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1、高数无穷级数高数无穷级数本讲稿第一页，共二十二页一、近似计算一、近似计算两类问题两类问题:1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健:通过估计余项通过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.本讲稿第二页，共二十二页常用方法常用方法:1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成为等使之成为等比级数或其它易求和的级数比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.例例1 1解解本讲稿第三页，共二十二页余和余和:本
2、讲稿第四页，共二十二页例例2 2解解其误差不超过其误差不超过 .本讲稿第五页，共二十二页二、计算定积分二、计算定积分解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数本讲稿第六页，共二十二页第四项第四项取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得例例3 3解解收敛的交错级数收敛的交错级数本讲稿第七页，共二十二页三、求数项级数的和三、求数项级数的和1.1.利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和:(1)直接法直接法;(2)拆项法拆项法;(3)递推法递推法.例例4 4解解本讲稿第八页，共二十二页本讲稿第九页，共二十二页2.2.阿贝尔法阿贝尔法(构
3、造幂级数法构造幂级数法):):(逐项积分、逐项求导逐项积分、逐项求导)例例4 4解解本讲稿第十页，共二十二页本讲稿第十一页，共二十二页例例5 5解解本讲稿第十二页，共二十二页四、欧拉公式四、欧拉公式复数项级数复数项级数:本讲稿第十三页，共二十二页复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个基本展开式三个基本展开式本讲稿第十四页，共二十二页本讲稿第十五页，共二十二页 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系系.欧拉公式欧拉公式本讲稿第十六页，共二十二页五、小结五、小结近似计算，求不可积类函数的定积分，近似计算，求不可积类函数的定积分，微分方程的幂级数的解法微分方程的幂级数的解法(第十二节介绍第十二节介绍)求数项级数的和，欧拉公式的证明；求数项级数的和，欧拉公式的证明；本讲稿第十七页，共二十二页思考题思考题利用幂级数展开式利用幂级数展开式,求极限求极限本讲稿第十八页，共二十二页思考题解答思考题解答将上两式代入将上两式代入本讲稿第十九页，共二十二页原式原式=本讲稿第二十页，共二十二页练练 习习 题题本讲稿第二十一页，共二十二页练习题答案练习题答案本讲稿第二十二页，共二十二页