数理统计复习题试题习题.docx

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1、数理统计复习题试题习题 数理统计练习题 1设是总体的样本，已知，未知，则不是统计量的是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 统计量是不依靠于任何未知参数的连续函数. 选C. 2设总体为来自的样本，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解：相互独立且均听从 故 即 则 选C. 3设是总体的样本，和分别为样本的均值和样本标准差，则（ ）. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： ， B错 . A错. 选C. 4设是总体的样本，是样本均值，记 ，则听从自由度为的分布的随机变量是（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 选B. 5设是来自的样本，为其样

2、本方差，则的值为（ ）. （A）； （B）； （C）； （D） 解： 由分布性质： 即 选C. 6设总体的数学期望为是来自的样本，则下列结论中正确的是（ ）. （A）是的无偏估计量； （B）是的极大似然估计量； （C）是的一样（相合）估计量； （D）不是的估计量. 解：是的无偏估计量. 选A. 7设是总体的样本，是样本均值，是样本方差，则（ ）. （A）； （B）与独立； （C）； （D）是的无偏估计量. 解：已知总体不是正态总体 （A）（B）（C）都不对. 选D. 8设是总体的样本，则（ ）可以作为的无偏估计量. （A）； （B）； （C）； （D）. 解： 选A. 9设总体听从区间上匀称分

3、布，为样本， 则的极大似然估计为（ ） （A）； （B） （C） （D） 解： 似然正数 此处似然函数作为函数不连续 不能解似然方程求解极大似然估计 在处取得极大值 选C. 10设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中 正确的是 （A）是的无偏估计量. （B）是的极大似然估计量. （C）是的相合（一样）估计量. （D）不是的估计量. （ ） 解：，所以是的无偏估计，应选（A）. 11设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度为的置信区间为 （A） （B） （C） （D） 解：因为方差已知，所以的置信区间为 应选D. 12设总体 X N ( m , s2 ),其中s2已知，则总体均值

4、的置信区间长度L与置信度1-的关系是 (a) 当1- 缩小时，L缩短. (b) 当1- 缩小时，L增大. (c) 当1- 缩小时，L不变. (d) 以上说法均错. 解：当s2已知时，总体均值的置信区间长度为当1- 缩小时，L将缩短，故应选（a) 13设总体 X N ( m1 , s12 ), Y N ( m2 , s22 ) ,X和Y相互独立，且 m1 , s12 ，m2 , s22 均未知,从X中抽取容量为n1 =9的样本，从Y中抽取容量为n2 =10的样本分别算得样本方差为 S12 =63.86， S22=236.8对于显著性水平=0.10（0< <1）,检验假设 H0 : s

5、12 = s22 ； H1 : s12 s22 则正确的方法和结论是 (a) 用F检验法,查临界值表知F0.90(8 ，9)=0.40, F0.10(8,9)=2.47 结论是接受H0 (b) 用F检验法,查临界值表知F0.95(8,9)=0.31, F0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝H0 (c) 用t检验法,查临界值表知t0.05(17)=2.11结论是拒绝H0 (d) 用2检验法,查临界值表知2 0.10(17)=24.67结论是接受H0 解：这是两个正态总体 均值未知时，方差的检验问题，要运用F检验法。在假设H0 : s12 = s22 是双侧检验问题，选(b) 14机床厂某日从

6、两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为n1和n2的样本，并且已知这些零件的长度都听从正态分布，为检验这两台机器的精度是否相同，则正确的假设是 (a) H0 : m 1 = m 2 ； H1 : m 1 m 2 (b) H0 : m 1 = m 2 ； H1 : m 1 < m 2 (c) H0 : s12 = s22 ； H1 : s12 s22 (d) H0 : s12 = s22 ； H1 : s12< s22 分析：为检验精度，要检验方差是否相同，故应选(C) 15在求参数的置信区间时，置信度为90%是指（ ） （a） 对100个样品，定有90个区间能覆盖 （b） 对10

7、0个样品，约有90个区间能覆盖 （c） 对100个样品，至多有90个区间能覆盖 （d） 对100个样品，只能有90个区间能覆盖 答：选(b) 16收集了n 组数据 画出散布图，若n 个点基本在一条直线旁边时，称这两变量间具有（ ） （a） 独立的关系 （b） 不相容的关系 （c） 函数关系 （d） 线性相关关系 答：选(d) 17设是总体的样本，是样本方差，若，则_. （注：, , , ） 解： 即 ，亦即 . 18设测量零件的长度产生的误差听从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区间为_. 解：的置信度下的置信区间为 所以的置信区间为（）. 19最小二乘法的基

8、本特点是使回来值与的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是。 答：实际观测值；函数的极值原理。20某单因子试验，因子A 有 2 个水平，水平 A1下进行 5 次重复试验，在水平A2下进行 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为（ ）。答：10 数理统计的基本概念 1某厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，已知它听从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本，求样本的分布. 解 样本的重量独立且均听从与总体相同的分布，故样本的分布为 ， 2加工某种零件时，每一件须要的时间听从均值为的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。 解 零件的加工

9、时间为总体，则，其概率密度为 于是样本的密度为 3证明若，则 证 因，所以可表示为，其中相互独立，且均听从，于是 4已知，求证 证 ，则可表示为，其中且相互独立，于是 . 5设是来自正态总体的简洁随机样本，求常数，使得. 解 所以当时 6设是分布的容量为的样本，试求下列统计量的概率分布： （1）； （2） 解 ， ， 所以 （1） （2） 7设是来自总体的样本，试求统计量的分布。 解 ， 于是 8从正态总体中抽取容量为的样本，假如要求样本均值位于区间（1.4, 5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量至少应多大？ 解 即 ，查正态分表得即. 故样本容量至少应为35。 9求总体的容量分别为10

10、，15的两个独立样本均值差的肯定值大于0.3的概率。 解 设和为两个独立样本的均值，则，于是即 . 参数估计 1对某一距离进行5次测量，结果如下： （米）. 已知测量结果听从，求参数和的矩估计. 解 的矩估计为，的矩估计为 ， 所以 2设总体具有密度 其中参数为已知常数，且，从中抽得一个样本，求的矩估计 解 ， 解出得 于是的矩估计为 . 3设总体的密度为 试用样本求参数的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计： 解出得 所以的矩估计为 . 再求极大似然估计： ， ， ， 解得的极大似然估计： . 4设总体听从指数分布 试利用样本求参数的极大似然估计. 解 由极大似然估计的定义，的极大似然估计

11、为 5设来自几何分布 ， 试求未知参数的极大似然估计. 解 ， 解似然方程 ， 得的极大似然估计 。 6. 设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对随意的常数，统计量是的无偏估计量。 证 （此处利用了是的无偏估计，是的无偏估计），所以对随意的是的无偏估计。 7设总体，是来自的样本，试证估计量 ；， . 都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 证 故都是的无偏估计. , ， . 所以最有效. 8设总体的数学期望已知，试证统计量是总体方差的无偏估计. 证 ， 证毕. 9从一批钉子中抽取16枚，测得长度（单位：厘米）为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.

12、13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，设钉长分布为正态，试在下列状况下，求总体期望的置信度为0.90的置信区间。 （1）已知厘米； （2）为未知. 解 （1）的置信区间为 的置信区间为； （2）的置信区间为 的置信区间为. 10生产一个零件所需时间（单位：秒），视察25个零件的生产时间，得，试以0.95的牢靠性求和的置信区间. 解 的置信区间为 其中 所以 的置信度0.95下的置信区间为 的置信区间为 所以的置信区间为 . 11零件尺寸与规定尺寸的偏差，令测得10个零件，得偏差值（单位：微米）2, 1, 2, 3, 2

13、, 4, 2, 5, 3, 4，试求的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。 解 的无偏估计为 的无偏估计为 的置信区间为 所以 的置信度为0.90的置信区间为 ； 的置信区间为 所以的置信度0.90下的置信区间为 . 12对某农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产量如下： 品种A：86，87，56，93，84，93，75，79； 品种B：80，79，58，91，77，82，74，66. 假定两个品种的单位面积产量，分别听从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为0.95下的置信区间. 解 此题是在的条件下求的置信区间. 的置信区间为 其中 . 所以的置信度为0.95下的置

14、信区间为 . 13设和两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得，若批导线的电阻听从分布，批导线的电阻听从，求的置信度为0.90的置信区间. 解 的置信区间为 其中 . 所以 的置信度0.90下的置信区间为 . 14从一台机床加工的轴中随机地取200根测量其椭圆度，由测量值（单位：毫米）计算得平均值，标准差，求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为0.95的置信区间。 解 因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为，由中心极限定理近似听从，对于给定的，查正态分布表，求出临界值使 即的置信区间为 . 15在一批货物的容量为100的样本中，经检验发觉16个

15、次品，试求这批货次品率的置信区间（置信度近似为0.95） 解 设次品率为，100件产品中的次品数为，由教材163页知，的置信区间为，其中 此处 本题中 ， 于是的置信度近似为0.95的置信区间为 . 假设检验 1一台包装机装奶粉，额定标准重量为500，依据以往阅历，包装机的实际装袋重量听从正态，其中=15，为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得奶粉净重数据如下（单位：） 497 506 518 524 488 517 510 515 516 若取显著性水平，问这包装机工作是否正常？ 解 建立假设 ； 检验统计量为 当成立时，有，否定域为： 由，查标准正态分布表，得 将样本观测值带入计算得

16、 故否定，接受，认为产品重量均值不再等于500克亦即认为包装机工作不正常 2糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下： 问该日打包机工作是否正常（；已知包重听从正态分布）？ 解 ， 问题是检验假设 的否定域为. 其中 因为 所以接受，即该日打包机工作正常. 3设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. （1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）. （附注） 解：（1）的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为（9

17、.7868，10.2132） （2）的拒绝域为. ， 因为 ，所以接受. 4某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为： 设测定值听从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为？ 解 问题是在未知的条件下检验假设 的否定域为 因为 所以接受，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25. 5根据规定，每100克罐头番茄汁中，维生素的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素的含量（单位：毫克）如下 已知维生素的含量听从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。 解 设为维生素的含量，则，. 问题是检验假设 （1）. （2）选择统计量并计算其值： （3）对于给定的查分布表求出临界值.

18、（4）因为。所以接受，即认为维生素含量合格. 6某种合金弦的抗拉强度，由过去的阅历知（公斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670. 问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（） 解 ，. 问题是检验假设 （1）. （2）选统计量并计算其值. （3）对于，查分布表，得临界值. （4）因，故否定即认为抗拉强度提高了。 7从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的有无显著差别？（，椭圆度听从正态分布）。 解 ，问题是

19、检验假设. （1）. （2）选统计量并计算其值 （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因为所以接受，即总体方差与规定的无显著差异。 8从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55. 问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（，熔化时间听从正态分布）. 解 ， 问题是检验假设. （1）； （2）选统计量并计算其值 （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因，故接受，即可以认为方差不大于80。 9对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下 第一种 138，127，134，125； 其次种 134，137，135，1

20、40，130，134. 问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都听从方差相同的正态分布。 解 设第一、二种织品的强度分别为和，则 问题是检验假设 （1） （2）选统计量并计算其值. （3）对于给定的，查分布表得临界值 . （4）因为，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。 10在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为 旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; 新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77

21、.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种？（） 解 设为新品种产量，为旧品种产量；，问题是检验假设 ， ， 选统计量并计算其值： 对给定的，查分布表得临界值. 因为故接受，即新品种高于旧品种. 11两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得，假定零件长度听从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？ 解 问题是检验假设 选统计量并计算其值 对给定的查分布表得临界值，. 因 故接受，即无显著差异. 12一颗骰子掷了120次，得下列结果： 点 数 1 2 3 4 5 6 出现次数 23 26 2

22、1 20 15 15 问骰子是否匀整？（） 解 用表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2，3，4，5，6。问题是检验假设 这里， ，故 查分布表，得临界值因为故接受，即骰子匀整。 15 方差分析回来分析 1一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进行缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表 布样号 缩 水 率 1 2 3 4 4.3 7.8 3.2 6.5 6.1 7.3 4.2 4.1 6.5 8.3 8.6 8.2 9.3 8.7 7.2 10.1 9.5 8.8 11.4 7.8 问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响 解 ，查附表5得 . 序号 1

23、2 3 4 4.3 7.8 3.2 6.5 6.1 7.3 4.2 4.1 6.5 8.3 8.6 8.2 9.3 8.7 7.2 10.1 9.5 8.8 11.4 7.8 21.8 21.7 31.6 35.3 37.5 147.9 475.24 470.89 998.56 1246.09 1406.25 4597.03 131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1149.25 131.82 112.24 252.34 316.03 358.49 1170.92 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 值 工 艺 误 差 55.53 21.67 4 15 1

24、3.8825 1.4447 9.6095* 总 和 77.20 19 因为，所以工艺对缩水率有显著影响. 2灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进行运用寿命的试验，得到下表的结果（单位：小时），问这几种配料方案对运用寿命有无显著影响？（） 试验号 寿 命 1 2 3 4 5 6 7 8 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 1850 1640 1640 1700 1750 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 1510 1520 1530 1570 1600 1680 解 ，查附表5得 为简化

25、计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表 寿命 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 5 8 10 12 20 25 4 4 10 15 14 5 0 2 4 6 14 22 9 8 7 3 0 8 56 58 29 19 124 3136 3364 841 361 448 672.8 105.125 60.167 1286.092 734 982 957 264 2937 ， ， ， 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F值 配 料 误 差 6.947 16.509 3 22 2.313 0.727 3.18 总 和 23.456 25 因为，故不显著. 3在钢线

26、碳含量对于电阻时，微欧）效应的探讨中，得到以下的数据 0.01 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 15 18 19 21 22.6 23.8 26 设对于给定的为正态变量，且方差与无关. （1）求线性回来方程; （2）检验回来方程的显著性； （3）求的置信区间（置信度为0.95）； （4）求在处的置信度为0.95的预料区间. 解 我们用下表进行计算 序号 1 2 3 4 5 6 7 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 15 18 19 21 22.6 23.8 26 0.01 0.09 0.16 0.3025 0.49 0.64 0.

27、9025 225 324 361 441 510.76 566.44 676 1.5 5.4 7.6 11.55 15.82 19.04 24.7 3.8 145.4 2.595 3104.2 85.61 平均 0.543 20.77 , , , , （1） , ， 所以回来方程为 （2）我们用方差分析表来检验回来方程的显著性 方 差 分 析 表 方差来源 平方和 自由度 均 方 F值 回 归 1 剩 余 5 总 和 6 其中 . 查F分布表求出临界值 因为 所以回来方程高度显著. （3）由公式知，的置信度为下的置信区间为 此处, . 所以的置信度为0.95下的置信区间为（11.112, 13

28、.987） （4）, . 故在处的置信度为0.95的置信区间为 4在硝酸钠的溶解度试验中，对不同的温度测得溶解于100ml水中的硝酸钠质量的观测值如下： 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.6 113.6 125.1 从理论知与满意线性回来模型式（9.20） （1）求对的回来方程； （2）检验回来方程的显著性； （3）求在时的预料区间（置信度为0.95）. 解 计算表如下 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 10 15 21 29 36 51 68 66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 9

29、2.9 99.9 113.6 125.1 0 16 100 225 441 841 1296 2601 4624 4448.89 5041.00 5821.69 6496.36 7344.49 8630.41 9980.01 12904.96 15560.01 0 284 763 1209 1799.7 2694.1 3596.4 5793.6 8506.8 234 811.8 10144 76317.82 24646.6 , （1）对的回来方程为 ； （2）方差分析表如下 方差来源 平方和 自由度 均 方 F 值 回 归 3086.25 1 3086.25 =2996.36 剩 余 7.21

30、 7 1.03 总 和 3093.46 8 查F分布表求出临界值 因 ，故方程高度显著. （3） 在时的置信度为0.95下的预料区间为 . 5电容器充电后，电压达到，然后起先放电，设在时刻，电压的视察值为，详细数据如下. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 （1）画出散点图； （2）用指数曲线模型来似合与的关于，求的估计值. U 0 2 4 6 8 10 80 60 40 20 100 t 解 （1） （2）由，两边取对数得 令 得线性模型 序号 1 0 4.605 0 21.208 0 2 1 4.317 1 18.641 4.317 3 2 4.007 4 16.059 8.014 4 3 3.689 9 13.608 11.067 5 4 3.401 16 11.568 13.604 6 5 2.996 25 8.974 14.98 7 6 2.708 36 7.334 16.248 8 7 2.303 49 5.302 16.121 9 8 2.303 64 5.302 18.424 10 9 1.609 81 2.590 14.481 11 10 1.609 100 2.590 16.09 55 33.547 385 113.176 133.346 , ， ， 故 ，即的估计值分别为，.