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1、-1-上海市金山中学上海市金山中学 2018-20192018-2019 学年高一数学学年高一数学 5 5 月月考试题（含解析）月月考试题（含解析）一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分，其中第分，其中第 1 1 题至第题至第 6 6 题每题填对得题每题填对得 4 4 分，否则一分，否则一律得零分律得零分；第第 7 7 题至第题至第 1212 题每题填对得题每题填对得 5 5 分分，否则一律得零分否则一律得零分。考生应在答题纸相应编号的考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果空格内直接填写结果1.角215属于第_象限角.【答案】二；【解析】【分
2、析】通过与角215终边相同的角所在的象限判断得解.【详解】由题得与215终边相同的角为215360,.kkZ 当 k=1 时，与215终边相同的角为145，因为145在第二象限，所以角215属于第二象限的角.故答案为：二【点睛】本题主要考查终边相同的角，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.2.在半径为 10 米的圆形弯道中，120角所对应的弯道长为米【答案】203【解析】弯道长是半径为 10，圆心角为0120即23弧度所对的弧长。由弧长公式得弧长为2201033。3.在数列 na中，12a，13nnaa则数列 na的通项公式为_.【答案】31nan；【解析】【分析】先判定数列 na
3、是等差数列，再写出等差数列的通项.-2-【详解】因为13nnaa，所以数列 na是公差为 3 的等差数列，所以=2+1)331nann（.所以数列 na的通项公式为31nan.故答案为：31nan【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.函数sin()yx，0,为偶函数，则_.【答案】2【解析】【分析】根据诱导公式以及的取值范围，求得的值.【详解】根据诱导公式可知，是2的奇数倍，而0,，所以2.【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查三角函数的奇偶性，属于基础题.5.方程22sin5sin20 xx在R上的解集为_.【答案】|(1),
4、6kx xkkZ；【解析】【分析】先解方程得1sin2x ，写出方程的解集即可.【详解】由题得2sin1)(sin2)0 xx（，所以1sin2(2x 舍）或sinx=-，所以(1),6kxkkZ.-3-故答案为：|(1),6kx xkkZ【点睛】本题主要考查三角方程的解法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知4cos5，则cos2sin()22tan()cot2_【答案】125【解析】【分析】利用诱导公式化简原式，再将4cos5代入即可得出结论.【详解】4cos5，cos2222tantan2tancos2sinsinsin123cos5，故答案为125.【点睛】本题主要
5、考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.7.若函数2arcsin(cos)yx的定义域为2,33，则它的值域为_.【答案】,3；【解析】【分析】利用余弦函数的性质和反正弦的性质逐步求出函数的值域.-4-【详解】因为233x，所以1cos12x，所以arcsin(cos)62x，所以2arcsin(cos)3x.所以函数的值域为,3.故答案为：,3【点睛】本题主要考查反正弦函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.8.设0，若函数()2sinf
6、 xx在,3 4 上单调递增，则的取值范围是_【答案】302【解析】【分析】先求增区间，再根据包含关系求结果.【详解】由2 2()22kxkkZ得增区间为2 2,()22kkkZ所以332,03 4222,042 【点睛】本题考查正弦函数单调性，考查基本分析求解能力，属中档题.9.将函数()yf x的图像向右平移4个单位，再向上平移 1 个单位后得到的函数对应表达式为22si nyx，则函数()yf x的表达式可以是_.【答案】()sin2f xx；-5-【解析】【分析】利用逆向思维反推出函数()yf x的表达式.【详 解】把 函 数22sin=1cos2yxx的 图 像 向 下 平 移 一
7、个 单 位 得 到1 cos21cos2yxx ，再 把 函 数cos2xy 的 图 像 向 左 平 移4个 单 位 得 到()=cos2(x)cos(2)sin2x42yf xx.故答案为：()sin2f xx【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10.在ABC中，BCa，CAb，ABc，下列说法中正确的是（）A.用a、b、c为边长不可以作成一个三角形B.用a、b、c为边长一定可以作成一个锐角三角形C.用a、b、c为边长一定可以作成一个直角三角形D.用a、b、c为边长一定可以作成一个钝角三角形【答案】B【解析】【分析】由三角形的性质可得：任意
8、两边之和大于第三边，再由余弦定理即可得出结果.【详解】因为在ABC中，BCa，CAb，ABc，所以abc，bca，acb，所以2220abcabcab，所以abc；同理可得bca；acb，故a、b、c可以作为三角形的三边；若a、b、c分别对应三角形的三边，根据余弦定理可得：-6-222022abcabca bab；222022acbacbacac；222022cbacbac bcb；即a、b、c所对应的三个角均为锐角，所以用a、b、c为边长一定可以作成一个锐角三角形.故选 B【点睛】本题主要考查三角形的性质以及余弦定理，熟记余弦定理即可，属于常考题型.11.数列 na的通项公式为cos12nn
9、an，其前n项和为Sn，则2019S=_.【答案】1009【解析】【分析】先通过列举得到从数列第一项到第四项的和为 6，从数列第五项到第八项的和为 6，依次类推.再根据26102018,a a aa是以-1 为首项，以-4 为公差的等差数列，求出2018a，再求解.【详解】由题得1cos1=12a，22cos1=2 11a ，333cos1=12a，44cos21=5a，555cos1=12a，66cos31=-5a，777cos1=12a，88cos41=9a，999cos1=12a,1010cos51=-9a故可以推测从数列第一项到第四项的和为 6，从数列第五项到第八项的和为 6，依次类推
10、.2019=4 504+3,又26102018,a a aa是以-1 为首项，以-4 为公差的等差数列，所以20181(505 1)(4)2017a ，所以2019S=504 6+2-2017=1009.故答案为：1009-7-【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.12.函数()yf x是定义域为R的偶函数，当0 x 时，5sin0142()1114xxxf xx，若关于x的方程2()()0(,)f xa f xba bR有且仅有 6 个不同实数根，则实数a的取值范围是_.【答案】599,1244【解析】【分析】可求得f（1）55s
11、in()424，作函数的图象，分类讨论即可【详解】f（1）55sin()424，作函数()yf x的图象如下图，-8-设方程20 xaxb的两个根为1x，2x；若154x，2514x，故129(4xxa ，5)2，故5(2a，9)4；若101x，2514x，故129(1,)4xxa ，故9(4a，1)；故答案为：5(2，99)(44，1)【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想的应用二二、选择题选择题（本大题共有本大题共有 4 4 题题，满分满分 2020 分分）每题有且只有一个正确答案每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的
12、小方格涂黑，选对得相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分13.在ABC中，如果sinsinsincoscossincoscos2ABABABAB，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】化简已知得到2AB且A+B=,即得三角形形状.【详解】因为sinsinsincoscossincoscos2ABABABAB，所以cos()sin()2ABAB,因为cos()1 sin()1ABAB，所以cos()=1 sin()1ABAB，所以2AB且A+B=,所以,42ABC.-9-所
13、以三角形是等腰直角三角形.【点睛】本题主要考查和角差角的正余弦公式，考查三角函数的有界性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14.北京 101 中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在 A 处，图书馆在 B 处，为测量 A，B 两地之间的距离，某同学选定了与 A，B不共线的 C 处，构成ABC，以下是测量的数据的不同方案：测量A，AC，BC；测量A，B，BC；测量C，AC，BC；测量A，C，B.其中一定能唯一确定 A，B 两地之间的距离的所有方案的序号是_.【答案】.【解析】分析：由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否能够
14、唯一确定A，B两地之间的距离.详解：考查所给的四个条件：测量A，AC，BC，已知两边及对角，由正弦定理可知，三角形有 2 个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；测量A，B，BC，已知两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；测量C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；测量A，C，B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是.点睛：本题主要考查解三角形问题，唯一解的确定等知识，意在考查学生的转化能力和计
15、算-10-求解能力.15.已知等差数列 na的前n项和nS满足56SS且678SSS，则下列结论错误的是（）A.6S和7S均为nS的最大值B.70a C.公差0d D.95SS【答案】D【解析】试题分析：由可得,故,且,所以且6S和7S均为nS的最大值,故应选 D.考点：等差数列的前项和的性质及运用.16.函数2sinyx的定义域为,a b，值域为 2,1，则ba的值不可能是（）A.56B.76C.53D.【答案】C【解析】【分析】由题意得，xa，b时，11 sin2x，定义域的区间长度ba最小为23，最大为43，由此选出符合条件的选项【详解】函数2sinyx的定义域为a，b，值域为 2，1，
16、xa，b时，11 sin2x，故sin x能取到最小值1，最大值只能取到12，例如当2a，6b时，区间长度ba最小为23；当76a，6b时，区间长度ba取得最大为43，即2433ba，-11-故ba一定取不到53，故选：C【点睛】本题考查正弦函数的定义域和值域，判断定义域的区间长度ba最小为23，最大为43，是解题的关键，属于中档题三三、解答题解答题（本大题共有本大题共有 5 5 题题，满分满分 7676 分分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤内写出必要的步骤17.已知等差数列 na的前n项和28nSnn，求（1）数列 na的
17、通项公式；（2）求25817a+a+a+a的值.【答案】（1）29nan（2）60【解析】【分析】（1）先求出数列 na首项和公差，再写出数列的通项；（2）由题得25817,a a aa是以-5为首项，以 6 为公差的等差数列，再求解即可.【详解】解：（1）因为28nSnn，所以12127,4 1612,aSaa 所以25,2ad 所以7(1)229nann .（2）由题得25817,a a aa是以-5 为首项，以 6 为公差的等差数列，所以258176 565)6602aaaa（.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和前 n 项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
18、-12-18.已知ABC中，1tan4A，3tan5B，17AB.求：（1）角C的大小；（2）ABC中最小边的边长.【答案】（1）34C（2）2【解析】【分析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简 tanC，将 tanA与 tanB代入值代入求出 tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由 tanA与 tanB的大小判断出BC为最小边，由 tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出 sinA的值，利用正弦定理求出BC的长【详解】解：(1)tantantanCABAB=tantan1tan tanABAB=13451 314 51，所以34C，(2)因为tantanAB，所以最小角为A又因为1
19、tan4A，所以17sin17A，17cAB，又sinsinacAC，所以a sinsincAC171717222【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键19.已知函数()sin()(f xAxA0，0，)2的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x和-13-0(2,2).x（1）写出()f x的解析式及0 x的值；（2）若锐角满足1cos3，求(4)f的值.【答案】（1）1226sinx,23；（2）4 6799.【解析】试题分析：（1）根据图象的最值求出,A根据最高点与
20、最低点坐标求出12T，从而求出，再由图象经过0,1，求出，然后求 fx的解析式，根据02x,，求0 x的值；（2）锐角满足1cos2，根据平方关系以及二倍角的正弦、余弦公式求出,2,sinsincos2,化简4f，将所求,2sinsin的值代入，即可求得4f的值.试题解析：（1）由题意可得，即，又，由，,，所以，又是最小的正数，.（2），-14-.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质及恒等变形，属于中档题.利用最值求出A,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求，是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点
21、是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时0 x；“第二点”(即图象的“峰点”)时2x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时32x；“第五点”时2x.20.某公园内有一块以O为圆心半径为 20 米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP=AB=BQ，23PABQBA，且AB，PQ在点O的同侧为保证视听效果，要求观众席内每一
22、个观众到舞台中心O处的距离都不超过 60 米（即要求60PO）.设OAB，0,3.（1）当6时求舞台表演区域的面积；（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】（1）4003平方米（2）对于任意，上述设计方案均能符合要求，详见解析【解析】【分析】（1）由已知求出AOB的弧度数，再由扇形面积公式求解；（2）过O作OH垂直于AB，-15-垂直为H，可求20cosAH，240cosABAH，由图可知，点P处观众离点O处最远，由余弦定理可得2800 3sin(2)16003OP，由范围(0,)3，利用正弦函数的性质可求()20 320maxOP，由20 32060，可求上述设计方案均能符合要
23、求【详解】（1）当6时，23AOB所以舞台表演区域的面积2140023OABSr扇形平方米（2）作OHAB于H，则22cos40cosABAHOA在OAP中，22222cos3OPOAAPOA AP2400 6cos 2 3sincos 1400(3cos23sin24)800 3sin 216003因为0,3，所以当12时，max800 3160060OP所以对于任意，上述设计方案均能符合要求.【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题21.已知函数f（x），g（x）满足关系g（
24、x）=f（x）f（x+），其中是常数-16-（1）设f（x）=cosx+sinx，2，求g（x）的解析式；（2）设计一个函数f（x）及一个的值，使得 23g xcosx cosxsinx；（3）当f（x）=|sinx|+cosx，2时，存在x1，x2R，对任意xR，g（x1）g（x）g（x2）恒成立，求|x1-x2|的最小值【答案】（1）cos2g xx（2）f（x）=2cosx，=-3（3）34【解析】【分析】（1）求出 f（x+），代入 g（x）=f（x）f（x+）化简得出（2）对 g（x）化简得 g x=4cosxcos（x-3），故 f（x）=2cosx，=-3（3）求出 g（x）的解
25、析式，由题意得g（x1）为最小值，g（x2）为最大值，求出x1，x2，从而得到|x1-x2|的最小值.【详解】（1）f（x）=cosx+sinx，2f（x+）=cos（x+2）+sin（x+2）=cosx-sinx；g（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x-sin2x=cos2x（2）23g xcosx cosxsinx=4cosxcos（x-3），f（x）=2cosx，=-3（3）f（x）=|sinx|+cosx，g（x）=f（x）f（x+）=（|sinx|+cosx）（|cosx|-sinx）=2222212223222231 222222cos xxkksin xxkkcos xxkksin xxkk，因为存在x1，x2R，对任意xR，g（x1）g（x）g（x2）恒成立，所以当x1=2k+或122xkkZ，时，g（x）g（x1）=-1当2724xkkZ，时，g（x）g（x2）=2-17-所以1212127224xxkkkkZ，、或12121272224xxkkkkZ，、所以|x1-x2|的最小值是34【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图像及性质，考查分段函数的应用，属于中档题