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1、第3讲三角恒等变换与解三角形1.三角恒等变换(2021新高考卷,T6)若tan =-2,则sin(1+sin2)sin+cos=(C)A.-65B.-25C.25D.65解析:由题意可得sin(1+sin2)sin+cos=sin(sin2+cos2+2sincos)sin+cos=sin(sin+cos)2sin+cos=sin (sin +cos )=sin2+sincossin2+cos2=tan2+tantan2+1=4-24+1=25.故选C.2.解三角形(2021全国甲卷,T8)在ABC中,已知B=120,AC=19,AB=2,则BC=(D)A.1B.2C.5D.3解析:法一由余弦
2、定理AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,得BC2+2BC-15=0,解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D.法二由正弦定理ACsinB=ABsinC,得sin C=5719,从而cos C=41919(C是锐角),所以sin A=sin-(B+C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=3241919-125719=35738.又ACsinB=BCsinA,所以BC=3.故选D.3.解三角形实际应用(2021全国甲卷,T8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是
3、三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A,B,C满足ACB=45,ABC=60.由C点测得B点的仰角为15,BB与CC的差为100;由B点测得A点的仰角为45,则A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC约为(31.732)(B)A.346B.373C.446D.473解析:过C作CHBB,过B作BDAA,垂足分别为H,D,故AA-CC=AA-(BB-BH)=AA-BB+100=AD+100,由题易知ADB为等腰直角三角形,所以AD=DB,所以AA-CC=DB+100=AB+100.因为BCH=15,所以CH=CB=100tan15.在ABC中,由正弦
4、定理得ABsin45=CBsin75=100tan15cos15=100sin15,而sin 15=sin(45-30)=sin 45cos 30-cos 45sin 30=6-24,所以AB=1004226-2=100(3+1)273,所以AA-CC=AB+100373.故选B.4.解三角形中的最值问题(2022全国甲卷,T16)已知ABC中,点D在边BC上,ADB=120,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD=.解析:设BD=k(k0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=22+k2-22k(-1
5、2)=k2+2k+4.在ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=22+(2k)2-222k12=4k2-4k+4,则AC2AB2=4k2-4k+4k2+2k+4=4(k2+2k+4)-12k-12k2+2k+4=4-12(k+1)k2+2k+4=4-12(k+1)(k+1)2+3=4-12k+1+3k+1,因为k+1+3k+123(当且仅当k+1=3k+1,即k=3-1时,等号成立),所以AC2AB24-1223=4-23=(3-1)2,所以当ACAB取得最小值3-1时,BD=k=3-1.答案:3-15.面积公式与解三角形(2022新高考卷,T18)记ABC的内角
6、A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为S1,S2,S3.已知S1-S2+S3=32,sin B=13.(1)求ABC的面积;(2)若sin Asin C=23,求b.解:(1)由S1-S2+S3=32,得34(a2-b2+c2)=32,即a2-b2+c2=2,又a2-b2+c2=2accos B,所以accos B=1.由sin B=13,得cos B=223或cos B=-223(舍去),所以ac=322=324,则ABC的面积为S=12acsin B=1232413=28.(2)由sin Asin C=23,ac=324及正弦定理知b2sin2B
7、=acsinAsinC=32423=94,即b2=9419=14,得b=12.三角恒等变换与解三角形是高考的必考内容,命题数量上“一大两小”,考查角度常有:(1)三角恒等变换主要考查化简、求值,以选择题、填空题为主,也与解三角形相结合.(2)解三角形主要考查解三角形、求面积等,三角恒等变换常作为工具,三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.以解答题为主,中等难度.热点一三角恒等变换三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换:常用到“1”的代换,如1=sin2+cos2=tan 45等.(2)项的拆分与角的配凑:如sin2+2cos2=(sin2+cos2)+cos2,=(-)+等.(3)降次
8、与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.典例1(1)(2022新高考卷)若sin(+)+cos(+)=22cos(+4)sin ,则()A.tan(-)=1B.tan(+)=1C.tan(-)=-1D.tan(+)=-1(2)(2022河北唐山二模)已知02,函数f(x)=5sin(x-6),若f()=f()=1,则cos(-)=()A.2325B.-2325C.35D.-35解析:(1)由题意得sin cos +sin cos +cos cos -sin sin =2222(cos -sin )sin ,整理得sin cos -sin cos +cos cos +s
9、in sin =0,即sin (-)+cos(-)=0,所以tan(-)=-1.故选C.(2)令f(x)=5sin(x-6)=0,0x2,则x=6或x=76,令f(x)=5sin(x-6)=5,0x2,则x=23.又02,f()=f()=1,所以623,2376,sin(-6)=15,sin(-6)=15.因为0-62,2-6,所以cos(-6)=265,cos(-6)=-265,所以cos(-)=cos(-6)-(-6)=cos(-6)cos(-6)+sin(-6)sin(-6)=-265265+1515=-2325.故选B.(1)三角恒等变换的基本思路:找差异,化同角(名),化简求值.(2
10、)解决条件求值问题的三个关注点:分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角.正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某个三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小.热点训练1 (1)(2022福建漳州一模)已知sin(2-23)1-2cos2(2-6)=45,则sin(-3)=()A.25B.-35C.-25D.45(2)(2022湖南临澧县第一中学二模)已知sin(+3)+sin =33,则sin(2-6)的值是()A.79B.-79C.29D.-29解析:(1)由sin(2-23)1-2cos2
11、(2-6)=45,得2sin(-3)cos(-3)-cos(-3)=45,所以sin(-3)=-25.故选C.(2)由sin(+3)+sin =33,得12sin +32cos +sin =33,即32sin +12cos =13,得sin(+6)=13,则sin(2-6)=sin(2+3-2)=-cos(2+3)=-1-2sin2(+6)=-(1-29)=-79.故选B.热点二正弦定理与余弦定理1.正弦定理:在ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R(R为ABC外接圆的半径).变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,sin A=a2R,sin B=b2R,
12、sin C=c2R,abc=sin Asin Bsin C等.2.余弦定理:在ABC中,a2=b2+c2-2bccos A.变形:b2+c2-a2=2bccos A,cos A=b2+c2-a22bc.3.三角形的面积公式:S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.典例2(1)(2021全国乙卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3,B=60,a2+c2=3ac,则b=.(2)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0,则A=.解析:(1)因为ABC的内角A,B,C的对边分别为
13、a,b,c,面积为3,B=60,a2+c2=3ac,所以12acsin B=312ac32=3ac=4a2+c2=12,又cos B=a2+c2-b22ac12=12-b28b=22(负值舍去).(2)由3sin Acos C+(3sin C+b)cos A=0,得3sin Acos C+3sin Ccos A=-bcos A,所以3sin(A+C)=-bcos A,即3sin B=-bcos A,又asinA=bsinB,所以3cosA=-bsinB=-asinA,又a=1,所以sinAcosA=-13,即tan A=-33,因为0A,所以A=56.答案:(1)22(2)56(1)利用正弦定
14、理、余弦定理解三角形时,涉及边与角的余弦的积时,常用正弦定理将边化为角,涉及边的平方时,一般用余弦定理.(2)涉及边a,b,c的齐次式时,常用正弦定理转化为角的正弦值,再利用三角恒等变换进行变形.(3)涉及正弦定理、余弦定理与三角形面积综合问题,求三角形面积时常用S=12absin C形式的面积公式.热点训练2 (1)(2022山东临沂二模)我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”,即在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则ABC的面积S=12(ab)2-(a2+b2-c22) 2.根据此公式,若acos B+(b-2c)cos A=0,且b2+c2-a2=2,则AB
15、C的面积为()A.24B.34C.22D.32(2) (2022湖北模拟预测)设a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,若B=CA,且a(b2+c2-a2)=b2c,则A=()A.6B.5C.4D.3解析:(1)由正弦定理边角互化可将acos B+(b-2c)cos A=0化简为sin Acos B+(sin B-2sin C)cos A=0,sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A,即sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A,因为sin C0,所以cos A=22.由cos A=b2+c2-a22bc=2222bc=22,解得bc=1,根据面积公式可
16、知S=12(bc)2-(b2+c2-a22)2=121-12=24.故选A.(2)因为a(b2+c2-a2)=b2c,所以2ab2+c2-a22bc=b,即b=2acos A,所以sin B=2sin Acos A=sin 2A,所以B=2A或B+2A=.若B+2A=,则C=A,不符合题意,故B=2A,又B=C,所以A+B+C=5A=,即A=5.故选B.热点三解三角形的综合问题在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系,题中若出现一次式,一般采用正弦定理,出现二次式一般采用余弦定理.应用正弦定理、余弦定理时,注意公式变式的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围.典例
17、3(2022湖南岳阳三模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若已知asinA+C2=bsin A.(1)求角B的大小;(2)若b=23,求ABC的面积的最大值.解:(1)由asinA+C2=bsin A及正弦定理,得sin Asin-B2=sin Bsin AcosB2=sin B(sin A0)cosB2=2sinB2cosB2sinB2=12(cos B20)B2=6B=3.(2) 法一由余弦定理得cos B=12=a2+c2-122ac12=a2+c2-122ac2ac-122acac12(当且仅当a=c=23时,取等号)S=12acsin B121232=33,所以ABC的
18、面积的最大值为33.法二由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=2332=4,所以a=4sin A,c=4sin C.又A+C=23,所以C=23-A,所以S=12acsin B=43sin Asin C=43sin Asin(23-A)=3sin 2A-3cos 2A+3=23sin(2A-6)+3.因为0A23,所以-62A-676,所以-12sin(2A-6)1,所以023sin(2A-6)+333,所以当2A-6=2,即A=3时,ABC的面积有最大值33.变式探究若本例(2)的条件不变,试求ABC周长的取值范围.解:法一由(1)得B=3,则sin B=32,又b=23,由正弦定
19、理得asinA=csinC=bsinB=2332=4,所以a+c=4sin A+4sin C=4sin A+4sin(23-A)=6sin A+23cos A=43sin(A+6).因为B=3,所以0A23,则6A+656,所以12sin(A+6)1,所以23b,所以a+b+c2b=43,所以ABC周长的取值范围是(43,63.求解三角形中的最值、范围问题常用以下方法:(1)正弦定理+三角函数:利用正弦定理,结合三角恒等变换将问题转化为只含有三角形某一个角的三角函数问题,然后结合角的范围求解,此法为通法,适用于所有情况.(2)余弦定理+基本不等式:由余弦定理找出三角形的边的关系,利用基本不等式
20、求解.此方法有一定的局限性,求最值问题可采用此法.热点训练3 (2022新高考卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B.(1)若C=23,求B;(2)求a2+b2c2的最小值.解:(1)因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B,所以cosA1+sinA=2sinBcosB1+2cos2B-1,所以cosA1+sinA=sinBcosB,所以cos Acos B=sin B+sin Asin B,所以cos(A+B)=sin B,所以sin B=-cos C=-cos 23=12.因为B(0,3),所以B=6.(2)由(1)
21、得cos(A+B)=sin B,所以sin2-(A+B)=sin B,且0A+B2,所以0B2,02-(A+B)B,则sin 2Asin 2BC.a=bcos C+ccos BD.若(AB|AB|+AC|AC|)BC=0,且AB|AB|AC|AC|=12,则ABC为等边三角形 解析:由asinA=bsinB=csinC,根据等比的性质有bsinB=a+b+csinA+sinB+sinC,A正确;当A=3,B=6时,有sin 2A=sin 2B,B错误;sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),而B+C=-A,即sin Bcos C+sin Ccos B=sin A,由正弦定
22、理易得a=bcos C+ccos B,C正确;如图,AE=AB|AB|,AF=AC|AC|,两者都是单位向量,则AB|AB|+AC|AC|=AE+AF=AG,即AGBC=0,AEAF=12,则AGBC且AG平分BAC,AE,AF的夹角为3, 易知ABC为等边三角形,D正确.故选ACD.8.(2022河北石家庄二中模拟预测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列条件能判断ABC是钝角三角形的有(AC)A.a=2,b=3,c=4B.ABBC=-2aC.sinA-sinBsinC+sinB=ca+bD.b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos C解析:因为a=2,b=
23、3,c=4,所以角C最大,由cos C=22+32-42223=-1402C,所以ABC是钝角三角形,A正确;由ABBC=-2a-cacos B=-2accos B=2B(0,2),不能判断ABC是钝角三角形,B不正确;根据正弦定理,由sinA-sinBsinC+sinB=ca+ba-bc+b=ca+ba2=b2+c2+bc,由余弦定理可知cos A=b2+c2-a22bc=-bc2bc=-12A=23,所以ABC是钝角三角形,C正确;根据正弦定理,由b2sin2C+c2sin2B=2bccos Bcos Csin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C
24、sin Bsin C=cos Bcos Ccos(B+C)=0cos(-A)=0cos A=0A=2,所以ABC是直角三角形,D不正确.故选AC.三、填空题9.(2022河北石家庄一模)已知角(0,2),tan12=sin-sin12cos+cos12,则=.解析:因为tan12=sin-sin12cos+cos12,所以sin12cos12=sin-sin12cos+cos12,所以sin12(cos +cos12)=cos12(sin -sin12),所以sin12cos +sin12cos12=cos12sin -cos12sin12,所以sin12cos12+cos12sin12=co
25、s12sin -sin12cos ,所以sin6=sin(-12),因为(0,2),所以-12(-12,512),所以6=-12,则=12+6=4.答案:410.(2022浙江嘉兴二模)在锐角三角形ABC中,AB=3,B=3,点D在线段BC上,且DC=2BD,AD=7,则sinADC=,AC=.解析:在ABD中,由正弦定理得ABsinADB=ADsinB,即3sinADB=732,解得sinADB=32114,所以sinADC=sin(-ADB)=sinADB=32114.由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,即7=9+BD2-3BD,解得BD=1或BD=2.当BD=1时,
26、BC=3,此时AB=BC且B=3,即ABC为等边三角形,则AC=3.当BD=2时,BC=6,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即AC2=9+36-23612=27,解得AC=33,此时AC2+AB2=BC2,即ABC为直角三角形,不符合题意,故舍去.答案:32114 3四、解答题11.(2022广东潮州二模)已知在ABC中,A,B,C为三个内角,所对的三边分别为a,b,c,c=2bcos B,C=23.(1)求角B的大小;(2)在下列两个条件中选择一个作为已知,求出BC边上的中线的长度.ABC的面积为334;ABC的周长为4+23.解:(1)由c=2bcos
27、 B,及正弦定理可得sin C=2sin Bcos B,所以sin 2B=sin23=32.因为C=23,所以B(0,3),2B(0,23),所以2B=3,解得B=6.(2)若选择,由(1)可得A=6,即a=b,则SABC=12absin C=12a232=334,解得a=3,则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为b2+(a2) 2-2ba2cos23=3+34+332=212.若选择,由(1)可得A=6,设ABC的外接圆半径为R,则由正弦定理可得a=b=2Rsin6=R,c=2Rsin23=3R,则周长为a+b+c=2R+3R=4+23,解得R=2,则a=2,c=23,由余弦定理可得BC边上
28、的中线的长度为(23)2+12-2231cos6=7.12.(2022广东江门模拟预测)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C.(1)求B的大小;(2)若c=23,求a的取值范围.解:(1) 因为(a+b)(sin A-sin B)=(a-c)sin C,所以由正弦定理可得(a+b)(a-b)=(a-c)c,化简得a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,因为B(0,),所以B=3.(2) 因为B=3,所以A+C=-B=23,由正弦定理,得asinA=csinC,所以a=csinCsin A=23sin(23-C)sinC=23(32cosC+12sinC)sinC=3+3tanC,因为ABC为锐角三角形,所以0C2,023-C2,得6C33,所以03tanC33,所以33+3tanC43,所以3a43,即a的取值范围为(3,43).