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1、第七章振动与波动第1页，本讲稿共47页2广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。广义：物理量在某一定值附近反复变化即为振动。机械振动：物体在某一位置附近往复运动机械振动：物体在某一位置附近往复运动复杂振动复杂振动 =若干个简谐振动的合成若干个简谐振动的合成研究目的研究目的 利用、减弱利用、减弱 或或 消除消除振动频率振动频率周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次周期振动：物理量每隔一固定的时间间隔其数值重复一次第2页，本讲稿共47页3一、简谐振动的基本特征一、简谐振动的基本特征X0 x令令7.1 简谐振动简谐振动质量可忽略的弹簧，一质量可忽略的弹簧，一端固定，一端系一有质端固定
2、，一端系一有质量的物体，称此系统为量的物体，称此系统为弹簧振子。弹簧振子。建建 立立 如如 图的图的 坐坐 标系标系 物物体体 质质 量量 m,坐坐 标标 x 所所 受受 回回 复复 力力 为为 F.此方程的通解为：此方程的通解为：第3页，本讲稿共47页4l物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函物理量随时间的变化规律可以用正弦、余弦函数描述，称之为简谐振动。数描述，称之为简谐振动。上式称之为上式称之为 简谐简谐 振振 动表动表 达式（简谐函数或振动方程）达式（简谐函数或振动方程）简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学特征方程简谐振动的动力学条件简谐振动的动力学条件第4页，本讲稿共47页5
3、一个运动物体，一个运动物体，它的加速度它的加速度a 与它离开与它离开平衡位置的距离平衡位置的距离x 恒成恒成正比正比,而方向相反，而方向相反，那么此物体一定作简那么此物体一定作简谐振动。谐振动。物体离开平衡位置后，物体离开平衡位置后，总是受到一个方向恒指向总是受到一个方向恒指向平衡位置，大小与物体离平衡位置，大小与物体离开平衡位置的距离开平衡位置的距离x 成正成正比的力的作用，则此物体比的力的作用，则此物体一定作简谐振动。一定作简谐振动。-线性恢复力线性恢复力运动学特征运动学特征动力学特征动力学特征 简谐振动特点：简谐振动特点：(1)(1)等幅振动；等幅振动；(2)(2)周期振动。周期振动。第
4、5页，本讲稿共47页6A 振幅振幅 T 周期周期二描述简谐振动的特征量二描述简谐振动的特征量 初相位初相位相位相位频率频率1、2、圆频率又称圆频率又称固有圆频率固有圆频率3、确定物体振动状态的物理量确定物体振动状态的物理量第6页，本讲稿共47页7简谐振动的各简谐振动的各阶导数也都作阶导数也都作简谐振动简谐振动二二、简谐运动的速度和加速度简谐运动的速度和加速度简谐振动的运动学特征方程简谐振动的运动学特征方程第7页，本讲稿共47页8 常数常数 和和 的确定的确定初始条件初始条件 对对给给定定振振动动系系统统，周周期期由由系系统统本本身身性性质质决决定定，振振幅幅和和初初相相由由初初始始条条件件决决
5、定定.第8页，本讲稿共47页9 周期和频率仅与振动系统周期和频率仅与振动系统本身本身的物理性质有关的物理性质有关频率为频率为例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/分分周期为周期为大象大象 0.40.5 马马 0.70.8猪猪 11.3 兔兔 1.7松鼠松鼠 6.3 鲸鲸 0.13动物的心跳频率动物的心跳频率(参考值参考值,单位单位:Hz)第9页，本讲稿共47页10 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz）雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 220第10页，本讲稿共47页11建立如图坐标系，以平衡位置为坐标建立如图坐标系，以平
6、衡位置为坐标原点。物体坐标为原点。物体坐标为 x,所受的弹性回复力所受的弹性回复力为为 f 和重力和重力 mg 例：例：xxmg物体的质量为物体的质量为 m,弹簧的劲度弹簧的劲度系数为系数为 k。其静止变形。其静止变形手拉物体后无初速地释放，确定物体的手拉物体后无初速地释放，确定物体的运动规律运动规律。在平衡位置处在平衡位置处物体受的合力：物体受的合力：第11页，本讲稿共47页12例、单摆例、单摆1、细线质量不计、细线质量不计3、阻力不计、阻力不计约约定定摆角在作简谐振动摆角在作简谐振动 固有固有 园园频率频率mgT0质点质点 m 受力如图重力矩：受力如图重力矩：根据质点的动量距定理根据质点的
7、动量距定理设初始条件设初始条件 振幅和初振幅和初相相=？第12页，本讲稿共47页13R mkmgTTfx O xa例例 如图所示，已知弹簧的劲度如图所示，已知弹簧的劲度系数为系数为k，物体的质量为，物体的质量为m，滑轮的半径为滑轮的半径为R，转动惯量为，转动惯量为J。开始时托住物体。开始时托住物体m，使得，使得系统保持静止，绳子刚好拉系统保持静止，绳子刚好拉直而弹簧无形变，直而弹簧无形变，t=0时放开时放开m。设绳子与滑轮间无相对。设绳子与滑轮间无相对滑动。滑动。(1)证明放开后证明放开后m作简谐振动；作简谐振动；(2)求振动周期；求振动周期；(3)写出写出m的振动表达式。的振动表达式。第13
8、页，本讲稿共47页14解：解：第14页，本讲稿共47页15第15页，本讲稿共47页16例题：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。例题：设想地球内有一光滑隧道，如图所示。证明质点证明质点m m在此隧道内的运动为简谐振动，并在此隧道内的运动为简谐振动，并求其振动周期。求其振动周期。oyrR证明：质点m受力分析建立oy坐标系第16页，本讲稿共47页17满足简谐振动微分方程，故为简谐振动周期：第17页，本讲稿共47页18 简谐运动的方程和特征简谐运动的方程和特征 （2）简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程 （1）物体受线性回复力作用物体受线性回复力作用 平衡位置平衡位置 （3）简谐运动的运动学方程简
9、谐运动的运动学方程 （4）加速度与位移成正比而方向相反加速度与位移成正比而方向相反第18页，本讲稿共47页19三、三、简谐简谐振动的矢量图解法和复数解法振动的矢量图解法和复数解法t A-AAttA21.振振 动动 曲曲 线线第19页，本讲稿共47页202.2.简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法 采用旋转采用旋转矢量法，可直矢量法，可直观地领会简谐观地领会简谐振动表达式中振动表达式中各个物理量的各个物理量的意义。意义。旋转矢量旋转矢量:一长度等于振幅一长度等于振幅A 的矢量的矢量 在纸平面在纸平面内绕内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角点沿
10、逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。频率相等，这个矢量称为旋转矢量。第20页，本讲稿共47页21振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影(P点点)的运动规律的运动规律：的长度的长度 旋转的角速度旋转的角速度旋转的方向旋转的方向与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角XOM P x振幅振幅A振动圆频率振动圆频率第21页，本讲稿共47页22 t0绕绕O点以角速度点以角速度 逆时针旋转的矢量逆时针旋转的矢量 ，在，在x 轴上的投影正好描述了一个简谐振动。轴上的投影正好描述了一个简谐振动。振幅矢量振幅矢量 t+相位相位旋转矢量旋转矢量 第22
11、页，本讲稿共47页23速度、加速度的旋转矢量表示法：速度、加速度的旋转矢量表示法：第23页，本讲稿共47页24用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图第24页，本讲稿共47页25讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间动状态间变化所需的时间第25页，本讲稿共47页26第26页，本讲稿共47页27 （2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表的简谐运动，相位差表示它们间示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）.第27页，本讲稿
12、共47页28同步同步为其它为其它超前超前落后落后反相反相第28页，本讲稿共47页29已知简谐振动表达已知简谐振动表达xA(0)A试画出振动曲线试画出振动曲线0 tx例例第29页，本讲稿共47页303.复数解法复数解法其解为：复数指数表示与三角表示所以位移可以表示为：第30页，本讲稿共47页31速度与加速度：实部：第31页，本讲稿共47页32例1：第32页，本讲稿共47页33例2：已知代入方程：第33页，本讲稿共47页34（1）动能动能(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)O x X四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量第34页，本讲稿共47页35（2）势能势能 线性回复线性回复力是力是保守力保守力，作
13、作简谐简谐运动的运动的系统系统机械能守机械能守恒恒.O x X（3）机械能机械能第35页，本讲稿共47页36简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量第36页，本讲稿共47页37简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，简谐运动能量守恒，振幅不变振幅不变第37页，本讲稿共47页38能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程导出导出第38页，本讲稿共47页39时时动力学分析：动力学分析：OAm 例例3 单摆单摆转转动动正正向向第39页，本讲稿共47页40令令OAm转转动动正正向向第40页，本讲稿共47页41单摆系统机械能守恒：牛顿力学和机械能守恒都能牛顿力学和机械能守恒
14、都能导出方程，更深一层？更基导出方程，更深一层？更基本？本？第41页，本讲稿共47页42 复摆复摆令令*（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向第42页，本讲稿共47页43角谐振动角谐振动*（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向第43页，本讲稿共47页44复摆复摆弹簧振子弹簧振子单摆单摆第44页，本讲稿共47页45 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：求：（1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？第45页，本讲稿共47页46（2）解（解（1）已知已知；(2)求求:(1)第46页，本讲稿共47页47（4）时时由由总能量总能量E；（3）解解(4)何处动势能相等何处动势能相等?求求:(3)已知已知第47页，本讲稿共47页