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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网7-77-7空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算一、选择题一、选择题1已知已知 ABCD，且，且 A(4,1,3)、B(2，5,1)、C(3,7，5)，则顶点，则顶点 D 的坐标为的坐标为()A(72，4，1)B(2,3,1)C(3,1,5)D(5,13，3)解析：解析：，设，设(x，y，z)，则，则(7,8，2)(x2，y5，z1)，x5，y13，z3，即，即(5,13，3)答案：答案：D2已知已知ABC 的三个顶点坐标分别为的三个顶点坐标分别为 A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)，则，则ABC 的重心的重心坐
2、标为坐标为()A(6，72，3)B(4，73，2)C(8，143，4)D(2，76，1)解析：解析：ABC 的重心坐标为的重心坐标为 x24634，y313373，z1(2)732.答案：答案：B3若向量若向量 a(1，2)，b(2，1,2)，cosa，b89，则，则等于等于()A2B2C2 或或255D2 或或255解析：解析：|a|25，|b|3，ab6，根据已知条件，根据已知条件63 2589，解得，解得2，或或 255.答案：答案：C4 已知两空间向量已知两空间向量 a(2，cos，sin)，b(sin，2，cos)，则则 ab 与与 ab 的夹角为的夹角为()A30B45C60D90
3、解析：解析：(ab)(ab)a2b20，ab，ab90.答案：答案：D二、填空题二、填空题5与与 A(1,2,3)、B(0,0,5)两点距离相等的点满足的等式为两点距离相等的点满足的等式为_解析：解析：设到设到 A、B 两点距离相等的点为两点距离相等的点为 P(x，y，z)，由，由|PA|PB|，即即(x1)2(y2)2(z3)2x2y2(z5)2，整理得：，整理得：2x4y4z110.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网答案：答案：2x4y4z1106已知向量已知向量 a(1,2,3)，b(1,1,1)，则向量，则向量 a 在向量在向量 b 方向上的投影为方向上的
4、投影为_解析：解析：1|b|ba13(1,1,1)(1,2,3)4 33，则，则 a 在向量在向量 b 上的投影为上的投影为4 33.答案：答案：4 337已知已知 a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为_解析解析：|a|22(1)2223，|b|2222123，ab22(1)2214，cosa，bab|a|b|49，sina，b659，S平行四边形平行四边形|a|b|sina，b 65.答案：答案：65三、解答题三、解答题8如右图，在四棱锥如右图，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 为矩形，侧棱为矩形，侧棱
5、PA底面底面 ABCD，AB 3，BC1，PA2，E 为为 PD 的中点的中点(1)求直线求直线 AC 与与 PB 所成角的余弦值；所成角的余弦值；(2)在侧面在侧面 PAB 内找一点内找一点 N，使，使 NE面面 PAC，并求出，并求出 N 点到点到 AB 和和 AP 的距离的距离解答：解答：(1)如右图，建立直角坐标系如右图，建立直角坐标系 Axyz，则，则 P(0,0,2)，B(3，0,0)，C(3，1,0)(3，1,0)，(3，0，2)，cos 3 714，则直线则直线 AC 与与 PB 所成角的余弦值为所成角的余弦值为3 714.(2)设设 N(x,0，z)又又 E(0，12，1)，
6、(x，12，z1)由由0，得，得 2(z1)0，由，由0，得，得3x120，解得：，解得：x36，z1，因此因此 N 点到点到 AB 和和 AP 的距离分别为的距离分别为 1，36.9如右图如右图，点点 P，E，F 在矩形在矩形 ABCD 所在平面外所在平面外，PC平面平面 ABCD 于于 C，EB平面平面 ABCD于于 B，FD平面平面 ABCD 于于 D，AB4，BC2，PC6，BEDF 且四边形且四边形 AEPF 是平是平http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网行四边形行四边形(1)建立适当坐标系，求点建立适当坐标系，求点 E、F 的坐标；的坐标；(2)求平面求平
7、面 AEPF 与平面与平面 PEBC 所成的二面角所成的二面角(锐角锐角)的大小的大小解答：解答：如右图，建立空间直角坐标系如右图，建立空间直角坐标系(1)P(0,0,6)，A(4,2,0)，设，设 BEDFm，则，则 E(0,2，m)，F(4，0，m)，(0,0,6)(0,2，m)(0，2,6m)，(4,0，m)(4,2,0)(0，2，m)，四边形四边形 AEPF 是平行四边形，是平行四边形，6mm，即，即 m3，E(0,2,3)，F(4,0,3)(2)(0，2,3)，(0,2,3)(4,2,0)(4,0,3)，设平面，设平面 AEPF 的法向量的法向量n1(x，y，z)，n1，(x，y，z
8、)(0，2,3)0 即即2y3z0，n1，(x，y，z)(4,0,3)0 即即4x3z0.令令 z4 得得 y6，x3，n1(3,6,4)，显然平面，显然平面 PEBC 的法向量的法向量 n2(1,0,0)n1n2(3,6,4)(1,0,0)3，|n1|624232 61，|n2|1，cosn1，n2n1n2|n1|n2|3613 6161，平面平面 AEPF 与平面与平面 PEBC 所成的二面角所成的二面角(锐角锐角)的大小是的大小是 arccos3 6161.10如右图如右图，已知长方体已知长方体 ABCDA1B1C1D1，AB2，AA11，直线直线 BD 与平面与平面 AA1B1B 所所
9、成的角为成的角为 30，AE 垂直垂直 BD 于于 E，F 为为 A1B1的中点的中点(1)求异面直线求异面直线 AE 与与 BF 所成的角；所成的角；(2)求平面求平面 BDF 与平面与平面 AA1B 所成二面角所成二面角(锐角锐角)的大小；的大小；(3)求点求点 A 到平面到平面 BDF 的距离的距离http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解答：解答：在长方体在长方体 ABCDA1B1C1D1中，以中，以 AB 所在直线为所在直线为 x 轴，轴，AD 所在直线为所在直线为 y 轴，轴，AA1所在直线为所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系如右图轴建立空间直角坐标系如右
10、图由已知由已知 AB2，AA11，可得，可得 A(0,0,0)、B(2,0,0)、F(1,0,1)又又 AD平面平面 AA1B1B，从而，从而 BD 与平面与平面 AA1B1B 所成的角即为所成的角即为DBA30，又又 AB2，AEBD，AE1，AD2 33，从而易得从而易得 E(12，32，0)，D(0，2 33，0)(1)(12，32，0)，(1,0,1)12224.即异面直线即异面直线 AE、BF 所成的角为所成的角为 arccos24.(2)易知平面易知平面 AA1B 的一个法向量的一个法向量 m(0,1,0)，设设 n(x，y，z)是平面是平面 BDF 的一个法向量的一个法向量(2，
11、2 33，0)由由xz02x2 33y0 xz，3xy.取取 n(1，3，1)，cosm，nmn|m|n|31 5155.即平面即平面 BDF 与平面与平面 AA1B 所成二面角所成二面角(锐角锐角)大小为大小为 arccos155.(3)点点 A 到平面到平面 BDF 的距离，即的距离，即 AB 在平面在平面 BDF 的法向量的法向量 n 上的投影的绝对值上的投影的绝对值所以距离所以距离 d|cos，n|252 55.所以点所以点 A 到平面到平面 BDF 的距离为的距离为2 55.1 已知空间三点已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若若|a|3，且，且 a 分
12、别与分别与 AB，AC 垂垂直，则向量直，则向量 a 为为()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或或(1，1，1)D(1，1,1)或或(1,1，1)http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网解析：解析：由已条件由已条件(2，1,3)，(1，3,2)，可观察出，可观察出 a(1,1,1)答案：答案：C2已知已知，在右图所示的几何体在右图所示的几何体 ABCED 中中，EC面面 ABC，DB面面 ABC，CECACB2DB，ACB90，M 为为 AD 的中点的中点(1)证明：证明：EMAB；(2)求直线求直线 BM 和平面和平面 ADE 所成角的大小所成角的大小
13、解答：解答：解法一：解法一：(1)如右图，以如右图，以 C 为原点，为原点，CA、CB、CE 所在的直线分别为所在的直线分别为 x、y、z 轴轴建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系不妨设不妨设 BD1，则，则 E(0,0,2)，A(2,0,0)，D(0,2,1)，B(0,2,0)，由，由 M 是是 AD 的中点，得的中点，得M(1,1，12)，(1,1，32)，(2,2,0)0，得，得.(2)(2,2,1)，(2,0,2)，设面，设面 ADE 的法向量的法向量 n(x，y，z)，由由 ADn0，n0，易求平面易求平面 ADE 的一个法向量为的一个法向量为 n(1，12，1)，又又 BM(1，1
14、，12)cosn，49，直线直线 BM 和平面和平面 ADE 所成角为所成角为2arccos49.解法二解法二：(1)如上图如上图，过过 M 作作 MNAB，由由 DB面面 ABC，面面 ABD面面 ABC，得得 MN面面 ABC，MNBDCE，M 是是 AD 中点中点，N 是是 AB 中点中点，CACB，CNAB，由三垂线定理由三垂线定理，得得 EMAB.(2)设设 CB 和和 ED 延长线交于延长线交于 F，不妨设不妨设 BD1，易求易求 BF2，AB2 2，AD3，BM32，DF 5，AF2 5，cosDFA45，sinDFA35，得得 SADF3.设设 B 到面到面 AEF 的距离为的距离为 h，由由 VDABFVBADF，得得 h23，设直线设直线 BM 和平面和平面 ADE 所所成角为成角为，sin hBM49，arcsin49.