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1、【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 11.6几何概型训练 理 新人教A版 (45分钟 100分) 一、选择题（每小题6分，共36分）1.在长为3 m的线段AB上任取一点P，则点P与线段两端点A、B的距离都大于1 m的概率是( )（A） （B） （C） （D）2.四边形ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点.在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )（A） （B） （C） （D）3.一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )（A） （B）
2、（C） （D）4.在RtABC中，A90，AB1，BC2.在BC边上任取一点M，则AMB90的概率为( )（A） （B） （C） （D）5.(2012龙岩模拟)若a，b在区间0，上取值，则函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点的概率是( )（A） （B） （C） （D）6.（易错题）已知k2,2，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2y2kx2yk0相切的概率等于( )（A） （B） （C） （D）不确定二、填空题（每小题6分，共18分）7.（2012莆田模拟）已知函数f(x)=，导函数为f（x），在区间2，3上任取一点x0，使得f(x0)0的概率为_.8.(2012江门
3、模拟)设函数yf(x)在区间0,1上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0f(x)1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线yf(x)及直线x0，x1，y0所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1，x2，xN和y1，y2，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i1,2，N).再数出其中满足yif(xi)(i1,2，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得S的近似值为_.9.（2012三明模拟）如图所示，墙上挂有边长为2的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为1的圆弧，某人向此木板上投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中
4、阴影部分的概率是_.三、解答题（每小题15分，共30分）10.（2012南京模拟）甲打靶射击，有4发子弹，其中有一发是空弹.（1）求空弹出现在第一枪的概率；（2）求空弹出现在前三枪的概率;（3）如果把空弹换成实弹，甲前三枪在靶上留下三个分别相距3、4、5的弹孔P,Q,R，第四枪瞄准了三角形PQR射击,第四个弹孔落在三角形PQR内，求第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的概率（忽略弹孔大小）.11.将长为1的木棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.【探究创新】（16分）在区间0,1上任意取两个实数a，b，求函数f(x)在区间1,1上有且仅有一个零点的概率.答案解析1.【解析】选B.由题意可设线
5、段AB的三等分点为C、D，如图，当点P位于C、D之间时满足条件，故所求概率为.2.【解析】选B.如图，根据几何概型的概率公式得概率为P3.【解析】选C.一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P.4.【解析】选D.如图，在RtABC中，作AMBC，M为垂足.由题意知：AB1，BC2，可得BM，则AMB90的概率为：P.5.【解题指南】f(x) 在R上有两个相异极值点的充要条件是a0且其导函数的判别式大于0.【解析】选C.易得f(x)3ax22bxa，函数f(x)ax3bx2ax在R上有两个相异极值点
6、的充要条件是a0且其导函数的判别式大于0，即a0且4b212a20，又a，b在区间0，上取值，则a0，b，满足点(a，b)的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，故所求的概率是.6.【解题指南】首先由方程表示圆，求出k的范围，再由过A(1,1)可以作两条直线与圆x2y2kx2y0相切，可得点A在圆外，由此可得k的取值范围.【解析】选B.圆的方程化为，5kk240，k1.过A(1,1)可以作两条直线与圆相切，A(1,1)在圆外，得，k0 0，解得0xe，故由几何概型可得所求事件的概率为.答案：e-28.【解析】这种随机模拟的方法是在0,1内生成了N个点，而满足几条曲
7、线围成的区域内的点是N1个，所以根据比例关系，而正方形的面积为1，所以随机模拟方法得到的面积为.答案：【方法技巧】随机模拟法求面积的步骤：（1）用计算器或计算机产生一系列0,1内的随机数；（2）经平移和伸缩变换，x（ba）x1a，y（dc）y1c，使得随机数x的范围在a，b内，随机数y的范围在c，d内；（3）统计落在所求区域内的随机数组（x，y）的个数N（有时需计算检验）;（4）应用公式S=计算近似的面积，其中S为相应矩形面积（ba）（dc），M为总的随机数组（x，y）的个数，S为所求图形（往往是不规则）的面积的近似值.9.【解析】根据几何概型的定义，击中阴影部分的概率答案： 10.【解析】设
8、四发子弹编号为0（空弹），1，2，3，(1)设第一枪出现“空弹”的事件为A，第一枪有4个基本事件,则：P(A)=.(2)方法一:前三枪出现“空弹”的事件为B,则第四枪出现“空弹”的事件为, 那么P（）=P（A），P（B）=1-P（）=1-P（A）=1-=.方法二:前三枪共有4个基本事件0,1,2,0,1,3,0,2,3,1,2,3,满足条件的有三个, 则P（B）=. (3) RtPQR的面积为6， 分别以P,Q,R为圆心、1为半径的三个扇形的面积和为,设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为C,P(C)=.【变式备选】投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两
9、个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.(1)求点P落在区域C：x2y210上的概率；(2)若以落在区域C：x2y210上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M.在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.【解析】(1)点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9种，其中落在区域C：x2y210上的点P的坐标有：(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4种.故点P落在区域C：x2y210上的概率为.(2)区域M为一个边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10，则豆子落在区域M上的概率为.11.【解析】设事件A表示“3段构成三角形”，x,y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为1xy，则试验的全部结果可构成集合=(x,y)|0x1,0y1,0x+y1xyx+y,x+1xyyyxx,y,x.由图可知，所求概率为P(A)=.【探究创新】【解析】f(x)，故函数f(x)在区间1,1上有且仅有一个零点等价于f(1)f(1)0，即，得(ab)(ab)0，又0a1,0b1，所以得画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分，令a0，代入ab0，得所以阴影部分的面积为.所以P.- 5 -