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1、第八章静电场第1页，共114页，编辑于2022年，星期三电磁学概述电磁学概述一一.电磁学研究的对象电磁学研究的对象研究电磁现象的规律。研究电磁现象的规律。包括：电荷和电流产生电场和磁场的规律；包括：电荷和电流产生电场和磁场的规律；电场和磁场的相互联系；电场和磁场的相互联系；电磁场对电荷和电流的作用；电磁场对电荷和电流的作用；电磁场对事物的作用；电磁场对事物的作用；电磁场引起的各种效应。电磁场引起的各种效应。第2页，共114页，编辑于2022年，星期三二二.电磁学的发展电磁学的发展1.公元前公元前585年，古希腊哲学家泰勒斯发现了摩擦起电；年，古希腊哲学家泰勒斯发现了摩擦起电；electrici
2、ty来源于希腊文来源于希腊文“琥珀琥珀”（16世纪，吉尔伯特）世纪，吉尔伯特）2.1785年，库仑定律；年，库仑定律；3.1786年，伽伐尼发现电流；年，伽伐尼发现电流；4.1820年，奥斯特发现电流的磁效应；年，奥斯特发现电流的磁效应；5.1831年，法拉第发现电磁感应现象；年，法拉第发现电磁感应现象；6.1865年，麦克斯韦建立了系统的电磁场理论；年，麦克斯韦建立了系统的电磁场理论；7.1905年，爱因斯坦创立相对论。年，爱因斯坦创立相对论。第3页，共114页，编辑于2022年，星期三第八章第八章 静电场静电场 一一 掌握掌握描述静电场的两个物理量描述静电场的两个物理量电场强度和电电场强度
3、和电势的概念，理解电场强度势的概念，理解电场强度 是矢量点函数，而电势是矢量点函数，而电势V 则是则是标量点函数标量点函数.二二 理解理解高斯定理及静电场的环路定理是静电场的两个高斯定理及静电场的环路定理是静电场的两个重要定理，它们表明静电场是重要定理，它们表明静电场是有源有源场和场和保守保守场场.三三 掌握掌握用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯定理用点电荷电场强度和叠加原理以及高斯定理求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度与电势梯求解带电系统电场强度的方法；并能用电场强度与电势梯度的关系求解较简单带电系统的电场强度度的关系求解较简单带电系统的电场强度.四四 掌握掌握用点电荷和叠加原理以及
4、电势的定义式求解带用点电荷和叠加原理以及电势的定义式求解带电系统电势的方法电系统电势的方法.教学基本要求教学基本要求第4页，共114页，编辑于2022年，星期三第八章第八章 真空中的静电场真空中的静电场 8.1 8.1 静电的基本规律静电的基本规律一一.电荷及其基本属性电荷及其基本属性1.电荷电荷人们对电的最早认识源于人们对电的最早认识源于摩擦起电摩擦起电，一些经过摩擦的，一些经过摩擦的物体可以吸引羽毛、头发、纸屑等轻小物体，具有这样物体可以吸引羽毛、头发、纸屑等轻小物体，具有这样性质的物体称为性质的物体称为带电体带电体。带电体上具有电荷。带电体上具有电荷。2.两种电荷两种电荷（1）正负电荷正
5、负电荷的定义：美国科学家的定义：美国科学家富兰克林富兰克林提出提出第5页，共114页，编辑于2022年，星期三用丝绸摩擦后的玻璃棒所带有的电荷称为用丝绸摩擦后的玻璃棒所带有的电荷称为正电荷正电荷；用毛皮摩擦后的橡胶棒所带有的电荷称为用毛皮摩擦后的橡胶棒所带有的电荷称为负电荷负电荷。*当初若作完全相反的规定，对今天的物理世界当初若作完全相反的规定，对今天的物理世界不会有任何影响。不会有任何影响。（2）电荷间相互作用的定性规律：）电荷间相互作用的定性规律：同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。3.电荷守恒定律电荷守恒定律在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物在
6、一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不变。理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保持不变。物体带有电荷的多少称为物体带有电荷的多少称为电量电量，用，用 q表示。表示。第6页，共114页，编辑于2022年，星期三（1）微观：）微观：放射性衰变：放射性衰变：电子对的产生：电子对的产生：电子对的湮灭：电子对的湮灭：正负电子具正负电子具有互补结构有互补结构设产生一个光子，有：设产生一个光子，有：对光子有：对光子有：故不可能产生一个光子。故不可能产生一个光子。第7页，共114页，编辑于2022年，星期三4.电荷的量子化电荷的量子化(1906-1917
7、，密立根），密立根）电子电子:库仑库仑质子质子:库仑库仑所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍数倍-电荷的量子化电荷的量子化（2）宏观：摩擦起电、静电感应、中和、电极化等遵循）宏观：摩擦起电、静电感应、中和、电极化等遵循电荷守恒。电荷守恒。*夸克具有分数电荷不影响电荷量子化夸克具有分数电荷不影响电荷量子化第8页，共114页，编辑于2022年，星期三二二.库仑定律库仑定律1.点电荷：带有电荷的没有形状和大小的几何点称为点电荷。点电荷：带有电荷的没有形状和大小的几何点称为点电荷。*（1）点电荷是理想模型；）点电荷是理想模型；
8、（2）当带电体的线度（形状、大小）当带电体的线度（形状、大小）第29页，共114页，编辑于2022年，星期三3.计算电偶极子延长线上某点的场强计算电偶极子延长线上某点的场强第30页，共114页，编辑于2022年，星期三得：得：第31页，共114页，编辑于2022年，星期三补补例例 如如图图,设设有有一一均均匀匀带带电电直直线线，长长度度为为L，总总电电荷荷 量量为为，线线外外一一点点P离离开开直直线线的的垂垂直直距距离离为为，P点点和和直直线线两两端的连线与直线之间的夹角分别为端的连线与直线之间的夹角分别为,求求P点的场强。点的场强。解解:因为因为L,所以所以取长度元取长度元-微元法微元法第3
9、2页，共114页，编辑于2022年，星期三第33页，共114页，编辑于2022年，星期三若这带电直线是无限长的若这带电直线是无限长的*由于电场强度是矢量，所以将由于电场强度是矢量，所以将 分解为分解为 然后再积分，是一种常用的方法。然后再积分，是一种常用的方法。若导线为半无限长的若导线为半无限长的第34页，共114页，编辑于2022年，星期三例例8-3一一半半径径为为R R的的圆圆环环，均均匀匀带带有有电电荷荷量量。试试计计算算圆圆环环轴轴线线上上与环心相距为的与环心相距为的P P点处的场强。点处的场强。解：如图解：如图对称性分析很重要！对称性分析很重要！在圆环上任取长度元在圆环上任取长度元第
10、35页，共114页，编辑于2022年，星期三当当R，远远离离环环心心处处的的场场强强与与环环上上电电荷荷全全部部集集中中在在环环心心的的一一个个点电荷点电荷所激发的场强相同所激发的场强相同讨论：讨论：第36页，共114页，编辑于2022年，星期三思考思考一带电圆盘在半径一带电圆盘在半径R1至至R2的范围内均匀带电，求的范围内均匀带电，求圆盘中心一点的场强。圆盘中心一点的场强。答：零。答：零。第37页，共114页，编辑于2022年，星期三补例补例试计算均匀带电圆盘轴线上与盘心试计算均匀带电圆盘轴线上与盘心O相距为的任相距为的任一给定点一给定点P处的场强。设盘的半径为处的场强。设盘的半径为R，电荷
11、面密度为，电荷面密度为解：如图解：如图把圆盘分成许多同心的细圆环，把圆盘分成许多同心的细圆环，22第38页，共114页，编辑于2022年，星期三（1 1）R，无限大均匀带电平面的电场中，各点场强相等无限大均匀带电平面的电场中，各点场强相等（2）R，远离盘的场强与盘上电荷全集中在盘心的点电荷激发的远离盘的场强与盘上电荷全集中在盘心的点电荷激发的场强相同场强相同第39页，共114页，编辑于2022年，星期三例例 两根互相平行的长直导线，相距为两根互相平行的长直导线，相距为 A，其上均匀，其上均匀带电，电荷线密度分别为带电，电荷线密度分别为 ，求导线单位长度，求导线单位长度所受电场力的大小。所受电场
12、力的大小。解：解：设导线设导线 1 在导线在导线 2 处产生的电场强度为处产生的电场强度为 E，则：，则：同理可求得导线同理可求得导线1单位长度的受力亦为：单位长度的受力亦为：第40页，共114页，编辑于2022年，星期三1.带电粒子在匀强电场中的运动带电粒子在匀强电场中的运动非相对论情况非相对论情况三、带电体在电场中受的力及其运动三、带电体在电场中受的力及其运动 第41页，共114页，编辑于2022年，星期三应用之一：电子枪应用之一：电子枪第42页，共114页，编辑于2022年，星期三应用之二：电子束在横向电场中的偏转应用之二：电子束在横向电场中的偏转第43页，共114页，编辑于2022年，
13、星期三二二.电偶极子在均匀电场中受到力矩作用电偶极子在均匀电场中受到力矩作用O在力偶矩作用下，电偶极子将转向与场强的方向一致在力偶矩作用下，电偶极子将转向与场强的方向一致请记住！请记住！第44页，共114页，编辑于2022年，星期三若电场是不均匀的，电偶极子除转动外，还将受到一合力作用若电场是不均匀的，电偶极子除转动外，还将受到一合力作用第45页，共114页，编辑于2022年，星期三8.3 8.3 高斯定理高斯定理1.定义：形象地描述空间静电场分布的一系列曲线，定义：形象地描述空间静电场分布的一系列曲线，（1）曲线上各点的切线方向代表了该处电场强度的方）曲线上各点的切线方向代表了该处电场强度的
14、方向，向，（2）电力线的密度反映了空间电场强弱的分布。）电力线的密度反映了空间电场强弱的分布。(1)任何一条电力线都起源于正电荷，终止于负电荷；任何一条电力线都起源于正电荷，终止于负电荷；（为有源场）；（为有源场）；2.电力线的性质电力线的性质:(2)任何两条电力线不会相交；任何两条电力线不会相交；一一.电力线电力线(线线)第46页，共114页，编辑于2022年，星期三点电荷的电场线点电荷的电场线正正 点点 电电 荷荷+负负 点点 电电 荷荷第47页，共114页，编辑于2022年，星期三一对等量异号点电荷的电场线一对等量异号点电荷的电场线+第48页，共114页，编辑于2022年，星期三一对等量
15、正点电荷的电场线一对等量正点电荷的电场线+第49页，共114页，编辑于2022年，星期三一对不等量异号点电荷的电场线一对不等量异号点电荷的电场线第50页，共114页，编辑于2022年，星期三带电平行板电容器的电场线带电平行板电容器的电场线+第51页，共114页，编辑于2022年，星期三3.讨论：讨论：(1)电力线不是电场中带电粒子的运动轨迹；电力线不是电场中带电粒子的运动轨迹；（2）电力线为假想的线，并不真实存在；）电力线为假想的线，并不真实存在；（4）电力线密的）电力线密的 地方场强大，电力线疏的地方地方场强大，电力线疏的地方场强小。场强小。(3)电力线总是指向电力线总是指向电势降低电势降低
16、的方向；的方向；例：正电荷斜入射到均匀的电场中，其轨迹为抛物线。例：正电荷斜入射到均匀的电场中，其轨迹为抛物线。第52页，共114页，编辑于2022年，星期三二二.电通量电通量1.通量是描述通量是描述矢量矢量场的一个重要概念场的一个重要概念如流速场如流速场,表示流量表示流量第53页，共114页，编辑于2022年，星期三2 2 电场强度通量电场强度通量 通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面的电场强度通量场强度通量.均匀电场均匀电场，垂直平面垂直平面 均匀电场均匀电场，与平面夹角与平面夹角第54页，共114页，编辑于2022年，星期三对于非均匀电
17、场对于非均匀电场引入面元矢量引入面元矢量其大小为其大小为dS，方向沿，方向沿面元的法线方向面元的法线方向元通量：元通量：电通量：（穿过曲面的电力线数目）电通量：（穿过曲面的电力线数目）第55页，共114页，编辑于2022年，星期三（2 2）对闭合曲面，通常规定对闭合曲面，通常规定外法线外法线（由内指向外）方向（由内指向外）方向为正。当电力线从闭合曲面穿出时，电通量为正；穿入时，为正。当电力线从闭合曲面穿出时，电通量为正；穿入时，电通量为负。电通量为负。闭合曲面的电通量为：闭合曲面的电通量为：3.讨论：电通量可正、可负，取决于面法线方向的选取：讨论：电通量可正、可负，取决于面法线方向的选取：（1
18、 1）对非闭合曲面，面法线的正方向可选曲面的任一侧；对非闭合曲面，面法线的正方向可选曲面的任一侧；第56页，共114页，编辑于2022年，星期三三三.高斯定理高斯定理1.1.表述：表述：在真空的任意静电场中，通过任一闭合曲面的在真空的任意静电场中，通过任一闭合曲面的电通量，等于电通量，等于该闭合曲面内所包围电荷该闭合曲面内所包围电荷的代数和除以的代数和除以0。闭合曲面一般又称为高斯面闭合曲面一般又称为高斯面请理解请记住！请理解请记住！请思考请思考：1 1）高斯面上的）高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关？2 2）哪些电荷对闭合曲面）哪些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献？第57页，共114
19、页，编辑于2022年，星期三2.2.证明：证明：（1）点电荷的电场：）点电荷的电场：(具有具有空间球对称性空间球对称性）（）以为中心，为半径作一球面（）以为中心，为半径作一球面S场强与面元法向方向处处一致，场强与面元法向方向处处一致，S面上场强的大小处处相等面上场强的大小处处相等S S第58页，共114页，编辑于2022年，星期三S S（）作任一形状的闭合曲面（）作任一形状的闭合曲面S包围包围穿过穿过S的电力线数目与穿过的电力线数目与穿过S面的一样面的一样（）若点电荷在闭合曲面（）若点电荷在闭合曲面S之外之外=0电力线从曲面穿出为正，穿入为负。电力线从曲面穿出为正，穿入为负。第59页，共114
20、页，编辑于2022年，星期三（2）任意带电体系的静电场）任意带电体系的静电场在电场中任取一闭合曲面在电场中任取一闭合曲面S，通过，通过S面的电通量为：面的电通量为：表明：许多点电荷存在时的电通量等于表明：许多点电荷存在时的电通量等于每一点电荷每一点电荷产生产生的场强通过该闭合曲面的场强通过该闭合曲面电通量电通量的的代数和代数和。仅指被包围在仅指被包围在S面内的那部分面内的那部分电荷电荷的的代数和代数和。第60页，共114页，编辑于2022年，星期三1 1）高斯面上的电场强度为）高斯面上的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度.4 4）仅高斯面）仅高斯面内内的电荷对高斯面的电
21、场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献有贡献.2 2）高斯面为封闭曲面）高斯面为封闭曲面.5 5）静电场是）静电场是有源场有源场.3 3）穿出高斯面的电场强度通量为正，穿入为负）穿出高斯面的电场强度通量为正，穿入为负.总总 结结高斯定理高斯定理第61页，共114页，编辑于2022年，星期三四四.高斯定理的应用高斯定理的应用 当电荷分布及相应的电场分布具有当电荷分布及相应的电场分布具有高度的空间对称性高度的空间对称性（如（如球球对称性、轴对称性、平面对称性对称性、轴对称性、平面对称性）时，利用高斯定理可以方便）时，利用高斯定理可以方便地求出电场的空间分布。否则，高斯定理虽成立，但不能用于地
22、求出电场的空间分布。否则，高斯定理虽成立，但不能用于解题。解题。用高斯定理解题要求：用高斯定理解题要求：（1）在高斯面上）在高斯面上 处处相等或为零；处处相等或为零；第62页，共114页，编辑于2022年，星期三 其步骤为：其步骤为：对称性分析对称性分析；根据对称性选择合适的高斯面根据对称性选择合适的高斯面；应用高斯定理计算应用高斯定理计算.（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性对称性）第63页，共114页，编辑于2022年，星期三思考思考点电荷点电荷 Q Q被曲面被曲面 S S所包围，从无穷远处引入所包围，从无穷远处引入另一点电荷另一点电荷 q q
23、至曲面外一点，如图所示，则引入前后至曲面外一点，如图所示，则引入前后（A)A)曲面曲面S S的电通量不变，曲面上各点场强不变。的电通量不变，曲面上各点场强不变。（B)B)曲面曲面S S的电通量变化，曲面上各点场强不变。的电通量变化，曲面上各点场强不变。（C)C)曲面曲面S S的电通量变化，曲面上各点场强变化。的电通量变化，曲面上各点场强变化。（D)D)曲面曲面S S的电通量不变，曲面上各点场强变化。的电通量不变，曲面上各点场强变化。解：曲面解：曲面S的电通量仅和曲面的电通量仅和曲面内的电荷有关，曲面上的场强内的电荷有关，曲面上的场强由全空间的电荷引起由全空间的电荷引起（D)对。对。第64页，共
24、114页，编辑于2022年，星期三思考思考关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：确的是：（A)A)如果高斯面上如果高斯面上 处处为零，则该面内必无电荷。处处为零，则该面内必无电荷。（B)B)如果高斯面内无电荷，则高斯面上如果高斯面内无电荷，则高斯面上 处处为零。处处为零。（C)C)如果高斯面上如果高斯面上 处处不为零，则高斯面内必有电荷。处处不为零，则高斯面内必有电荷。（D)D)如果高斯面内有静电荷，则通过高斯面的电通量必如果高斯面内有静电荷，则通过高斯面的电通量必不为零。不为零。（E)E)高斯定理仅适用于具有高度对称的电场。高斯定理仅适用于具
25、有高度对称的电场。解：（解：（A)错。反例：错。反例：第65页，共114页，编辑于2022年，星期三（B)错。反例：错。反例：（C)错，反例：同（错，反例：同（B).(D)对。对。（E)错。高斯定理适用于任何电场。错。高斯定理适用于任何电场。第66页，共114页，编辑于2022年，星期三例例半径为半径为 R R 的半球面置于的半球面置于场强为场强为 的均匀电场中，其对称的均匀电场中，其对称轴方向和场强方向一致，求通过该半轴方向和场强方向一致，求通过该半球面的电通量。球面的电通量。解：取如图所示的封闭高斯面：解：取如图所示的封闭高斯面：的方向沿外法线方向的方向沿外法线方向第67页，共114页，编
26、辑于2022年，星期三思考思考一电量为一电量为 Q Q 的点电荷的点电荷 位于位于边长为边长为 a a 的正方形平面的中垂线上，的正方形平面的中垂线上，Q Q与平面中心与平面中心 O O 点相距点相距 a/2 a/2，求通过正方，求通过正方形平面的电通量。形平面的电通量。解：以正方形为一面作一立方体状平面，将解：以正方形为一面作一立方体状平面，将 Q 包围，包围，使使Q位于立方体的中点，则通过该闭合面的电通量为：位于立方体的中点，则通过该闭合面的电通量为：由对称性知，通过一个面的电通量为：由对称性知，通过一个面的电通量为：第68页，共114页，编辑于2022年，星期三思考题思考题一点电荷一点电
27、荷 q q 位于边长为位于边长为 L L的正方体的的正方体的A A 角上，角上，问通过侧面问通过侧面 abcd abcd 的电通量是多少？的电通量是多少？解：以解：以 A 为中心，作边长为为中心，作边长为 2L 的正方体，的正方体，由对称性知：由对称性知：第69页，共114页，编辑于2022年，星期三例例求电荷分布呈球对称性时所激发的电场求电荷分布呈球对称性时所激发的电场1.对称性分析对称性分析：电荷分布的球对称性决定了空间电场的分：电荷分布的球对称性决定了空间电场的分布布也也呈呈球球对对称称性性，即即空空间间任任一一点点的的场场强强必必定定沿沿球球的的径径向向且且距距球球心心为处的球面上各点
28、的场强大小都相等为处的球面上各点的场强大小都相等。这样的对称单元总能找到。这样的对称单元总能找到。第70页，共114页，编辑于2022年，星期三2.均匀带电球体，半径为均匀带电球体，半径为R，电荷密度为，电荷密度为，求内、外电场，求内、外电场(1)（R）在球外距球心处作一同心球面在球外距球心处作一同心球面S22 2若给定球体带的总电量若给定球体带的总电量（R）（R）（R）与电荷集中于球心的点电荷产生的场强相同。与电荷集中于球心的点电荷产生的场强相同。第73页，共114页，编辑于2022年，星期三思考题思考题有一带电球壳，内、外半径分别、，电荷体有一带电球壳，内、外半径分别、，电荷体密度密度A/
29、，在球心处有一点电荷，在球心处有一点电荷Q（如图），试证明球壳（如图），试证明球壳区域内的场强大小为：区域内的场强大小为：第74页，共114页，编辑于2022年，星期三证明：取高斯面如图，证明：取高斯面如图，第75页，共114页，编辑于2022年，星期三思考题思考题半径为半径为 R的带电球体，电荷体密度为的带电球体，电荷体密度为 K为正的常数，为正的常数，求其周围的场强分布。求其周围的场强分布。解：（解：（1）r R，取高斯面如图，取高斯面如图，第77页，共114页，编辑于2022年，星期三例例试计算无限长均匀带电圆柱面内、外的电场强度。设圆试计算无限长均匀带电圆柱面内、外的电场强度。设圆柱面
30、半径为柱面半径为R，单位长度圆柱面上带有电荷，单位长度圆柱面上带有电荷（电荷线密度）（电荷线密度）。解：解：对称性分析：由于电荷分布是轴对称的，而且圆柱是对称性分析：由于电荷分布是轴对称的，而且圆柱是无限长，可以确定其电场也具有轴对称性，即无限长，可以确定其电场也具有轴对称性，即电场的电场的分布必沿圆柱面的径向，距轴线等远的同一圆柱面上分布必沿圆柱面的径向，距轴线等远的同一圆柱面上各点的场强大小相等各点的场强大小相等。(1)RR时时过场点过场点P作一与带电圆柱面作一与带电圆柱面同轴的闭合圆柱面，高为同轴的闭合圆柱面，高为L，P.L第78页，共114页，编辑于2022年，星期三(2)(2)RRR
31、时时:R R时，时，（同于点电荷的电势）（同于点电荷的电势）整个带电圆环在整个带电圆环在 P 点的电势为点的电势为）0时时，（圆心处的电势）（圆心处的电势）请记住！请记住！第100页，共114页，编辑于2022年，星期三例例88试计算均匀带电球壳（试计算均匀带电球壳（R、Q）内、外的电势。）内、外的电势。解解:利用场强与电势的积分关系式求利用场强与电势的积分关系式求（R）:（同于点电荷的电势）（同于点电荷的电势）请记住这两条结论！请记住这两条结论！第102页，共114页，编辑于2022年，星期三思考题思考题一半径为一半径为R的均匀带电球面，带电量为的均匀带电球面，带电量为 Q,若若规定该球面上
32、电势为零，则球面外距球心规定该球面上电势为零，则球面外距球心 r 处的处的P点的电势点的电势 。解：空间任意两点间的电势差与电势零点的选择无关。解：空间任意两点间的电势差与电势零点的选择无关。第103页，共114页，编辑于2022年，星期三练习题练习题两个均匀带电球面，半径两个均匀带电球面，半径分别为分别为 ，带电总量分别为，带电总量分别为+Q、-Q，电荷分布均匀，求图示区域，电荷分布均匀，求图示区域中的电场强度和电势。中的电场强度和电势。解：（解：（1）求场强）求场强1区：区：2区：区：第104页，共114页，编辑于2022年，星期三3区：区：（2）求电势：）求电势：1区：区：2区：区：第1
33、05页，共114页，编辑于2022年，星期三3区：区：将各区域的场强求出，然后利用电势和场强的积分关将各区域的场强求出，然后利用电势和场强的积分关系，利用分段积分的方法求电势，是一种常用的方法。系，利用分段积分的方法求电势，是一种常用的方法。另法：用电势叠加原理求解。另法：用电势叠加原理求解。第106页，共114页，编辑于2022年，星期三例例试计算长直同轴均匀带电圆柱面的电势分布。试计算长直同轴均匀带电圆柱面的电势分布。设内外半径分别为设内外半径分别为R1、R2，电荷线密度为，电荷线密度为1 1、2 2。解：解：由场强与电势的积分关系：（选取外圆柱面处由场强与电势的积分关系：（选取外圆柱面处
34、 ）（R1），），等势区等势区第107页，共114页，编辑于2022年，星期三（R1 RRR2 2），），（场强指向电势降落的方向）（场强指向电势降落的方向）注意：注意：沿线积分的方向沿线积分的方向*对无限长的带电体，取有限远处为电势零点是对无限长的带电体，取有限远处为电势零点是一种常用的方法一种常用的方法第108页，共114页，编辑于2022年，星期三例例一无限长均匀带电直线，一无限长均匀带电直线，电荷线密度为电荷线密度为 ，求到直线距离为，求到直线距离为 的的 a 点的电势。点的电势。解：由解：由高斯定理高斯定理得：得：取取 为电势零点，为电势零点，得：得：有最简洁的表示式。有最简洁的表示
35、式。第109页，共114页，编辑于2022年，星期三1.等势面等势面 等势面就是静电场中将电势值相等的各点连接起来所等势面就是静电场中将电势值相等的各点连接起来所形成的曲面。形成的曲面。性质：等势面与电力线处处正交。性质：等势面与电力线处处正交。规定规定：任何两个相邻等势面间的电势差都相等，则等势面愈任何两个相邻等势面间的电势差都相等，则等势面愈密处，场强愈大；等势面疏处场强愈小。密处，场强愈大；等势面疏处场强愈小。五五 电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系第110页，共114页，编辑于2022年，星期三2.2.电场强度与电势的微分关系电场强度与电势的微分关系(1).梯度梯度是一个
36、矢量，指标量场中某一物理量的是一个矢量，指标量场中某一物理量的最大空间变化率及其方向。用最大空间变化率及其方向。用gradA或或 表示。表示。直角坐标系中：直角坐标系中：第111页，共114页，编辑于2022年，星期三垂直于等垂直于等 面且指向面且指向 增大的方向。增大的方向。梯度在方向上与梯度在方向上与 在该点处在该点处空间变化率为最大空间变化率为最大的方向的方向相同，在量值上等于相同，在量值上等于 沿该方向上的空间变化率。沿该方向上的空间变化率。(2).电势梯度电势梯度第112页，共114页，编辑于2022年，星期三(3).场强与电势的微分关系场强与电势的微分关系静电场中某点的场强等于该点
37、电位梯度的负值。场强的大小静电场中某点的场强等于该点电位梯度的负值。场强的大小等于该点电势梯度的大小，方向与该点电势梯度的方向相反。等于该点电势梯度的大小，方向与该点电势梯度的方向相反。在直角坐标系中：在直角坐标系中：请记住！请记住！第113页，共114页，编辑于2022年，星期三如：均匀带电圆环轴线上一点的电势为：如：均匀带电圆环轴线上一点的电势为：则该处的场强为则该处的场强为由于电势是标量，所以，有时先求电势然后再利用电由于电势是标量，所以，有时先求电势然后再利用电势与场强的微分关系求场强要比直接求场强方便。势与场强的微分关系求场强要比直接求场强方便。第114页，共114页，编辑于2022年，星期三