常常系系统统，而而且且还还适适用用于于传传递递函函数数中中含含有有延延迟迟环环节节的的系系统统和和部部分分非非线性系统的分析。线性系统的分析。（4）用用频频率率法法设设计计系系统统，可可方方便便设设计计出出能能有有效效抑抑制制噪噪声声的的系系统统。本讲稿第四页，共一百零四页第四章第四章 频率特性频率特性本章主要内容本章主要内容本章
4、主要内容本章主要内容:3.I3.I3.I3.I 3.23.23.23.2 3.33.33.33.33.43.43.43.43.53.53.53.5频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性图频率特性图频率特性图频率特性图系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性系统闭环频率特性系统闭环频率特性系统闭环频率特性本讲稿第五页，共一百零四页设系统的传递函数为：已知输入其拉氏变换为则系统输出为 ，此项趋向于零）稳态响应Css(t)瞬态响应（
5、假设系统稳定）3-1 频率特性基本概念本讲稿第六页，共一百零四页由于是一个复数向量，因而可表示为本讲稿第七页，共一百零四页 线性系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为输出与输入的相位差相频特性幅频特性本讲稿第八页，共一百零四页一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念 1、频率响应、频率响应 在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值称为系统的频率响频率响应应,记为记为css(t)2、频率特性、频率特性 幅频特性幅频特性A():稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比:相频特性相
6、频特性():稳态输出信号的相角与输入信号相角之差稳态输出信号的相角与输入信号相角之差:本讲稿第九页，共一百零四页一、基本概念一、基本概念一、基本概念一、基本概念 幅相频率特性幅相频率特性G(j):G(j)的幅值和相位均随输入正弦信号角频的幅值和相位均随输入正弦信号角频率率 的的变化而变化。变化而变化。在系统闭环传递函数在系统闭环传递函数G(s)中，令中，令s=j，即可得到系统的频率特性。，即可得到系统的频率特性。2、频率特性、频率特性 本讲稿第十页，共一百零四页频率特性与传递函数；本讲稿第十一页，共一百零四页二、二、二、二、频率特性的物理意义频率特性的物理意义频率特性的物理意义频率特性的物理意
7、义频率特性与传递函数的关系:G（j)=G(s)|s=j频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦输入的响应特性。()大于零时称为相角超前，小于零时称为相角滞后。本讲稿第十二页，共一百零四页幅值A()随着频率升高而衰减对于低频信号对于高频信号!频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与 外界因素无关。=-本讲稿第十三页，共一百零四页频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于其中。三、频率特性与传
8、递函数的关系三、频率特性与传递函数的关系三、频率特性与传递函数的关系三、频率特性与传递函数的关系:G（j)=G(s)|s=j本讲稿第十四页，共一百零四页应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。本讲稿第十五页，共一百零四页四、频率特性解析表示法四、频率特性解析表示法四、频率特性解析表示法四、频率特性解析表示法 系统开环频率特性可用以下解析式表示系统开环频率特性可用以下解析式表示 幅频幅频
9、-相频形式相频形式：指数形式指数形式(极坐标极坐标)：三角函数形式：三角函数形式：实频实频-虚频形式虚频形式：本讲稿第十六页，共一百零四页例题：某系统传递函数为，当输入为时，试求其稳态输出。本讲稿第十八页，共一百零四页解：本讲稿第十九页，共一百零四页习题：P137 3-1、3-2本讲稿第二十页，共一百零四页第四章第四章 频率特性频率特性本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容:3.I3.I3.I3.I 3.23.23.23.2 3.33.33.33.33.43.43.43.43.53.53.53.5频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性图频率特
10、性图频率特性图频率特性图系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数系统闭环频率特性系统闭环频率特性系统闭环频率特性系统闭环频率特性 本讲稿第二十一页，共一百零四页Part 3.2Part 3.2 频率特性图频率特性图频率特性图频率特性图频率特性图的定义频率特性图的定义频率特性图的定义频率特性图的定义典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图 Nyquist/BodeNyquist/Bode3.2.13.2.13.2.13.2.13.2.23.2.2
11、3.2.23.2.2放大环节放大环节 积分环节积分环节纯微分环节纯微分环节 惯性环节惯性环节一阶微分环节一阶微分环节 振荡环节振荡环节二阶微分环节二阶微分环节 延滞环节延滞环节 本讲稿第二十二页，共一百零四页对数幅相频率特性(Nichols)对数频率特性(Bode)频率对数分度 幅值/相角线性分度幅相频率特性 极坐标图 (Nyquist)以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L()()图3.2.13.2.13.2.13.2.1 频率特性图的定义频率特性图的定义频率特性图的定义频率特性图的定义本讲稿第二十三页，共一百零四页1.Nyquist图 NyquistNyquistNyquistNyqui
12、st图是在极坐标系中，以 为参变量，为极径，为极角的频率特性图，也称为幅相频率特性图。或者等价地，NyquistNyquistNyquistNyquist图是在直角坐标系中，以 为参变量，为横坐标，为纵坐标的频率特性图。3.2.1.13.2.1.13.2.1.13.2.1.1 幅相频率特性图幅相频率特性图幅相频率特性图幅相频率特性图-Nyquist-Nyquist-Nyquist-Nyquist图图图图 本讲稿第二十四页，共一百零四页3.2.1.13.2.1.13.2.1.13.2.1.1 幅相频率特性图幅相频率特性图幅相频率特性图幅相频率特性图-Nyquist-Nyquist-Nyquist
13、-Nyquist图图图图 尼奎斯特图 Nyquist极坐标图在极坐标复平面上画出值由零变化到无穷大时的G(j)矢量，连接各矢端边成曲线。实虚频图不同频率时，实频特性和虚频特性。本讲稿第二十五页，共一百零四页Nyquist曲线曲线的绘制的绘制1、系统、系统(标准型标准型)简单吗？简单吗？2、比较复杂、比较复杂2、比较简单、比较简单则写出则写出G(jw)Re+j Im3、分别求出、分别求出w=0+、+时的时的G(jw)4、必要时画出幅相曲线中间几点、必要时画出幅相曲线中间几点 5、勾画出、勾画出w=0+时时G(jw)的大致曲线（当然，越精确的大致曲线（当然，越精确越好）越好）注意：若传递函数不存在
14、微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。出现凹凸。本讲稿第二十六页，共一百零四页 伯德图由两幅图组成。一幅是对数幅频特性图，横坐标是频率，但是以对数分度，纵坐标是20lg|G(j)|幅频特性的分贝值，表明了幅频特性与频率的关系。另一幅是对数相频特性图，横坐标是频率，也是以对数分度，纵坐标是相角G(j)，线性分度，表明了相频特性与频率的关系。在横坐标的对数分度中，频率每变化十倍，横坐标的间隔距离增加一个
15、单位长度，称为一个十倍频程。3.3.3.3.2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 对数频率特性图对数频率特性图对数频率特性图对数频率特性图-Bode-Bode-Bode-Bode图图图图本讲稿第二十八页，共一百零四页3.3.3.3.2.1.1 2.1.1 2.1.1 2.1.1 对数频率特性图对数频率特性图对数频率特性图对数频率特性图-Bode-Bode-Bode-Bode图图图图频率比 decoct幅值相乘变为相加，简化作图。拓宽图形所能表示的频率范围波德图波德图(Bode)(Bode)对数幅频+对数相频(dB)本讲稿第二十九页，共一百零四页=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表
16、示的最低频率由所感兴趣的频率范 围确定；只标注的自然对数值。通常用L()简记对数幅频特性，也称L()为增益。用()简记对数相频特性。About BodeAbout BodeAbout BodeAbout Bode图图图图本讲稿第三十页，共一百零四页Part 3.2Part 3.2 频率特性图频率特性图频率特性图频率特性图频率特性图的定义频率特性图的定义频率特性图的定义频率特性图的定义典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图典型环节的频率特性图 Nyquist/BodeNyquist/Bode3.2.13.2.13.2.13.2.13.2.23.2.23.2.23.2.2 放
17、大环节放大环节 积分环节积分环节纯微分环节纯微分环节 惯性环节惯性环节一阶微分环节一阶微分环节 振荡环节振荡环节二阶微分环节二阶微分环节 延滞环节延滞环节 本讲稿第三十一页，共一百零四页放大环节幅相频率特性放大环节幅相频率特性本讲稿第三十二页，共一百零四页放大环节对数频率特性放大环节对数频率特性K1时，分贝数为正；K m时，Nyquist曲线终点幅值为 0，而相角为(nm)90。本讲稿第八十五页，共一百零四页习题：P138 3.6 本讲稿第八十六页，共一百零四页Part 3.3Part 3.3Part 3.3Part 3.3 系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性系统
18、开环系统开环 Nyquist Nyquist图图系统开环系统开环 Bode Bode图图系统开环 Nyquist图及绘制Nyquist图的一般形状增加零极点增加非零极点系统开环 Bode图系统开环 Bode图的绘制本讲稿第八十七页，共一百零四页将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式；幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和系统开环系统开环 Bode Bode图图本讲稿第八十八页，共一百零四页 1.低频起始段的绘制低频起始段的绘制 低频段特性取决于低频段特性取决于 ，直线斜率为，直线斜率为20 。为获得低频。为获得低频段，还需要确
19、定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：段，还需要确定该直线上的一点，可以采用以下三种方法：A:A:在在小小于于等等于于第第一一个个转转折折频频率率w w1 1内内任任选选一一点点w w0 0,计计算算其其值值。（若若采采用用此此法法，强烈推荐取强烈推荐取w w0 0 w w1 1 ）L La a(w(w0 0)=20lg)=20lgK K 2020 lgwlgw0 0B:B:取特定频率取特定频率w w0 01 1，则则 L La a(w(w0 0)=20lg)=20lgK KC:C:取取L La a(w(w0 0)为特殊值为特殊值0 0，则，则 -20 dB/dec1 20 lgKw1系统开
20、环系统开环 Bode Bode图绘制方法图绘制方法本讲稿第八十九页，共一百零四页(1).0型系统的低频起始段的绘制型系统的低频起始段的绘制 对对类类似似右右图图所所示示的的0型型系系统统的的Bode图图，通通过过低低频频段段高高度度H=20lgK（dB）。本讲稿第九十页，共一百零四页(2).I型系统的低频起始段的绘制型系统的低频起始段的绘制 对右下图对右下图I型系统型系统Bode图图,低频段渐近线斜率为低频段渐近线斜率为-20dB/dec。有两种情况。有两种情况：（1）低频段低频段或低频段延长线或低频段延长线与横轴相交，则与横轴相交，则交点处的频率交点处的频率 =K；（2）低频段或低频段渐近线
21、的延长线在低频段或低频段渐近线的延长线在=1时的幅值为时的幅值为20lg K。本讲稿第九十一页，共一百零四页 (3).II型系统型系统的低频起始段的绘制的低频起始段的绘制 下图所示为下图所示为II型系统型系统Bode图，低频段渐近线的斜率为图，低频段渐近线的斜率为-40dB/dec,也有两种不同情况：也有两种不同情况：(1)低频段渐近线低频段渐近线或或低频段渐近线的延长线与横轴相交低频段渐近线的延长线与横轴相交，则则交点处的频率交点处的频率 =K1/2；(2)低频低频段或低频段的延长线段或低频段的延长线在在=1时的幅值为时的幅值为20lg K本讲稿第九十二页，共一百零四页2 绘制步骤概括如下绘
22、制步骤概括如下:(1)(1)将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式将系统开环频率特性改写为各个典型环节的乘积形式,确定各环确定各环节的转折频率节的转折频率,并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上（不并将转折频率由低到高依次标注到半对数坐标纸上（不妨设为：妨设为：w w1 1、w w2 2、w w3 3、w w4 4 ）；）；(2)(2)绘制绘制L(L()的低频段渐近线；的低频段渐近线；(3)(3)按转折频率由低频到高频的顺序按转折频率由低频到高频的顺序,在低频渐近线的基础在低频渐近线的基础上上,每遇到一个转角频率每遇到一个转角频率,根据环节的性质改变渐近线斜率根据环节的性质改变渐
23、近线斜率,绘绘制渐近线制渐近线,直到绘出转折频率最高的环节为止。直到绘出转折频率最高的环节为止。(4)(4)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。(5)(5)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！注意：对数幅频特性曲线上要标明斜率！本讲稿第九十三页，共一百零四页例 已知系统的开环传递函数为 G(s)=20(2s+1)/s(s+1)求伯德图 本讲稿第九十四页，共一百零四页 BodeBode图特点图特点最低频段的斜率取决于积分环节的数目v，斜率为20v d
24、B/dec；注意到最低频段的对数幅频特性可近似为L()=20lgK-20vlg，当1 rad/s时，L()=20lgK；如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示则对数幅频特性为一系列折线，折线的转折点为各环节的转折频率；对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节，-20dB/dec；振荡环节，-40dB/dec；一阶微分环节，+20dB/dec；二阶微分环节，+40dB/dec。本讲稿第九十五页，共一百零四页第三章第三章 频率特性频率特性本章主要内容本章主要内容本章主要内容本章主要内容:3.I3.I3.I3.I 3.23.23.23.
25、2 3.33.33.33.33.43.43.43.4频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性图频率特性图频率特性图频率特性图系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性系统开环频率特性由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数 本讲稿第九十七页，共一百零四页 因因此此，对对于于最最小小相相位位系系统统，可可以以根根据据系系统统的的对对数数幅频特性写出系统的传递函数或者频率特性。幅频特性写出系统的传递函数或者频率特性。Part 3.4Part 3.4Part 3.4Part 3.4 由伯德图求系统传递函数由
26、伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数由伯德图求系统传递函数 最小相位系统：最小相位系统：在S右半平面上既无极点，又无零点的传递函数称为最小相位传递函数；否则，为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统称为最小相位系统。对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值对应的。本讲稿第九十八页，共一百零四页由由Bode图图确确定定系系统统传传递递函函数数，与与绘绘制制系系统统Bode图图相相反反。即即由由实实验验测测得得的的Bode图图，经经过过分分析析和和测测算算，确确定定系系统统所所包包含含的的各各个个典典型型环环节节，从从而而建建立立起起被测系统数学模型。被测系统数学模型。信号源对象记
27、录仪【Asinwt 由频率特性测试仪记录的数据由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制可以绘制最小相位系统最小相位系统的开环对数频率的开环对数频率特性特性,对该频率特性进行对该频率特性进行处理处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。，即可确定系统的对数幅频特性曲线。1、频率响应实验、频率响应实验 本讲稿第九十九页，共一百零四页2、传递函数确定、传递函数确定（1）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率）对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为为 20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。整数倍的直线段来近似测量到的曲线。（2）当某）当某 处系统对数幅频特性渐近线的斜率发
28、生变化时，此处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此 即即为某个环节的转折频率。为某个环节的转折频率。当斜率变化当斜率变化+20dB/dec时时,可知可知 处有一个一处有一个一阶微分环节阶微分环节Ts+1;若斜率变化若斜率变化+40dB/dec时，则时，则 处有一个二阶微分环节处有一个二阶微分环节(s2/2n+2 s/n+1)或一个二重一阶微分环节或一个二重一阶微分环节(Ts+1)2 若斜率变化若斜率变化-20dB/dec时时,则则 处有一个惯性环节处有一个惯性环节1/(Ts+1);若斜率变化若斜率变化-40dB/dec时，则时，则 处有一个二阶振荡环节处有一个二阶振荡环节1/(s2/2n
29、+2 s/n+1)或一个二重惯性环节或一个二重惯性环节1/(Ts+1)2；。；。本讲稿第一百页，共一百零四页（3）系系统统最最低低频频率率段段的的斜斜率率由由开开环环积积分分环环节节个个数数决决定定。低低频频段段斜斜率率为为-20 dB/dec,则则系系统统开开环环传传递递有有 个个积积分分环环节节，系系统统为为 型型系统。系统。（4）开开环环增增益益K的的确确定定由由=1作作垂垂线线，此此线线与与低低频频段段(或或其其延延长长线线)的的交交点点的的分分贝贝值值=20lgK(dB),由由此此求求处处K值值。低低频频段段斜斜率率为为-20dB/dec时时,此此线线(或或其其延延长长线线)与与0d
30、B线线交交点点处处的的 值值等等于于开开环环增增益益K值值。当当低低频频段段斜斜率率为为-40dB/dec时时,此此线线(或或其其延延长长)与与0dB线线交交点点处处的的 值值即即等等于于K1/2。其其他他几几种种常常见见情情况况如如下表所示。下表所示。本讲稿第一百零一页，共一百零四页例例 最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示。试确定系统传递函数。试确定系统传递函数。解解 由图知此为分段线性曲线由图知此为分段线性曲线,在各交接频率处在各交接频率处,渐近渐近特性斜率发生变化特性斜率发生变化,由斜率的变化情况可确定各转折频率由斜率的变化情况可确定各转折频率处的
31、典型环节类型。处的典型环节类型。=0.1处处,斜率变化斜率变化+20dB/dec,为一阶微分环节为一阶微分环节;1处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节为惯性环节;2处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节为惯性环节;3处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节为惯性环节;4处处,斜率变化斜率变化-20dB/dec,为惯性环节。为惯性环节。可知系统开环传递函数为可知系统开环传递函数为:其中其中,K、1、2、3、4待定。待定。本讲稿第一百零二页，共一百零四页 由由20lgK=30dB,可确定可确定K=31.6。由直线方程及斜率的关系式确定由直线方程及斜率的关系
32、式确定 1、2、3、4。设设A、B为斜率为为斜率为K的对数幅频特性直线段上两点的对数幅频特性直线段上两点,A点的对数幅值为点的对数幅值为L(A),B点则为点则为L(B),则有直线方程则有直线方程 L(A)-L(B)=Klg A-lg A，则，则 从低频段开始从低频段开始,令令 A=1,从图中可知从图中可知 B=0.1、L(A)=40dB、L(0.1)=30dB、K=20dB/dec,则有则有 同理，可分别求出同理，可分别求出 4、3、2，可写出系统开环传递函数为：可写出系统开环传递函数为：本讲稿第一百零三页，共一百零四页This is End of Chapter 3本讲稿第一百零四页，共一百零四页