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1、13.1.53.1.5 空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示课时作业A 组 基础巩固1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于( )A(2，4,2) B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)解析：ba(1,2，1)(1，2,1)(1,2，1)(2，4,2)，故选 A.答案：A2若非零向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则是a与b同向或反向的( )x1 x2y1 y2z1 z2A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若，则a与b同向或反向，反之不成立x1 x2y1 y2z1 z2答案：A3.以正方体ABCDA1B1
2、C1D1的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是( )DB1A(1， ，)22B(1,1，)2C(， ，)222D(， ，1)22解析：设正方体的棱长为 1，则由图可知D(0,0,0)，B1(1,1,1)，(1,1,1)，DB1与共线的向量的坐标可以是(， ，)DB1222答案：C4已知点A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是( )A等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：(3,4，8)，(5,1，7)，(2，3,1)，ABACBC|，AB324282892|，AC52127275|，BC2232114|2|
3、2751489|2.ACBCABABC为直角三角形答案：C5已知向量a(2，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为( )A. B.65265C4 D8解析：cosa，b ，sina，bab |a|b|4 91cos2a，b1492，S|a|b|sina，b33.65965965答案：B6已知 a(1,0,2)，b(6，21，2)，且 ab，则_.解析：ab，atb.Error!Error! .1 51 27 10答案：7 107已知点A(1，1,3)，B(2，2)，C(3，3,9)三点共线，则实数_.解析：(1,1，23)，(2，2,6)ABAC若A，B，C三点共线，
4、则，ABAC即 ，1 21 223 6解得0，0，所以0.答案：08已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|_.解析：a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，ab2c(1,0,1)(2，1,1)(6,2,0)(9,3,0)，3|ab2c|3.92329010答案：3109已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)若，且|2，求点P的坐标；APBCAP14(2)求以，为邻边的平行四边形的面积ABAC解析：(1)，可设，APBCAPBC又(3，2，1)，(3，2，)，BCAP又|2，AP142，32222142，(6，4，2
5、)或(6,4,2)APAP设点P的坐标为(x，y，z)，(x，y2，z3)APError!或Error!解得Error!或Error!故所求点P的坐标为(6，2,1)或(6,6,5)(2)由题中条件可知：(2，1,3)，(1，3，2)ABACcos， ，ABACABAC|AB|AC|23614 147 141 2sin， .ABAC32以，为邻边的平行四边形的面积ABACS|sin， 147.ABACABAC32310.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，且PCAB.求：A1PA1B(1)的值；(2)异面直线PC与AC1所成角的余弦值解析：(1)设正三棱柱的
6、棱长为 2，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，1,0)，B(，0,0)，C(0，1,0)，A1(0，1,2)，B1(，0,2)，33C1(0,1,2)，4于是(，1,0)， (0，2，2)，(，1，2)AB3CA1A1B3因为PCAB，所以0，即()0，CPABCA1A1PAB也即()0.CA1A1BAB故 .CA1ABA1BAB1 2(2)由(1)知，(0,2,2)，CP(32，32，1)AC1cos，CPAC1CPAC1|CP|AC1|322 2 228所以异面直线PC与AC1所成角的余弦值是.28B 组 能力提升1已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为
7、 120，则的值OAOBOB为( )A B C D6666666解析：(1,0,0)，(0，1,1)，OAOB(1，)，OAOB()2，OAOBOB|，|.OAOB122122OB2cos 120 ，2 .22 1221 21 6又0 ，.22 12266答案：C2.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )A. B.55535C. D.2 553 5解析：设|CB|a，则|CA|CC1|2a，A(2a,0,0)，B(0,0，a)，C1(0,2a,0)，B1(0,2a，a)，(2a,2a，a)，(0,2a，a)，AB
8、1BC1cos，故选 A.AB1BC1AB1BC1|AB1|BC1|55答案：A3若A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，则|的取值范围是_AB解析：|AB3cos 2cos 23sin 2sin 21129412cos cos sin sin ，1312cos1|5.AB答案：1,54已知a(1,2,3)，b(3,0，1)，c，给出下列等式：(1 5，1，3 5)|abc|abc|；(ab)ca(bc)；(abc)2a2b2c2；(ab)ca(bc)其中正确的等式是_(只填序号)解析：对，abc(，3， ) (19,15,7)，19 57 51 5abc( ，1
9、，) (9,5,23)，9 523 51 5|abc| ，1 5192152721 5 635|abc| .1 592522321 5 635正确对，(ab)c(4,2,2)( ，1， )1 53 5 (2,1,1)(1,5，3) 2(1)151(3)0，2 52 56a(bc)(1,2,3)(，1， )14 58 5 (1,2,3)(14,5，8)1 5 114253(8)0，1 5正确对，(abc)2|abc|2，127 5a2b2c21222323202(1)2( )212( )2，1 53 5127 5正确对，(ab)c0c0，a(bc)(1,2,3)00，正确答案：5在棱长为 1 的
10、正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CGCD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题：1 4(1)求EF与C1G所成角的余弦值；(2)求FH的长解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，G.(0，0，1 2)(1 2，1 2，0)(0，3 4，0)(1)因为(0,1,1)C1G(0，3 4，0)，(0，1 4，1).EF(1 2，1 2，0) (0，0，1 2) (1 2，1 2，1 2)所以|，|，C1G174EF32 0 (1)EFC1G1 21 2(1 4) (1 2)
11、 .3 8所以 cos，.EFC1GEFC1G|EF|C1G|51177即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.5117(2)因为F，H，(1 2，1 2，0)(0，7 8，1 2)所以，FH(1 2，3 8，1 2)所以| ，FH(1 2)2(3 8)2(1 2)2418即FH的长为.4186.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD90，ABDC，PA底面ABCD，且PAADDCAB1.1 2(1)证明：平面PAD平面PCD；(2)设AB，PA，BC的中点依次为M、N、T，求证：PB平面MNT；(3)求异面直线AC与PB所成角的余弦值解析：BAD90且PA底面ABC
12、D，以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP为x，y，z轴建立如图所示坐标系A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(1，1,0)，M(0,1,0)，N，T.(0，0，1 2)(1 2，3 2，0)(1)证明：(0,1,0)，(1,0,0)，(0,0,1)DCADAP0，0，DCADDCAPDCAD，DCAP.又APADA，DC平面PAD，DC平面PCD，平面PAD平面PCD.(2)证明：(0,2，1)，PBNM(0，1，1 2)，NM1 2PBPBNM，又NM平面MNT，PB平面MNT，PB平面MNT.(3)(1,1,0)， (0,2，1)，ACPB|，|，2，AC2PB5ACPB8cos， .ACPBACPB|AC|PB|22 5105所以异面直线 AC 与 PB 所成角的余弦值为.105