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1、第七章振动与波动本讲稿第一页，共四十七页2广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。机械振动：物体在某一位置附近往复运动机械振动：物体在某一位置附近往复运动复杂振动复杂振动 =若干个简谐振动的合成若干个简谐振动的合成研究目的研究目的 利用、减弱利用、减弱 或或 消除消除振动频率振动频率周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次本讲稿第二页，共四十七页3一、简谐振动的基本特征一、简谐振动的基本特征X0 x令令7.1 简谐振动简谐振动质量可忽略的弹簧，一端质量可忽略的弹簧，一端固定，一端系一有质
2、量的固定，一端系一有质量的物体，称此系统为弹簧振物体，称此系统为弹簧振子。子。建建 立立 如如 图的图的 坐坐 标系标系 物体物体 质质 量量 m,坐坐 标标 x 所所 受受 回回 复复 力力 为为 F.此方程的通解为：此方程的通解为：本讲稿第三页，共四十七页4l物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，称之为简谐振动。描述，称之为简谐振动。上式称之为上式称之为 简谐简谐 振振 动表动表 达式（简谐函数或振动方程）达式（简谐函数或振动方程）简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学条件简谐振动的动力学条件本讲稿第四页，共四十
3、七页5 一个运动物体，一个运动物体，它的加速度它的加速度a 与它离开与它离开平衡位置的距离平衡位置的距离x 恒成正恒成正比比,而方向相反，那么此而方向相反，那么此物体一定作简谐振动。物体一定作简谐振动。物体离开平衡位置后，物体离开平衡位置后，总是受到一个方向恒指向总是受到一个方向恒指向平衡位置，大小与物体离平衡位置，大小与物体离开平衡位置的距离开平衡位置的距离x 成正比成正比的力的作用，则此物体一的力的作用，则此物体一定作简谐振动。定作简谐振动。-线性恢复力线性恢复力运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征 简谐振动特点：简谐振动特点：(1)(1)等幅振动；等幅振动；(2)(2)周期振动。周期
4、振动。本讲稿第五页，共四十七页6A 振幅振幅 T 周期周期二描述简谐振动的特征量二描述简谐振动的特征量 初相位初相位相位相位频率频率1、2、圆频率又称圆频率又称固有圆频率固有圆频率3、确定物体振动状态的物理量确定物体振动状态的物理量本讲稿第六页，共四十七页7简谐振动的各阶简谐振动的各阶导数也都作简谐导数也都作简谐振动振动二二、简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度和加速度简谐振动的运动学特征方程简谐振动的运动学特征方程本讲稿第七页，共四十七页8 常数常数 和和 的确定的确定初始条件初始条件 对对给给定定振振动动系系统统，周周期期由由系系统统本本身身性性质质决决定定，振振幅幅和和初初相相由由初初始
5、始条条件件决决定定.本讲稿第八页，共四十七页9 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的物理性质有关的物理性质有关频率为频率为例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/分分周期为周期为大象大象 0.40.5 马马 0.70.8猪猪 11.3 兔兔 1.7松鼠松鼠 6.3 鲸鲸 0.13动物的心跳频率动物的心跳频率(参考值参考值,单位单位:Hz)本讲稿第九页，共四十七页10 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz）雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 220本讲稿第十页，共四十七页11建立如图坐标系，以平衡位置为坐标原
6、建立如图坐标系，以平衡位置为坐标原点。物体坐标为点。物体坐标为 x,所受的弹性回复力为所受的弹性回复力为 f 和重力和重力 mg 例：例：xxmg物体的质量为物体的质量为 m,弹簧的劲度系弹簧的劲度系数为数为 k。其静止变形。其静止变形手拉物体后无初速地释放，确定物体的运手拉物体后无初速地释放，确定物体的运动规律动规律。在平衡位置处在平衡位置处物体受的合力：物体受的合力：本讲稿第十一页，共四十七页12例、单摆例、单摆1、细线质量不计、细线质量不计3、阻力不计、阻力不计约约定定摆角在作简谐振动摆角在作简谐振动 固有固有 园频率园频率mgT0质点质点 m 受力如图重力矩：受力如图重力矩：根据质点的
7、动量距定理根据质点的动量距定理设初始条件设初始条件 振幅和初振幅和初相相=？本讲稿第十二页，共四十七页13R mkmgTTfx O xa例例 如图所示，已知弹簧的劲度系如图所示，已知弹簧的劲度系数为数为k，物体的质量为，物体的质量为m，滑轮滑轮的半径为的半径为R，转动惯量为，转动惯量为J。开。开始时托住物体始时托住物体m，使得系统保持，使得系统保持静止，绳子刚好拉直而弹簧无形静止，绳子刚好拉直而弹簧无形变，变，t=0时放开时放开m。设绳子与滑。设绳子与滑轮间无相对滑动。轮间无相对滑动。(1)证明放开后证明放开后m作简谐振动；作简谐振动；(2)求振动周期；求振动周期；(3)写出写出m的振动表达式
8、。的振动表达式。本讲稿第十三页，共四十七页14解：解：本讲稿第十四页，共四十七页15本讲稿第十五页，共四十七页16例题：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点m m在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。oyrR证明：质点m受力分析建立oy坐标系本讲稿第十六页，共四十七页17满足简谐振动微分方程，故为简谐振动周期：本讲稿第十七页，共四十七页18 简谐运动的方程和特征简谐运动的方程和特征 （2）简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程 （1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置 （3）简谐运动的运动学方程简谐运动的运动学方程 （4）加速度与位移成正比而方向相反加速度
9、与位移成正比而方向相反本讲稿第十八页，共四十七页19三、三、简谐简谐振动的矢量图解法和复数解法振动的矢量图解法和复数解法t A-AAttA21.振振 动动 曲曲 线线本讲稿第十九页，共四十七页202.2.简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法 采用旋转矢采用旋转矢量法，可直观地量法，可直观地领会简谐振动表领会简谐振动表达式中各个物理达式中各个物理量的意义。量的意义。旋转矢量旋转矢量:一长度等于振幅一长度等于振幅A 的矢量的矢量 在纸平面在纸平面内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称
10、为旋转矢量。频率相等，这个矢量称为旋转矢量。本讲稿第二十页，共四十七页21振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影(P点点)的运动规律的运动规律：的长度的长度 旋转的角速度旋转的角速度旋转的方向旋转的方向与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角XOM P x振幅振幅A振动圆频率振动圆频率本讲稿第二十一页，共四十七页22 t0绕绕O点以角速度点以角速度 逆时针旋转的矢量逆时针旋转的矢量 ，在在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。轴上的投影正好描述了一个简谐振动。振幅矢量振幅矢量 t+相位相位旋转矢量旋转矢量 本讲稿第二十二页，共四十七页23速度、加速度的旋转矢量表示
11、法：速度、加速度的旋转矢量表示法：本讲稿第二十三页，共四十七页24用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图本讲稿第二十四页，共四十七页25讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间运动状态间变化所需的时间本讲稿第二十五页，共四十七页26本讲稿第二十六页，共四十七页27 （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表的简谐运动，相位差表示它们间示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）.本讲稿第二十七页，共四十七页28同步同步为其它为
12、其它超前超前落后落后反相反相本讲稿第二十八页，共四十七页29已知简谐振动表达已知简谐振动表达xA(0)A试画出振动曲线试画出振动曲线0 tx例例本讲稿第二十九页，共四十七页303.复数解法复数解法其解为：复数指数表示与三角表示所以位移可以表示为：本讲稿第三十页，共四十七页31速度与加速度：实部：本讲稿第三十一页，共四十七页32例1：本讲稿第三十二页，共四十七页33例2：已知代入方程：本讲稿第三十三页，共四十七页34（1）动能动能(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)O x X四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量本讲稿第三十四页，共四十七页35（2）势能势能 线性回复线性回复力是力是保守力保守力，作作
13、简谐简谐运动的运动的系统系统机械能守机械能守恒恒.O x X（3）机械能机械能本讲稿第三十五页，共四十七页36简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量本讲稿第三十六页，共四十七页37简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，简谐运动能量守恒，振幅不变振幅不变本讲稿第三十七页，共四十七页38能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程导出导出本讲稿第三十八页，共四十七页39时时动力学分析：动力学分析：OAm 例例3 单摆单摆转转动动正正向向本讲稿第三十九页，共四十七页40令令OAm转转动动正正向向本讲稿第四十页，共四十七页41单摆系统机械能守恒：牛顿力学和机械能守恒都能
14、导牛顿力学和机械能守恒都能导出方程，更深一层？更基本？出方程，更深一层？更基本？本讲稿第四十一页，共四十七页42 复摆复摆令令*（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向本讲稿第四十二页，共四十七页43角谐振动角谐振动*（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向本讲稿第四十三页，共四十七页44复摆复摆弹簧振子弹簧振子单摆单摆本讲稿第四十四页，共四十七页45 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：求：（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？本讲稿第四十五页，共四十七页46（2）解（解（1）已知已知；(2)求求:(1)本讲稿第四十六页，共四十七页47（4）时时由由总能量总能量E；（3）解解(4)何处动势能相等何处动势能相等?求求:(3)已知已知本讲稿第四十七页，共四十七页