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1、专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.在ABC中,若sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是()A.B.C.D.2.已知=-,则sin +cos 等于()A.-B.C.D.-3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A.B.C.D.4.在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,则sinBAC等于()A.B.C.D.5.(2017湖北七市一调)已知ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120,a=2b,则tan A=.6.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A
2、=,cos C=,a=1,则b=.7.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acos A,则sin Asin Bsin C=.8.在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.(2017北京,理15)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.10.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin xcos x-cos2.(
3、1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0,-0,cos,cos,则cos等于()A.B.-C.D.-13.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csin A=acos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A.B.C.D.14.(2017湖北荆州一模)在ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则ABC的面积为.15.(2017河北石家庄二检)已知sinsin,则sin 4的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2si
4、n Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.17.在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C,且.(1)判断ABC的形状;(2)若|=2,求的取值范围.参考答案专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.C解析由正弦定理,得a2b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,则cosA0A,0A2.D解析=-=2coscos+sin=-,sin+cos=-,故选D.3.D解析由(a2+c2-b2)tanB=ac,得,即cosB=,则sinB=0BBC,abc.设a=b+1,c=b-1(b1,且bN*),由3b=20acosA得3b=20
5、(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),a=6,c=4,sinAsinBsinC=654.8.解(1)由余弦定理及题设得cosB=又因为0B,所以B=(2)由(1)知A+C=cosA+cosC=cosA+cos=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=cos因为0A0,所以A,于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2因为0A,所以0sinA,因此-2由此可知sinA+sinC的取值范围是11.解(1)由题意知f(x)=sin2x-由-+2k2x+2k,kZ,可得-+kx+k,kZ;由+2k2x
6、+2k,kZ,可得+kx+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ);单调递减区间是(kZ).(2)由f=sinA-=0,得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得1+bc=b2+c22bc,即bc2+,且当b=c时等号成立.因此bcsinA所以ABC面积的最大值为思维提升训练12.C解析cos,0,sin又cos,-0,sin,cos=cos=coscos+sinsin=13.A解析由正弦定理,得sinCsinA=sinAcosC.因为0A0,从而sinC=cosC.又cosC0,所以tanC=1,则C=,所以B=-A.于是sinA-co
7、ssinA-cos(-A)=sinA+cosA=2sin因为0A,所以A+,从而当A+,即A=时,2sin取最大值2.故选A.14.20或24解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.在CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-28tcos60,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,ABC的面积S=108sin60=20;当t=5时,CA=12,ABC的面积S=128sin60=24故ABC的面积为20或2415.-解析因为sin=cos=cos,所以sinsin=sincossin=cos2=,所以cos2=因为,所以20,tanBtanC0,所以tanA+2tanBtanC2,当且仅当tanA=2tanBtanC时,等号成立,即tanAtanBtanC2,解得tanAtanBtanC8,即最小值为8.17.解(1)由及正弦定理,得sinB=sin2C,B=2C或B+2C=.若B=2C,C,B(舍去).若B+2C=,又A+B+C=,A=C,ABC为等腰三角形.(2)|=2,a2+c2+2accosB=4.又由(1)知a=c,cosB=而cosB=-cos2C,cosB1,1a2=accosB=a2cosB,且cosB=,a2cosB=2-a2- 10 -