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1、第七章 波动第1页，共60页，编辑于2022年，星期二(1)平面简谐波方程（波函数）；平面简谐波方程（波函数）；(2)波的能量和能流密度；波的能量和能流密度；(3)波的干涉和驻波；波的干涉和驻波；(4)多普勒效应。多普勒效应。主要内容：主要内容：返回返回第2页，共60页，编辑于2022年，星期二 波源（振源）波源（振源）：波动的形式和能量的来源。：波动的形式和能量的来源。1、产生机械波的必要条件：、产生机械波的必要条件：弹性介质弹性介质：机械波只能在介质（气体、液体、固体）：机械波只能在介质（气体、液体、固体）中传播。介质内各质元间当有相对位移时，能互相施以中传播。介质内各质元间当有相对位移时
2、，能互相施以弹性恢复力，使各质元能在平衡位置附近按波源的形式弹性恢复力，使各质元能在平衡位置附近按波源的形式振动，并将波源的振动形式（和能量）传播开去。振动，并将波源的振动形式（和能量）传播开去。7-1 机械波的产生和传播第3页，共60页，编辑于2022年，星期二2、横波和纵波：、横波和纵波：横波横波介质中质元的振动方向垂直于波的传播方向。介质中质元的振动方向垂直于波的传播方向。纵波纵波介质中质元的振动方向平行于波的传播方向。介质中质元的振动方向平行于波的传播方向。如：绳波如：绳波如：声波如：声波横波只能在固体中传播。横波只能在固体中传播。纵波可在任何介质中传播。纵波可在任何介质中传播。水面波
3、水面波水表面除受张（压）应力外，还受重力和表面张水表面除受张（压）应力外，还受重力和表面张力的作用。水面波为横波和纵波的叠加。力的作用。水面波为横波和纵波的叠加。波传播的是振动的状态和能量，而不是质量。波传播的是振动的状态和能量，而不是质量。第4页，共60页，编辑于2022年，星期二横波演示第5页，共60页，编辑于2022年，星期二纵波演示第6页，共60页，编辑于2022年，星期二3、波线和波面：、波线和波面：波线波线沿波的传播方向所画的射线。沿波的传播方向所画的射线。在各向同性的均匀介质中，波线恒与波面垂直。在各向同性的均匀介质中，波线恒与波面垂直。波面波面介质中振动相位相同的点所构成的面介
4、质中振动相位相同的点所构成的面。球面波传到足够远时，在一小范围内可看作平面波。球面波传到足够远时，在一小范围内可看作平面波。（如：传到地球上的太阳光波）（如：传到地球上的太阳光波）波线波线波面（波阵面）波面（波阵面）波波前前波波前前波面（波阵面）波面（波阵面）波线波线平面波平面波球面波球面波第7页，共60页，编辑于2022年，星期二4、波长、周期、频率、波速：、波长、周期、频率、波速：波长波长 同一波线上相位差为同一波线上相位差为2的两质元间的距离。的两质元间的距离。周期周期T 波传播一个波长的距离所需要的时间。波传播一个波长的距离所需要的时间。频率频率 单位时间内传出的完整波形的个数。单位时
5、间内传出的完整波形的个数。波速（相速）波速（相速）u 单位时间内，某振动状态（相位）单位时间内，某振动状态（相位）传播的距离。传播的距离。波的周期、频率和波源的相同。波的周期、频率和波源的相同。波速的大小决定于弹性介质波速的大小决定于弹性介质的性质，与波源无关。的性质，与波源无关。第8页，共60页，编辑于2022年，星期二固体中：固体中：张紧的软绳张紧的软绳中：中：波的频率决定于波源，波速决定于介质。所以：波的频率决定于波源，波速决定于介质。所以：G：固体的固体的切变弹性模量切变弹性模量Y：固体的固体的杨氏弹性模量杨氏弹性模量流体中：流体中：B：流体的流体的容变弹性模量容变弹性模量T：张力；张
6、力；：质量线密度质量线密度空气中的声空气中的声波：波：同一列波在不同介质中的波长不同。同一列波在不同介质中的波长不同。返回返回第9页，共60页，编辑于2022年，星期二 最简单、最基本的波动形式称为简谐波。最简单、最基本的波动形式称为简谐波。简谐波简谐波：介质中各质元作余弦（或正弦）运动的波。：介质中各质元作余弦（或正弦）运动的波。任意复杂的波总可以表示为若干简谐波的叠加。任意复杂的波总可以表示为若干简谐波的叠加。波面为平面且向前传播的简谐波称为平面简谐波面为平面且向前传播的简谐波称为平面简谐行波行波。本节讨论本节讨论均匀无限大、无吸收均匀无限大、无吸收（没有能量损失）（没有能量损失）介质中平
7、面简谐波的表达式。介质中平面简谐波的表达式。7-2 平面简谐波及其波动方程平面简谐波及其波动方程第10页，共60页，编辑于2022年，星期二yxo1、平面简谐波方程：、平面简谐波方程：设平面简谐波以波速设平面简谐波以波速 u 沿波线沿波线 x 传播。传播。波线上波线上o点的振动方程为：点的振动方程为：波从波从o点传到点传到 p 点需点需要时间：要时间：即即p点质元点质元t 时刻的振动状态（相位）为时刻的振动状态（相位）为o点质元点质元 t-t=t0时刻的振动状态（相位）。时刻的振动状态（相位）。p点质元的振动方程：点质元的振动方程：称为（称为（沿沿x正向传播的正向传播的）平面简谐波方程平面简谐
8、波方程或或波函数波函数。upxto时时刻刻:第11页，共60页，编辑于2022年，星期二若波沿若波沿x轴负方向传播，则波函数为：轴负方向传播，则波函数为：若若o点质元振动初相位点质元振动初相位0，则波函数为：则波函数为：考虑到：考虑到：和和波函数还可写成：波函数还可写成：O点振动初相位点振动初相位第12页，共60页，编辑于2022年，星期二2、对波函数的讨论：、对波函数的讨论：(1)当当x一定时，波函数为一定时，波函数为x点处质元的振动方程：点处质元的振动方程：式中：式中：为为x点处质元的振动初相位。点处质元的振动初相位。而：而：为为x点处振动落后于点处振动落后于o点处振动的相位。点处振动的相
9、位。位移位移时间图上相邻两个同相点的间隔即为周期时间图上相邻两个同相点的间隔即为周期T。ytoT第13页，共60页，编辑于2022年，星期二(2)当当t一定时，波函数为一定时，波函数为t时刻各质元的位移分布情况：时刻各质元的位移分布情况：波形图（照片）波形图（照片）波形图上相邻同相位点的间隔为波长波形图上相邻同相位点的间隔为波长。同一时刻同一时刻t，同一波线上，同一波线上x1、x2两点处振动的相位差：两点处振动的相位差：x=x2-x1 称为称为波程差波程差。yxoux2tx1第14页，共60页，编辑于2022年，星期二(3)当当t、x都变化时，波函数表示波线上所有质元的都变化时，波函数表示波线
10、上所有质元的位移随时间的变化情况。位移随时间的变化情况。实线：实线：t 时刻波形。时刻波形。虚线：虚线：时刻波形。时刻波形。整个波形随时间向整个波形随时间向 x 正方向运动正方向运动 行波行波yxoutt+T/4注意：注意：u是波传播速度而不是质点的振动速度！是波传播速度而不是质点的振动速度！X处质点的振动速度：处质点的振动速度：第15页，共60页，编辑于2022年，星期二例7-1例例7-1：声波：声波：=3000Hz，u=1560m/s，沿一波线从沿一波线从A传播到传播到B。x=AB=0.13m。求：求：(1)波的周期和波长；波的周期和波长；(2)B点振动比点振动比A点落后点落后多少时间；多
11、少时间；(3)A、B两点的相位差；两点的相位差；(4)若若A=0.1mm,则波线上各质则波线上各质元振动速度的最大值为多少？元振动速度的最大值为多少？(1)波的传播速度与介质中质元的振动速度是两个波的传播速度与介质中质元的振动速度是两个(2)(3)(4)不相同的概念。不相同的概念。第16页，共60页，编辑于2022年，星期二例7-2例例7-2：沿沿x轴正向传播的平面简谐波：轴正向传播的平面简谐波：u=1.0m/s，x=0点处质元的点处质元的振动方程为振动方程为 y0=0.1cos(t+)(m)，t=0 时，该质元振动速度时，该质元振动速度0=0.1(m/s)。求：。求：(1)波动表达式；波动表
12、达式；(2)t=1s 时，时，x 轴上各质元的位轴上各质元的位移分布；移分布；(3)x=0.5m 处质元的振动方程。处质元的振动方程。(1)x=0 处质元振动的速度：处质元振动的速度：t=0 时：时：x=0 处质元的振动方程：处质元的振动方程：波函数：波函数：第17页，共60页，编辑于2022年，星期二(2)t=1s 时：时：y/mx/mo0.1123(3)x=0.5m 处质元的振动方程：处质元的振动方程：第18页，共60页，编辑于2022年，星期二习题7-12习题习题7-12：一正弦横波沿一张紧的弦从左向右传播，一正弦横波沿一张紧的弦从左向右传播，A=10cm,=200cm,u=100 cm
13、/s。t=0 时，弦左端经平衡位置向下运动。求：时，弦左端经平衡位置向下运动。求：(1)弦左端振动方程；弦左端振动方程；(2)波函数；波函数；(3)x=150cm处质元的振动方程；处质元的振动方程；(4)弦上质点的最大振动速度；弦上质点的最大振动速度；(5)t=3.25s时，时，x=150cm 处质元处质元的位移和速度。的位移和速度。(1)设弦左端的振动方程为：设弦左端的振动方程为：由题设条件：由题设条件：所以：所以：(2)波函数：波函数：第19页，共60页，编辑于2022年，星期二(3)x=150cm处质元的振动方程为：处质元的振动方程为：(4)弦上质点的最大振动速度：弦上质点的最大振动速度
14、：(5)t=3.25s，x=150cm处质元的位移和速度为：处质元的位移和速度为：返回返回第20页，共60页，编辑于2022年，星期二1、波的能量、能量密度：、波的能量、能量密度：设一列简谐纵波沿均匀细杆传播，波的表达式：设一列简谐纵波沿均匀细杆传播，波的表达式：细杆上任取体积元细杆上任取体积元V=Sx，其质量为其质量为m=V。动能：动能：势能：势能：振动速度：振动速度：7-3 波的能量和能流密度波的能量和能流密度xOxO第21页，共60页，编辑于2022年，星期二波的能量密度波的能量密度：单位体积介质内的能量。：单位体积介质内的能量。波的平均能量密度波的平均能量密度：能量密度在一个周期内的平
15、均值。：能量密度在一个周期内的平均值。Ek、Ep随时间周期性变化且随时间周期性变化且Ek=Ep。它们同时达到它们同时达到最大值最大值(过平衡位置时过平衡位置时)；同时为零；同时为零(最大位移时最大位移时)，介质内任一体积元的机械能不守恒。介质内任一体积元的机械能不守恒。E增大时，体积元从一侧吸收能量；增大时，体积元从一侧吸收能量；E减小时，从减小时，从另一侧输出能量，从而实现能量的传递。另一侧输出能量，从而实现能量的传递。机械能（不守恒）：机械能（不守恒）：第22页，共60页，编辑于2022年，星期二2、波的能流、能流密度：、波的能流、能流密度：Su能流：能流：单位时间内通过某一面积的波的能量
16、。单位时间内通过某一面积的波的能量。平均能流：平均能流：能流密度（波的强度）：能流密度（波的强度）：通过垂直于波传播方向单位面积的平均能流。通过垂直于波传播方向单位面积的平均能流。单位：单位：或：或：第23页，共60页，编辑于2022年，星期二3、声强和声强级：、声强和声强级：声波的能流密度称为声波的能流密度称为声强。声强。正常听觉反应的声强范围正常听觉反应的声强范围（=1000 Hz）：响度：响度：人耳对声音强弱的主观感觉。人耳对声音强弱的主观感觉。最低（最低（闻域闻域）：）：最高（最高（痛感域痛感域）：）：响度大致正比于声强的对数。响度大致正比于声强的对数。引起人听觉的声波有引起人听觉的声
17、波有频率范围频率范围和和声强范围声强范围声波声波超声波超声波次声波次声波第24页，共60页，编辑于2022年，星期二声强级：声强级：按对数标度的声强。按对数标度的声强。（单位：贝尔）（单位：贝尔）（单位：（单位：分贝分贝 dB）式中式中I0为闻域的声强为闻域的声强（I0=10-12 W/m2）。声强增大声强增大 10 倍，声强级增加倍，声强级增加 10 dB。声强增大声强增大 1 倍，声强级增加倍，声强级增加 3 dB。表表7-1日常生活中几种声音的声强级日常生活中几种声音的声强级表表7-2城市一类环境噪声值城市一类环境噪声值第25页，共60页，编辑于2022年，星期二例7-4例例7-4：狗叫
18、声功率约为狗叫声功率约为1mW，设叫声向四周均匀传播，求，设叫声向四周均匀传播，求5m远处远处的声强级；若两只狗在同一地方同时叫，则的声强级；若两只狗在同一地方同时叫，则5m处的声强级为多少处的声强级为多少？若不计空气对声波的吸收，则：若不计空气对声波的吸收，则：r=5m 处声波的强度（平均能流密度）：处声波的强度（平均能流密度）：两只狗同时叫时：两只狗同时叫时：返回返回第26页，共60页，编辑于2022年，星期二1、惠更斯原理：、惠更斯原理：波前上每一个点都可看作产生球面次波的波源，而后一时波前上每一个点都可看作产生球面次波的波源，而后一时刻新的波前就是这些球面次波的包络面。刻新的波前就是这
19、些球面次波的包络面。惠更斯原理可用于定性解释波的反射、折射和光在各向异惠更斯原理可用于定性解释波的反射、折射和光在各向异性介质中的传播，但不能解释：性介质中的传播，但不能解释：(1)子波为何不会向后传；子波为何不会向后传；(2)波的强度分布问题。波的强度分布问题。S1S2ut1ut2S1S2ut球面波平面波7-4 惠更斯原理与波的传播惠更斯原理与波的传播第27页，共60页，编辑于2022年，星期二2、波的衍射：、波的衍射：d当平面波在传播过程中遇到障碍物时，波当平面波在传播过程中遇到障碍物时，波将改变传播方向将改变传播方向波的衍射波的衍射。(1)当当d 时，衍射不明显，波仍时，衍射不明显，波仍
20、沿原方向传播；沿原方向传播；(2)当当d 时，衍射较明显；时，衍射较明显；(3)当当d 1时，时，n称为称为倍频倍频。第45页，共60页，编辑于2022年，星期二用驻波测量频率返回返回第46页，共60页，编辑于2022年，星期二7-6 多 普 勒 效 应第47页，共60页，编辑于2022年，星期二波源与观察者相对静止时，观察者测得的频率与波源波源与观察者相对静止时，观察者测得的频率与波源相同；但当波源和观察者相对介质运动时，观察者测相同；但当波源和观察者相对介质运动时，观察者测得的频率与波源频率不同。这种现象称为得的频率与波源频率不同。这种现象称为多普勒效应多普勒效应。以波源和观察者沿两者连线
21、方向运动为例讨论。以波源和观察者沿两者连线方向运动为例讨论。设设波源频率波源频率为为（与运动无关）；（与运动无关）；波相对介质的传播速波相对介质的传播速度度为为u（与运动无关）；（与运动无关）；波源相对介质的速度波源相对介质的速度为为源源；观观察者相对介质的速度察者相对介质的速度为为观观。7-6 多多 普普 勒勒 效效 应应第48页，共60页，编辑于2022年，星期二1、波源静止、观察者运动、波源静止、观察者运动（源源=0、观观 0）：(1)观察者向着波源运动：观察者向着波源运动：(2)观察者离开波源运动：观察者离开波源运动：（观观u)，那么在这种情况下，急速运，那么在这种情况下，急速运动着的
22、波源前方不可能有任何波动产生，动着的波源前方不可能有任何波动产生，所有波前将被积压而聚集在一圆锥面上，所有波前将被积压而聚集在一圆锥面上，如图如图 这个圆锥面上，波的能量已被高度集中，容易这个圆锥面上，波的能量已被高度集中，容易造成巨大的破坏，这种波称为造成巨大的破坏，这种波称为冲击波冲击波或或激波激波第54页，共60页，编辑于2022年，星期二习题7-25习题习题7-18：一音叉以一音叉以源源=2.5 m/s 的速度接近墙壁，观察者在音叉后的速度接近墙壁，观察者在音叉后面听到的拍频面听到的拍频=3Hz。求音叉振动的频率。声速取。求音叉振动的频率。声速取u=340m/s。设音叉频率为设音叉频率
23、为，观察者直接听到的声波频率为：，观察者直接听到的声波频率为：墙接受到的声波频率等于观察者听到的反射墙接受到的声波频率等于观察者听到的反射声波频率：声波频率：源源返回返回第55页，共60页，编辑于2022年，星期二 习题习题5-7 有一水坝闸门的上与水面齐平，闸门宽度有一水坝闸门的上与水面齐平，闸门宽度L3 m、高、高h5m，（1）水对闸门的压力是多少？（）水对闸门的压力是多少？（2）如果）如果闸门的转轴安装在闸门的下底边上，水压对闸门转轴的力闸门的转轴安装在闸门的下底边上，水压对闸门转轴的力矩是多少？（矩是多少？（3）转轴在闸门的中心的水平线上）转轴在闸门的中心的水平线上 力矩又是多力矩又是
24、多少？（少？（4）转轴在闸门边缘的竖直边上转轴在闸门边缘的竖直边上 力矩又是多少？力矩又是多少？解解 (1)在闸面上取面积元在闸面上取面积元 作用在此面积元上的力作用在此面积元上的力yOhyxQyOx第56页，共60页，编辑于2022年，星期二代入数据，得代入数据，得yOhyx第57页，共60页，编辑于2022年，星期二代入数据，得代入数据，得 对通过点对通过点 O 的轴的力矩的轴的力矩yQOhy(2)通过点通过点 O 的轴的力矩的轴的力矩第58页，共60页，编辑于2022年，星期二 对对y轴的力矩轴的力矩yOhyx(4)对对y轴的力矩轴的力矩第59页，共60页，编辑于2022年，星期二杨氏模量杨氏模量2 弹性势能弹性势能xOxO第60页，共60页，编辑于2022年，星期二