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1、2013届高考数学（浙江专用）冲刺必备：第二部分 专题四 第二讲 冲刺直击高考限时：60分钟满分：90分1(满分15分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，且PAAD1，AB2，PAB120，PBC90.(1)求证：平面PAD平面PAB；(2)求三棱锥DPAC的体积；(3)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值解：(1)证明：四边形ABCD为矩形，ADAB且ADBC，BCPB，DAPB，且ABPBB，DA平面PAB，又DA平面PAD，平面PAD平面PAB.(2)由(1)知DA平面PAB，且ADBC，BC平面PAB.VDPACVPDACVPABCVCPABSPABBCPAABsinPAB
2、BC121.(3)由(1)知DA平面PAB，AD平面ABCD，平面ABCD平面PAB.在平面PAB内，过点P作PEAB，垂足为E，则PE平面ABCD，连接EC，则PCE为直线PC与平面ABCD所成的角，在RtPEA中，PAE60，PA1，PE，在PAB中，PB2PA2AB22PAABcos 1207，PC2.在RtPEC中，sin .即直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为.2(满分15分)在直角梯形A1A2A3D中，A1D10，A2A316，A1A28，A1A2A1D，A1A2A2A3，且B，C分别是边A1A2，A2A3上的一点，沿线段BC，CD，DB分别将BCA2，CDA3，DBA1翻折上
3、去恰好使A1，A2，A3重合于一点A.(1)求证：ABCD；(2)求AC与平面BCD所成角的正弦值解：(1)证明：由题意BACBAD，故BA平面ACD，所以ABCD.(2)由题意得，A1DA3D10A1BA2B4A2CA3C8作点A在平面BCD内的射影点O，由VABCDVBACD得，SBCDAOSACDAB又SACD8832，SBCD(810)84108436，所以AO设AC与平面BCD所成角为，则sin .3(满分15分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AA1底面ABCD，AB2，AA1BC4，ABC60，点E为BC中点，点F为B1C1中点(1)求证：平面A
4、1ED平面A1AEF；(2)设二面角A1EDA的大小为，直线AD与平面A1ED所成的角为，求sin()的值解：(1)证明：ABBE2且ABC60，AEB60.CECD2且BCD120，CED30，AED90，AEED.AA1底面ABCD，AA1ED，ED面A1AEF，平面A1ED平面A1AEF.(2)ED面A1AEF，A1EED，AEED，A1EA为二面角A1EDA的平面角，即A1EA.sin ，cos .过A作A1E的垂线，垂足为H，连接HD，ED面A1AEF，EDAH，AH面A1ED，ADH为直线AD与平面A1ED所成的角，即ADH，易得AH，sin cos ，90，sin()1.4(满分
5、15分)如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCEF，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值解：(1)由题设知，BFCE，所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点，连接EP，PC.因为FE綊AP，所以FA綊EP.同理，AB綊PC.又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD.而PC，AD都在平面ABCD内，故EPPC，EPAD.由ABAD，可得PCAD.设FAa，则EPPCPDa，CDDEECa.故CED60.所以异面直线BF与DE所成的角的
6、大小为60.(2)证明：因为DCDE且M为CE的中点，所以DMCE.连接MP，则MPCE.又MPDMM，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)设Q为CD的中点，连接PQ，EQ.因为CEDE，所以EQCD.因为PCPD，所以PQCD，故EQP为二面角ACDE的平面角由(1)可得，EPPQ，EQa，PQa.于是在RtEPQ中，cosEQP.所以二面角ACDE的余弦值为.5(满分15分)在长方形AA1B1B中，AB2AA14，C，C1分别是AB，A1B1的中点(如图1)将此长方形沿CC1对折，使二面角A1CC1B为直二面角，D，E分别是A1B1，CC1的中点(如图2)(
7、1)求证：C1D平面A1BE；(2)求证：平面A1BE平面AA1B1B；(3)求异面直线C1D与BE所成角的正弦值解：(1)证明：取A1B的中点F，连接DF，EF.因为D，F分别是A1B1，A1B的中点，所以DF是A1BB1的中位线所以DFBB1CC1，且DFBB1CC1.又因为E是CC1的中点，所以C1ECC1.所以DFC1E，且DFC1E.所以四边形C1EFD是平行四边形所以C1DEF.又EF平面A1BE，C1D平面A1BE，所以C1D平面A1BE.(2)证明：因为CC1A1C1，CC1B1C1且A1C1B1C1C1，所以CC1平面A1C1B1.因为BB1CC1，所以BB1平面A1C1B1
8、.因为C1D平面A1C1B1，所以BB1C1D.又A1C1C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1DA1B1.因为A1B1BB1B1，所以C1D平面AA1B1B.由(1)知EFC1D.所以EF平面AA1B1B.又因为EF平面A1BE，所以平面A1BE平面AA1B1B.(3)由(1)知C1DEF，所以BEF为异面直线C1D与BE所成的角由A1C12，CECC11，得A1E，同理BE.由AA1AB2，得A1B2，BFA1B.又EFA1B，所以sinBEF.即异面直线C1D与BE所成角的正弦值为.6(满分15分)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，平面ACFE平面ABCD，
9、四边形ACFE是矩形，AEa，点M在线段EF上(1)求证：BC平面ACFE；(2)当EM为何值时，AM平面BDF？证明你的结论；(3)求二面角BEFD的平面角的余弦值解：(1)证明：在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCBa，ABC60，四边形ABCD是等腰梯形，且DCADAC30，DCB120，ACBDCBDCA90，ACBC，又平面ACFE平面ABCD，交线为AC，BC平面ACFE.(2)当EMa时，AM平面BDF，在梯形ABCD中，设ACBDN，连接FN，则CNNA12，EMa，而EFACa，EMMF12，MF綊AN，四边形ANFM是平行四边形，AMNF，又NF平面BDF，AM平面BDF，AM平面BDF.(3)取EF中点G，EB中点H，连接DG，GH，DH.DEDF，DGEF，由(1)知BC平面ACFE，BCEF，又EFFC，FCBCC，EF平面FCB，FB平面FCB，EFFB，又GHFB，EFGH，DGH是二面角BEFD的平面角在BDE中，DEa，DBa，BEa，DE2DB2BE2，EDB90，DHa.又DGa，GHa，在DGH中，由余弦定理得cosDGH，即二面角BEFD的平面角的余弦值为.6