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1、第十讲 无穷级数本讲稿第一页，共五十页一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二页，共五十页定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三页，共五十页当级数收敛时,称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发
2、散.显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四页，共五十页例例1.讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第五页，共五十页2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第六页，共五十页例例2.判定下列级数的敛散性（1）（3）（2）本讲稿第七页，共五十页例例3.判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“拆项相消
3、拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第八页，共五十页(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第九页，共五十页二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 本讲稿第十页，共五十页本讲稿第十一页，共五十页说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如例如,(1)性质1表明收敛级数可逐项相加或减.(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十二页，共五十页例例4.利用性质判断下列级数的敛散性:解解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束（1）本讲稿第十三页，共五十页（2）解解:所以级数(2)发散（3）解解:所以级数(3)发散本讲稿第十四页，共五十页（1）（2）思考与练习思考与练习判断下列级数的敛散性:（3）（4）本讲稿第十五页，共五十页若 收敛，判断下列级数的敛散性:本讲稿第十六页，共五十页三、正项级数及其审敛法三、正项级数及其审敛法若定理定理 1.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十七页，共五十页定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若“大”级数则“小”级数(2)若“小”级数则“大”级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正
5、项级数,(常数 k 0),机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第十八页，共五十页例例1.讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)若p 级数收敛.本讲稿第十九页，共五十页证明级数发散.证证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十页，共五十页定理定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=设两正项级数满足(1)当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第
6、二十一页，共五十页的敛散性.例例3.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知例例4.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十二页，共五十页思考与练习思考与练习用比较判别法判定下列级数的敛散性(1)(2)(3)本讲稿第二十三页，共五十页定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.本讲稿第二十四页，共五十页例例5.讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:
7、级数收敛;级数发散;机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十五页，共五十页思考与练习思考与练习用比值判别法判定下列级数的敛散性(1)(2)(3)本讲稿第二十六页，共五十页定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 为正项级则数,且机动 目录 上页 下页 返回 结束 时,级数可能收敛也可能发散.例例6.用根值法判定下列级数的敛散性(1)(2)本讲稿第二十七页，共五十页例例7.证明级数收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十八页，共五十页四四、交错级数及其审敛法、交错级
8、数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第二十九页，共五十页收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十页，共五十页五、绝对收敛与条件收敛五、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定
9、理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.本讲稿第三十一页，共五十页例例8.判定下列级数是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)(2)(3)条件收敛.绝对收敛；发散 本讲稿第三十二页，共五十页例例9.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十三页，共五十页(2)令因此收敛,绝对收敛.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十四页，共五十页内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动
10、目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十五页，共五十页3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十六页，共五十页思考与练习思考与练习设正项级数收敛,能否推出收敛?提示提示:由比较判敛法可知收敛.注意注意:反之不成立.例如,收敛,发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十七页，共五十页六、六、函数项级数的概念函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数.对若常数项级数敛点敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数,称收敛,发散,所有为其收
11、收 为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散域发散域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十八页，共五十页为级数的和函数和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第三十九页，共五十页例如例如,等比级数它的收敛域是有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十页，共五十页七、幂级数七、幂级数本讲稿第四十一页，共五十页本讲稿第四十二页，共五十页本讲稿第四十三页，共五十页本讲稿第四十四页，共五十页本讲稿第四十五页，共五十页本讲稿第四十六页，共五十页本讲稿第四十七页，共五十页八、函数展开成幂级数八、函数展开成幂级数 展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 结束 本讲稿第四十八页，共五十页本讲稿第四十九页，共五十页本讲稿第五十页，共五十页