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1、 中考数学第三轮：圆的综合 解答题专题复习1、如图，在ABC中，C=90，D是BC边上一点，以DB为直径的O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF（1）求证：1=F（2）若sinB=，EF=2，求CD的长2、如图，已知O的直径为AB，ACAB于点A，BC与O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA（1）求证：ED是O的切线；（2）当OE=10时，求BC的长3、如图，AB是O的直径，点C是O上一点，连接AC，MAC=CAB，作CDAM，垂足为D（1）求证：CD是O的切线；（2）若ACD=30，AD=4，求图中阴影部分的面积4、如图，AB是O的直径，点C、D在O上，A=2BCD，点E
2、在AB的延长线上，AED=ABC（1）求证：DE与O相切；（2）若BF=2，DF=，求O的半径5、如图，过正方形ABCD顶点B，C的O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF（1）求证：PF平分BFD（2）若tanFBC=，DF=，求EF的长6、如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DFAC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G（1）求证：DF是O的切线；（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积7、如图，在ABC中，以AB为直径的O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作O的切线交边AC于点F（1）求证：
3、DFAC；（2）若O的半径为5，CDF=30，求的长（结果保留）8、如图，AB为O的直径，CD切O于点C，与BA的延长线交于点D，OEAB交O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AFCE于点F，延长AF交BC于点P（1）求证：CA=CP；（2）连接OF，若AC=，D=30，求线段OF的长9、如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FBC=FCB；（2）已知FAFD=12，若AB是ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长10、如图，ABC中，ACB=90，D为AB上一点，以CD为直径的O交BC于点E，连接AE交
4、CD于点P，交O于点F，连接DF，CAE=ADF（1）判断AB与O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长11、如图1，在ABC中，点D在边BC上，ABC：ACB：ADB=1：2：3，O是ABD的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）当BD是O的直径时（如图2），求CAD的度数12、如图，PA为O的切线，A为切点，直线PO交O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变O于点B，延长BO与O交于点D，连接AD、BM（1）等式OD2=OCOP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（2）若AD=6，tanM=，求sinD的值13、如图1，以ABC的边
5、AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，C=75，CD=2，求O的半径和BF的长14、如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长15、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，ABC=60，AB=6，O是射线BD上一点，O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M过M作
6、EFBD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上（1）求证：BO=2OM（2）设EFHE，当矩形EFGH的面积为24时，求O的半径（3）当HE或HG与O相切时，求出所有满足条件的BO的长参考答案2021年中考数学第三轮：圆的综合 解答题专题复习1、如图，在ABC中，C=90，D是BC边上一点，以DB为直径的O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF（1）求证：1=F（2）若sinB=，EF=2，求CD的长解：（1）证明：连接DE，BD是O的直径，DEB=90，E是AB的中点，DA=DB，1=B，B=F
7、，1=F；（2）1=F，AE=EF=2，AB=2AE=4，在RtABC中，AC=ABsinB=4，BC=8，设CD=x，则AD=BD=8x，即，x=3，即CD=32、如图，已知O的直径为AB，ACAB于点A，BC与O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA（1）求证：ED是O的切线；（2）当OE=10时，求BC的长【解答】（1）证明：如图，连接ODACAB，BAC=90，即OAE=90在AOE与DOE中，AOEDOE（SSS），OAE=ODE=90，即ODED又OD是O的半径，ED是O的切线；（2）解：如图，OE=10AB是直径，ADB=90，即ADBC又由（1）知，AOEDOE，AEO=
8、DEO，又AE=DE，OEAD，OEBC，=，BC=2OE=20，即BC的长是203、如图，AB是O的直径，点C是O上一点，连接AC，MAC=CAB，作CDAM，垂足为D（1）求证：CD是O的切线；（2）若ACD=30，AD=4，求图中阴影部分的面积【解答】解：（1）连接OCOA=OCOAC=OCA，MAC=OAC，MAC=OCA，OCAM，CDAM，OCCD，CD是O的切线（2）在RTACD中，ACD=30，AD=4，ADC=90，AC=2AD=8，CD=AD=4，MAC=OAC=60，OA=OC，AOC是等边三角形，S阴=SACD（S扇形OACSAOC）=44（82）=244、如图，AB是
9、O的直径，点C、D在O上，A=2BCD，点E在AB的延长线上，AED=ABC（1）求证：DE与O相切；（2）若BF=2，DF=，求O的半径【解答】（1）证明：连接OD，AB是O的直径，ACB=90，A+ABC=90，BOD=2BCD，A=2BCD，BOD=A，AED=ABC，BOD+AED=90，ODE=90，即ODDE，DE与O相切；（2）解：连接BD，过D作DHBF于H，DE与O相切，BDE=BCD，AED=ABC，AFC=DBF，AFC=DFB，ACF与FDB都是等腰三角形，FH=BH=BF=1，则FH=1，HD=3，在RtODH中，OH2+DH2=OD2，即（OD1）2+32=OD2，
10、OD=5，O的半径是55、如图，过正方形ABCD顶点B，C的O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF（1）求证：PF平分BFD（2）若tanFBC=，DF=，求EF的长【解答】解：（1）连接OP，BF，PF，O与AD相切于点P，OPAD，四边形ABCD的正方形，CDAD，OPCD，PFD=OPF，OP=OF，OPF=OFP，OFP=PFD，PF平分BFD；（2）连接EF，C=90，BF是O的直径，BEF=90，四边形BCFE是矩形，EF=BC，ABOPCD，BO=FO，OP=AD=CD，PD2=DFCD，即（）2=CD，CD=4，EF=BC=46、如图，在ABC中，AB=A
11、C，以AB为直径的O分别交线段BC，AC于点D，E，过点D作DFAC，垂足为F，线段FD，AB的延长线相交于点G（1）求证：DF是O的切线；（2）若CF=1，DF=，求图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接AD、OD，如图所示AB为直径，ADB=90，ADBC，AC=AB，点D为线段BC的中点点O为AB的中点，OD为BAC的中位线，ODAC，DFAC，ODDF，DF是O的切线（2）解：在RtCFD中，CF=1，DF=，tanC=，CD=2，C=60，AC=AB，ABC为等边三角形，AB=4ODAC，DOG=BAC=60，DG=ODtanDOG=2，S阴影=SODGS扇形OBD=DGODOB
12、2=27、如图，在ABC中，以AB为直径的O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作O的切线交边AC于点F（1）求证：DFAC；（2）若O的半径为5，CDF=30，求的长（结果保留）【解答】（1）证明：连接OD，如图所示DF是O的切线，D为切点，ODDF，ODF=90BD=CD，OA=OB，OD是ABC的中位线，ODAC，CFD=ODF=90，DFAC（2）解：CDF=30，由（1）得ODF=90，ODB=180CDFODF=60OB=OD，OBD是等边三角形，BOD=60，的长=8、如图，AB为O的直径，CD切O于点C，与BA的延长线交于点D，OEAB交O于点E，连接CA、CE、
13、CB，过点A作AFCE于点F，延长AF交BC于点P（1）求证：CA=CP；（2）连接OF，若AC=，D=30，求线段OF的长【解答】解：（1）如图1，连接AE，OEAB，AOE=90，AEO=45，OEG+OGE=90，AFCE，AFG=90，FAG+AGF=90，AGF=OGE，OEG=BAP，AEC=ABC，APC=ABC+BAP=AEC+OEG=AEO=45，AB是O直径，ACB=90，BAC=90APC=45=APC，CA=CP；（2）如图2，连接OC，CD是O的切线，DCO=90，D=30，AOC=60，OA=OC，BAC=60在RtABC中，AC=，BC=ACtanBAC=ACta
14、n60=3，由（1）知，CP=AC=，BP=BCCP=3，由（1）知AC=CP，AFCE，AF=PF，OA=OB，OF=BP=（3）9、如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FBC=FCB；（2）已知FAFD=12，若AB是ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长【解答】（1）证明：四边形AFBC内接于圆，FBC+FAC=180，CAD+FAC=180，FBC=CAD，AD是ABC的外角EAC的平分线，EAD=CAD，EAD=FAB，FAB=CAD，又FAB=FCB，FBC=FCB；（2）解：由（1）得：FB
15、C=FCB，又FCB=FAB，FAB=FBC，BFA=BFD，AFBBFD，BF2=FAFD=12，BF=2，FA=2，FD=6，AD=4，AB为圆的直径，BFA=BCA=90，tanFBA=，FBA=30，又FDB=FBA=30，CD=ADcos30=4=210、如图，ABC中，ACB=90，D为AB上一点，以CD为直径的O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交O于点F，连接DF，CAE=ADF（1）判断AB与O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长【解答】解：（1）AB是O切线理由：连接DE、CFCD是直径，DEC=DFC=90，ACB=90，DEC+AC
16、E=180，DEAC，DEA=EAC=DCF，DFC=90，FCD+CDF=90，ADF=EAC=DCF，ADF+CDF=90，ADC=90，CDAD，AB是O切线（2）CPF=CPA，PCF=PAC，PCFPAC，=，PC2=PFPA，设PF=a则PC=2a，4a2=a（a+5），a=，PC=2a=11、如图1，在ABC中，点D在边BC上，ABC：ACB：ADB=1：2：3，O是ABD的外接圆（1）求证：AC是O的切线；（2）当BD是O的直径时（如图2），求CAD的度数【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交O于点E，则AE为O的直径，连接DE，如图所示：ABC：ACB：ADB=1：2：3，
17、ADB=ACB+CAD，ABC=CAD，AE为O的直径，ADE=90，EAD=90AED，AED=ABD，AED=ABC=CAD，EAD=90CAD，即EAD+CAD=90，EAAC，AC是O的切线；（2）解：BD是O的直径，BAD=90，ABC+ADB=90，ABC：ACB：ADB=1：2：3，4ABC=90，ABC=22.5，由（1）知：ABC=CAD，CAD=22.512、如图，PA为O的切线，A为切点，直线PO交O于点M、N，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，变O于点B，延长BO与O交于点D，连接AD、BM（1）等式OD2=OCOP成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由（2）
18、若AD=6，tanM=，求sinD的值【解答】解：（1）等式OD2=OCOP成立；理由如下连接OA，如图1所示：PA为O的切线，A为切点，过点A作PO的垂线AB，垂足为C，OAP=ACO=90，AOC=POA，OACOPA，=，即OA2=OCOPOD=OA，OD2=OCOP；（2）连接BN，如图2所示：则MBN=90tanM=，=，设BN=x，BM=2x，则由勾股定理，得MN=x，BMBN=MNBC，BC=x，又ABMN，AB=2BC=x，RtABD中，BD=MN=x，AD2+AB2=BD2，62+（x）2=（x）2，解得：x=2，BD=2=10，AB=8，sinD=13、如图1，以ABC的边
19、AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC（1）试判断ABC的形状，并说明理由；（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，C=75，CD=2，求O的半径和BF的长【解答】解：（1）ABC是等腰三角形，理由是：如图1，连接OE，DE是O的切线，OEDE，EDAC，ACOE，1=C，OB=OE，1=B，B=C，ABC是等腰三角形；（2）如图2，过点O作OGAC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，ABC是等腰三角形，B=C=75，A=1807575=30，设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，DG=0E=2x，根据AC=AB得：4x=x+2x+2，x=1
20、，0E=OB=2，在直角OEF中，EOF=A=30，cos30=，OF=2=，BF=2，O的半径为214、如图，O是ABC的外接圆，AE平分BAC交O于点E，交BC于点D，过点E做直线lBC（1）判断直线l与O的位置关系，并说明理由；（2）若ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE=EF；（3）在（2）的条件下，若DE=4，DF=3，求AF的长【解答】解：（1）直线l与O相切理由：如图1所示：连接OE、OB、OCAE平分BAC，BAE=CAEBOE=COE又OB=OC，OEBClBC，OEl直线l与O相切（2）BF平分ABC，ABF=CBF又CBE=CAE=BAE，CBE+CBF=BAE+A
21、BF又EFB=BAE+ABF，EBF=EFBBE=EF（3）由（2）得BE=EF=DE+DF=7DBE=BAE，DEB=BEA，BEDAEB，即，解得；AE=AF=AEEF=7=15、如图，在射线BA，BC，AD，CD围成的菱形ABCD中，ABC=60，AB=6，O是射线BD上一点，O与BA，BC都相切，与BO的延长线交于点M过M作EFBD交线段BA（或射线AD）于点E，交线段BC（或射线CD）于点F以EF为边作矩形EFGH，点G，H分别在围成菱形的另外两条射线上（1）求证：BO=2OM（2）设EFHE，当矩形EFGH的面积为24时，求O的半径（3）当HE或HG与O相切时，求出所有满足条件的B
22、O的长【详细解答】（1）如图1所示：设O切AB于点P，连接OP，则OPB=90四边形ABCD为菱形，ABD=ABC=30OB=2OPOP=OM，OP=2OM（2）如图2所示：设GH交BD于点N，连接AC，交BD于点Q四边形ABCD是菱形，ACBDBD=2BQ=2ABcosABQ=AB=18设O的半径为r，则OB=2r，MB=3rEFHE，点E，F，G，H均在菱形的边上如图2所示，当点E在AB上时在RtBEM中，EM=BMtanEBM=r由对称性得：EF=2EM=2r，ND=BM=3rMN=186rS矩形EFGH=EFMN=2r（186r）=24解得：=1，=2当r=1时，EFHE，r=1时，不
23、合题意舍,当r=2时，EFHE，O的半径为2BM=3r=6如图3所示：当点E在AD边上时BM=3r，则MD=183r由对称性可知：NB=MD=6MB=3r=186=12解得：r=4综上所述，O的半径为2或4（3）解设GH交BD于点N，O的半径为r，则BO=2r当点E在边BA上时，显然不存在HE或HG与O相切如图4所示，点E在AD上时HE与O相切，ME=r，DM=r3r+r=18解得：r=93OB=186如图5所示；由图形的对称性得：ON=OM，BN=DMOB=BD=9如图6所示HG与O相切时，MN=2rBN+MN=BM=3rBN=rDM=FM=GN=BN=rD与O重合BO=BD=18如图7所示：HE与O相切，EM=r，DM=r3rr=18r=9+3OB=2r=18+6综上所述，当HE或GH与O相切时，OB的长为186或9或18或18+6