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1、3.2 三角变换与解三角形【课时作业】A级1(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A4 BC. D2解析：cos ，cos C2cos2 1221.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，AB4.故选A.答案：A2(2018山东菏泽2月联考)已知，sin，则tan(2)()A. BC D解析：，sin，cos ，sin ，由同角三角函数的商数关系知tan 2.tan(2)tan 2，故选A.答案：A3已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A，b2acos B，c1，则ABC的面积等于()A. BC. D解
2、析：由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin ，又B(0，)，所以B，又AB，则ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.答案：B4若，且3cos 24sin，则sin 2的值为()A. BC D解析：3(cos2sin2)2(cos sin )，因为，所以cos sin 0，所以3(cos sin )2，即cos sin ，两边平方可得1sin 2sin 2.答案：C5(2018南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200千米处，若c
3、os cos ，则v()A60 B80C100 D125解析：如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在ABC中，ABsin ACsin ，即sin sin ，又cos cos .sin2cos2sin2cos21sin2cos2，sin cos ，sin ，cos ，sin ，cos ，cos()cos cos sin sin 0，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得v100，故选C.答案：C6化简：_.解析：4sin .答案：4sin 7在ABC中，a4，b5，c6，则_.解析：1.答案：18(2018开封市高三定位考试)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，
4、c，btan Bbtan A2ctan B，且a5，ABC的面积为2，则bc的值为_解析：由正弦定理及btan Bbtan A2ctan B，得sin Bsin B2sin C，即cos Asin Bsin Acos B2sin Ccos A，亦即sin(AB)2sin Ccos A，故sin C2sin Ccos A因为sin C0，所以cos A，所以A.由面积公式，知SABCbcsin A2，所以bc8.由余弦定理，知a2b2c22bccos A(bc)23bc，代入可得bc7.答案：79(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin
5、()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解析：(1)由角的终边过点P，得sin .所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos ，由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .10(2018北京卷)在ABC中，a7，b8，cos B.(1)求A；(2)求AC边上的高解析：(1)在ABC中，因为cos B，所以sin B.由正弦定理得sin A.由题设知B，所以0A.所以A.(2)在ABC中，因为sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，所以AC边上的高为asin C7.B级1(2018河
6、南濮阳一模)已知ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是()A. BC(1，) D解析：由sin A，sin B，sin C成等比数列，知a，b，c，成等比数列，即b2ac，cos B2，当且仅当ac时等号成立，可知B，设y，设sin Bcos Bt，则2sin Bcos Bt21.由于tsin Bcos Bsin，B，所以t(1，故yt，t(1，因为yt在t(1，上是增函数，所以y.故选B.答案：B2(2018石家庄质量检测(一)如图，平面四边形ABCD的对角线的交点位于四边形的内部，AB1，BC，ACCD，ACCD，当ABC变化时，对角线BD的最大值为_解析：
7、设ABC，(0，)，则由余弦定理得AC232cos ，由正弦定理得，得sin ACB.在DCB中，由余弦定理可得，BD2CD222CDcosAC222ACsinACB32cos 22AC52(sin cos )54sin，当时，max1，BD9，BDmax3.答案：33已知向量a，b(sin x，sin x)，f(x)ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f1，a2，求ABC面积的最大值解析：(1)易得a(sin x，cos x)，则f(x)absin2xsin xcos xcos 2xsin 2xsin，所以f(
8、x)的最小正周期T，当2x2k，kZ时，即xk(kZ)时，f(x)取最大值是.(2)因为fsin1，所以sinA.因为a2b2c22bccos A，所以12b2c2bc，所以b2c2bc122bc，所以bc12(当且仅当bc时等号成立)，所以Sbcsin Abc3.所以当ABC为等边三角形时面积取最大值是3.4如图，在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声检测点，B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后A、B同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B、C到P的距离，并求出x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离解析：(1)依题意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cos PAB，同理，在PAC中，AC50，cos PAC.cos PABcos PAC，解得x31.(2)作PDAC于点D，在ADP中，由cos PAD，得sinPAD，PDPAsinPAD314.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米7