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1、第17讲导数的综合应用(主要含优化问题)1.如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请按顺序写出与容器(1)、(2)、(3)、(4)对应的水的高度h与时间t的函数关系图象_2.某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2(0x60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长是()A30 B40C50 D其他3.f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf (x)f(x)0，对任意正数a、b，若a0时，f(x)2x2.1.(2011湖北卷)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变
2、过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)M02，其中M0为t0时铯137的含量已知t30时，铯137含量的变化率是10ln2(太贝克/年)，则M(60)()A5太贝克 B75ln2太贝克C150ln2太贝克 D150太贝克2.(2012济阳模拟)三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，定义：设f (x)是函数yf(x)的导数，f (x)是f (x)的导数若方程f (x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心”请你根据这一发现，求：(1)
3、函数f(x)x33x23x对称中心为_；(2)若函数g(x)x3x23x，则g()g()g()g()g()_3.某水渠的横截面如图所示，它的曲边是抛物线形，口宽AB2 m，渠深OC1.5 m，水面EF距AB为0.5 m.(1)求截面图中水面的宽度；(2)如果把水渠改造为横截面是等腰梯形，并要求渠深不变，不准往回填土，只能挖土，试求当截面梯形的下底边长为多少时，才能使挖出的土最少？第17讲巩固练习1B、A、D、C解法1：“中点判别法”，若共用时间t，则当t0时，(1)中h0，且匀速增加，选B；(2)中h0，先快后慢，选D；(4)中h0，中间慢两端快，选C.解法2：增长快慢与斜率关系，也可判定2B
4、解析：V(x)x330x2，V(x)x260x(x240x)x(x40)(0x60)由V(x)0，得x40.而当0x0；当40x60时，V(x)0，所以V(x)maxV(40)16000，所以当x40时，V(x)取最大值故选B.3C解析：令g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf (x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，又因为0ab，所以bf(b)0)由S(r)4r0，得r1.而当0r1时，S(r)1时，S(r)0，所以当r1时，S(r)有最小值S(1)6，此时，底半径为1米，高为2米，材料最省故选C.5D解析：总利润Q(x)R(x)(20000100x).当0x400时，Q(x)(x26
5、00x)20000(x300)225000，所以当x300时，Q(x)max25000；当x400时，Q(x)60000100x20000.综上知，总利润最大时，年产量是300件6(，1)解析：由已知，g(x)3x2ax3a5.令(a)(3x)a3x25.因为对任意a1,1都有g(x)0成立，即(a)0恒成立所以，即，解得x1.7解析：设g(x)f(x)(2x2)2xx23lnx，则g(x)12x.当0x0；当x1时，g(x)0时，g(x)0，即f(x)2x2.提升能力1D解析：因为M(t)M0(2)t，所以M(t)M0(2)tln2M02ln2，所以M(30)M0ln210ln2所以M060
6、0，即M(t)6002，所以M(60)60022150(太贝克)2(1)(1,1)(2)2012解析：(1)f (x)3x26x3，f (x)6x6，令f (x)0x1，且f(1)1，故对称中心为(1,1)(2)g(x)x2x3，g(x)2x1，令g(x)0x，此时g()1，故函数yg(x)关于点(，1)对称，所以g(x)g(1x)2，所以g()g()g()g()g()g()g()g()g()g()210062012.3解析：建立坐标系，设抛物线方程为x22p(y)，以B点坐标(1,0)代入抛物线方程得p，所以抛物线的方程为x2(y)(1)把F点的坐标(a，)代入抛物线的方程得a，所以水面宽EF m.(2)设抛物线上的一点M(t，t2)(t0)，因改造水渠不能填土只能挖土，还要求挖的土最少，所以只能沿过M点与抛物线相切的切线挖土，由yx2.得y3x，所以过点M的切线的斜率为3t，所以切线的方程为y3t(xt)(t2)，当y0时，x1(t)；当y时，x2.所以截面的面积S(2t).当且仅当2t，且t0，即t时，截面的面积最小，此时下底的边长为 m.5