《湖北省荆州市沙市中学2018_2019学年高一数学5月月考试题(含解析)42430.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北省荆州市沙市中学2018_2019学年高一数学5月月考试题(含解析)42430.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-1-沙市中学 2018级高一下学期五月份月考 数学试卷 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.sin1020的值为（）A.32 B.32 C.12 D.12【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式可得sin1020sin60，从而求得结果.【详解】3sin1020sin360360sin602 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用诱导公式求解三角函数值的问题，属于基础题.2.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A.1:3 B.1:3 C.1:9 D.1:27【答案】A【解析】分析】根据球的表面积公式直接作比可得结果.【详解】设两个球的半径分别为1R和2R，则221
2、24:41:9RR 12:1:3RR 本题正确选项：A【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，属于基础题.3.设 abc，且 a+b+c=0，则下列不等式恒成立的是（）-2-A.abbc B.abac C.acbc D.a|b|c|b|【答案】B【解析】【分析】利用特殊值的方式可排除,A C D；利用作差法可判断出B正确.【详解】若3a，1b ，2c 则32abbc ，可知A错误；62acbc ，可知C错误；若3a，0b，3c ，则0a bc b，可知D错误；0abc且abc 0a 且0bc 又0abaca bc abac，可知B正确 本题正确选项：B【点睛】本题考查利用作差法比较大小的问题，对
3、于不等式恒成立判断问题，也常采用排除法来进行求解.4.若幂函数 f(x)的图像过点（4，2），则 f(a2)=（）A.a B.-a C.a D.|a|【答案】D【解析】【分析】利用待定系数法可求得函数解析式，代入2xa求得函数值.【详解】设 f xx，则42，解得：12 12222f aaaa 本题正确结果：D【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式、函数值的求解问题，属于基础题.5.在空间中有如下命题，其中正确的是（）A.若直线 a 和 b 共面，直线 b 和 c 共面，则直线 a 和 c 共面；-3-B.若平面 内的任意直线 m平面 ，则平面 平面 ；C.若直线 a 与平面不垂直，则直线
4、a 与平面内的所有直线都不垂直；D.若点P到三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的内心【答案】B【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系、面面平行判定定理、三角形内心的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】直线a与直线b共面，直线b和直线c共面，存在直线a与直线c异面的情况，A错误；平面内任意直线均平行于平面，必在内必存在两条相交直线平行于平面，根据面面平行判定定理可知平面/平面，B正确；直线a与平面不垂直，可能与平面平行或相交；则在平面内存在与直线a异面的直线与直线a垂直，C错误；若点P到三角形三条边的距离相等，可知点P在三角形所在平面内的射影到三角形三边的
5、距离相等，此射影点可为三角形两外角平分线与一内角平分线的交点，此时不是三角形的内心，D错误.本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中的直线与直线的位置关系、面面平行的判定、三角形内心的判定问题.本题易错点是判断D选项时，忽略射影点位于三角形外部的情况.6.若，是锐角VABC的两个内角，则有（）A.sinsin B.coscos C.sincos D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】-4-根据三角形为锐角三角形可知2，即2；通过角的范围和sin x的单调性可得sinsin2，利用诱导公式整理可得结果.【详解】ABC为锐角三角形 2且02，02 2且0,22 sin x在0,2上单调递增 s
6、insincos2 本题正确选项：C【点睛】本题考查根据三角形形状判断角的关系的问题，关键是能够灵活应用角的范围、正弦函数图象和诱导公式来进行化简.7.若正实数x，y满足141xy，且234yxaa恒成立，则实数a的取值范围为（）A.1,4 B.1,4 C.4,1 D.4,1【答案】B【解析】【分析】根据1444yyxxxy，结合基本不等式可求得44yx，从而得到关于a的不等式，解不等式求得结果.【详解】由题意知：1442444yyxyxxxyyx 0 x，0y 40 xy，04yx 442244xyxyyxyx（当且仅当44xyyx，即2xy时取等号）44yx 234aa，解得：1,4a -
7、5-本题正确选项：B【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.8.若函数()sin()(0,)2f xAxA的图象如图所示，则为了得到 f x图象，只需将函数 sing xAx的图象()A.向左平移6个长度单位 B.向左平移3个长度单位 C.向右平移6个长度单位 D.向右平移3个长度单位【答案】A【解析】【分析】根据图象的最值、周期、特殊值可求得 f x解析式，再根据图象平移变换原则可求得结果.【详解】由图象可知：1A，74123T 22T 又7112f，则7sin16 73262k，kZ 23k，kZ，又2 3 sin 23fxx，si
8、n2g xx 6g xfx，即只需将 g x向左平移6个长度单位即可得到 f x 本题正确选项：A【点睛】本题考查已知三角函数图象求解解析式、图象平移变换的问题，关键是明确左右平移的变换是针对x的变化量.-6-9.已知,A B C D是同一球面上的四个点，其中ABC是正三角形，AD平面ABC，26ADAB，则该球的体积为（）A.48 B.24 C.16 D.32 3 【答案】D【解析】【分析】根据球的性质可知球心O与ABC外接圆圆心O连线垂直于平面ABC；在Rt POE和Rt OO A中利用勾股定理构造出关于半径R和OO的方程组，解方程组求得R，代入球的体积公式可得结果.【详解】设O为ABC的
9、外心，如下图所示：由球的性质可知，球心O与O连线垂直于平面ABC，作OEAD于E 设球的半径为R，OOx ABC为等边三角形，且3AB 3AO OO 平面ABC，AD平面ABC，OEAD OOAEx，3OEAO 在Rt POE和Rt OO A中，由勾股定理得：22222OEPEO OO AR，即222363xxR 解得：3x，2 3R 球的体积为：3432 33VR 本题正确选项：D -7-【点睛】本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.10.已知函数12log,?0()2,0 xxxf xx，若关于x方程()f x
10、k有两不等实数根，则k的取值范围（）A.（0，）B.（,0）C.（1，）D.(0,1【答案】D【解析】【分析】作出函数 yf x和程yk的图象，结合图象即可求得答案【详解】作出函数程 yf x和程yk的图象，如图所示 由图可知当方程 f xk有两不等实数根时，则实数k的取值范围是(0,1 故选D【点睛】本题是一道关于分段函数的应用的题目，解答本题的关键是熟练掌握对数函数与指数函数的图象与性质，考查了数形结合思想，属于中档题。11.对于棱长为1的正方体1111ABCDABC D，有如下结论，其中错误的是（）A.以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体；B.过点A作平面1AB
11、D的垂线，垂足为点H，则1,A H C三点共线；C.过正方体中心的截面图形不可能是正六边形；-8-D.三棱锥11ABCD与正方体的体积之比为1:3【答案】C【解析】【分析】在正方体中可找到四面体1AADC各个面都是直角三角形，排除A；利用线面垂直判定定理可证出1AC 平面1ABD，从而可知三点共线，排除B；在图形中可找到截面图形为正六边形的情况，可知结果为C；利用切割的方法求得11A B CDV，从而可求得所求体积之比，排除D.【详解】在如下图所示的正方体中：四面体1AADC的四个面均为直角三角形，可知A正确；BDAC，1BDCC BD平面11ACC A 1BDAC 又112tantan2C
12、ACAAO 11C ACAAO 111190C ACAOAAAOAOA，即11ACAO 1AC平面1ABD，即过A作平面1ABD的垂线即为1AC 1,A H C三点共线，可知B正确；若,P Q N M F E为所在棱的中点，连接后可知六边形PQNMFE为正六边形且此正六边形过正方体的中心，可知C错误；三棱锥11ABCD体积：111111 41323A B CDV 正方体体积：1V -9-三棱锥11ABCD与正方体的体积之比为：11:1:3A B CDVV，可知D正确.本题正确选项：C【点睛】本题考查正方体中的线线关系、线面关系、截面问题、体积问题的相关命题的判定，对于学生空间想象能力要求较高.
13、12.设 sin 2cos2,0f xaxbx a bR ab，若 3f xf对一切xR恒成立，给出以下结论：012f；5111212ff；f x的单调递增区间是536kk，()kZ；函数 yf x既不是奇函数也不是偶函数；存在经过点,a b的直线与函数 f x的图象不相交其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据 3fxf可知223fab，从而得到3ab，将 f x化简为 2 cos 23fxbx；代入求值即可知正确；当0b和0b 时，可验证出所给区间可能为单调递减区间，错误；利用奇偶性定义可知正确；根据函数图象可知无交点时需22bab，又3ab，可
14、知不成立，故错误.【详解】由 3f xf对xR恒成立可知：223fab -10-即：223122abab，整理可得：230ab 3ab 3 sin 2cos22 cos 23fxbxbxbx 2 cos0122fb，可知正确；572 cos3126fbb；11132 cos3126fbb 5111212ff，可知正确；当5,36xkkkZ时，22,223xkkkZ 当0b时，5,36kkkZ为 f x的单调递增区间 当0b 时，5,36kkkZ为 f x的单调递减区间 可知错误；由函数解析式可知：fxf x且 fxf x，则 f x为非奇非偶函数，可知正确；要使得经过,a b的直线与函数 f
15、x无交点，则直线需与x轴平行且22bab 又3ab 2bb，不成立，可知错误.综上所述：正确 本题正确选项：C【点睛】本题考查三角函数的图象与性质的综合应用问题，涉及到三角函数最值的应用、单调区间的求解、奇偶性的判断、函数图象的应用、函数值的求解问题，对于学生对三角函数知识的应用能力要求较高.二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.若函数2()log(41)?xf xk x为R上的偶函数，则k _【答案】1k -11-【解析】【分析】由 f x是偶函数，运用偶函数定义 f xfx，代入求出k的值【详解】函数 2log41xf xkx，2log41xfxkx，函数 2log41xf xk
16、x为R上的偶函数，fxf x，即224141xxlogkxlogkx，故241log241xxkx，化简得124444kxxxkx，则21xkxxkx 解得1k 故答案为1k 【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性求参数的值，运用奇偶性的定义代入求解，考查了计算能力 14.若圆锥的表面积为 27，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的半径为_【答案】3.【解析】【分析】根据侧面展开图是半圆可求得2lr，利用圆锥表面积构造方程可求得结果.【详解】设圆锥底面半径为r，母线长为l 侧面展开图是半圆 2 rl 2lr 圆锥表面积：2222327Srrr 3r -12-本题正确结果：3【点睛】本
17、题考查圆锥表面积相关问题的求解，属于基础题.15.21,?0()(2)?,0axaxxf xaex为 R 上的单调函数，则a的取值范围是 .【答案】10a 【解析】试题分析：由题意得，函数 21,02,0axaxxf xaex是R上的单调函数，则若函数 f x为单调递增函数，则0020(2)1aaae，此时解集为空集；若函数 f x为单调递增函数，则0020(2)1aaae，解得10a，所以函数 21,02,0axaxxf xaex是R上的单调函数，那么a的取值范围是10，考点：函数的单调性及其应用【方法点晴】本题主要考查了函数单调性及其应用，其中解答中涉及的分段函数的解析式，分段函数的单调性
18、及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据函数 f x为单调递增函数，列出不等式组是解答问题的关键，试题比较基础，属于中档试题 16.在如图所示的三棱锥 A-BCD 中，BD=2，DC=3，DAB+BAC+DAC=90，ADB=BDC=ADC=90现有一只蚂蚁从点 D 出发经三棱锥 A-BCD 的三个侧面绕行一周后回到点 D，则蚂蚁爬行的最短距离为_ -13-【答案】5 2.【解析】【分析】画出三棱锥的侧面展开图，可知所求最短距离即为DD的长度；根据已知的角度可证得四边形为正方形，设CEx，构造方程可解出正方形边长，从而求得DD.【
19、详解】三棱锥的侧面展开图如下图（实线部分）所示：由题意可知，蚂蚁爬行的最短距离即为：DD 90DABBACDAC 90DAD 90ADBBDCADC 且ADAD 四边形ADED为正方形 设CEx，则222313BC，213BEx DEDE 23213xx，解得：2x 5DED E 25255 2DD 本题正确结果：5 2【点睛】本题考查最短路线问题，关键是能够通过侧面展开图确定直线距离最短，从而利用平面几何的知识来进行求解.三、解答题（共 6 小题，共 70 分）17.在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，/ADBC，1AB，2BC，60ABC -14-（）设平面PBC 平面PADl，求证
20、：/BCl （II）求证：平面PAC 平面PAB【答案】（）见解析；（II）见解析.【解析】【分析】（）根据线面平行判定定理可知/BC平面PAD；利用线面平行性质定理可证得结论；（II）根据线面垂直性质定理可得PAAC，利用余弦定理求得AC，根据勾股定理可证得ACAB，利用线面垂直判定定理证得AC 平面PAB，根据面面垂直判定定理可证得结论.【详解】（）/BCAD，AD 平面PAD，BC 平面PAD/BC平面PAD BC 平面PBC，且平面PBC 平面PADl/BCl（II）PA 平面ABCD，AC 平面ABCD PAAC 1AB，2BC，60ABC，由余弦定理得：22222cos122 1
21、2cos603ACABBCAB BCABC 222ABACBC ACAB 又ACPA，PAABA，PA 平面PAB，AB 平面PAB AC平面PAB 又AC 平面PAC 平面PAC 平面PAB【点睛】本题考查立体几何中的线面平行的证明与性质、面面垂直的证明、线面垂直的证明与性质应用，考查学生对于空间中直线与平面、平面与平面位置关系相关定理的掌握情况.18.在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，点D为边BC的中点，若ADm，且满足-15-2224abcm （I）求BAC；（II）若2a，求ABC的周长的最大值【答案】（I）3；（II）6【解析】【分析】（I）在ABD和ACD利 用
22、余 弦 定 理 和coscos0ADBADC可 得222422mbca，将2224abcm代入可整理求出cosBAC，从而得到所求角；（II）在ABC中利用余弦定理可得243bcbc；利用基本不等式可求得bc的最大值，从而可得周长的最大值.【详解】（I）在ABD和ACD中，由余弦定理得：2221cos4cmamaADB；2221cos4bmamaADC ADBADC coscos0ADBADC 2222122bcma，即2222422mbca 又2224abcm 2222222abcbca 即：222bcabc 2221cos22bcaBACbc 又0BAC 3BAC（II）在ABC中，由余弦
23、定理可得：2222242cos33bcbcbcbcbcbc，即：243bcbc 又22bcbc 22344bcbc 4bc -16-当且仅当bc时取等号 ABC的周长：6Labc，即ABC周长的最大值为6【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形周长最大值的求解问题.当问题中涉及到将所求角拆分的情况时，通常利用两个互补角构造余弦定理的形式，利用互补角余弦值互为相反数整理可得结果；解三角形周长最大值时，关键是利用基本不等式得到两边之和的不等关系.19.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，463PDPCABBC，.点E是CD边的中点，点FG，分别在线段AB，BC上，且22AF
24、FBCGGB，.(1)证明：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直线PA与直线 PG 所成角的余弦值【答案】见证明；73；9 525【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得到PE 平面ABCD，进而得到PEFG.（2）由二面角的定义可知二面角PADC的平面角为PDC，在Rt PDE中求解即可.（3）将直线PA与FG所成转化为直线PA与直线AC所成角，利用余弦定理求解.【详解】(1)证明：因为PDPC，点E是CD中点，所以PEDC.又因为平面PDC 平面ABCD，交线为DC，所以PE 平面ABCD.又FG 平面ABCD，所以PEFG.(2)由(1)可知，PEAD.因为四边形ABCD
25、为长方形，所以ADDC.又因为PEDCE，所以AD 平面PDC.-17-而PD 平面PDC，所以ADPD.由二面角的平面角的定义，可知PDC为二面角PADC的一个平面角 在Rt PDE中，227PEPDDE 所以7tan3PEPDCDE 从而二面角PADC的正切值为73.(3)连接AC.因为13FBBGABBC，所以FGAC.易求得3 5AC，225PAPDDA 所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角，即PAC，在PAC中，2229 5cos225PAACPCPACPAAC 所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为9 525.【点睛】本题涉及到线与面之间垂直关系的转化，二面角以
26、及异面直线所成的角.求角的问题通常是先把问题转化到平面三角形中，再求角，常与解三角形知识综合.20.设函数 24f xaxxb（I）若1b，且对于0,1x，有 0f x 恒成立，求a的取值范围；（II）若4ab，解关于x的不等式 0f x 【答案】（I）5a ；（II）见解析.【解析】【分析】（I）当0 x 时，易得aR；当0,1x时，通过分离变量可知2max14axx；利用二次函数求最值方式求得214xx的最大值，从而得到结果；（II）将不等式变为2440axxa；当0a 时，为一元一次不等式，可解得1x；当0a 时，求得不-18-等式对应的方程的两根，通过讨论两根的大小关系和a的正负可求得
27、结果.【详解】（I）当0 x 时，010f，此时aR 当0,1x时，2410axx 恒成立，即224114xaxxx 恒成立 2max14axx 设1tx，则1,t且 22424g tttt ，函数()g t在区间1,上是单调递减的 max15g tg 5a 综上所述：5a （II）4ab 解不等式 0f x 即解不等式2440axxa 当0a 时，原不等式等价于440 x，解得：1x 当0a 时，原不等式等价于410aa xxa 令410aa xxa，解得：14axa，21x 若2a，则41aa，解得：1x 或4axa 若2a，则41aa，解得：xR 若02a则41aa，解得：4axa或1x
28、 若0a，则41aa，解得：41axa 综上，当0a，不等式的解集为41axxa；当0a 时，不等式的解集为1x x ；当02a时，不等式的解集为41ax xxa 或；当2a 时，不等式的解集为R；当2a 时，不等式的解集为41ax xxa 或【点睛】本题考查不等式恒成立问题的求解，解含有参数的一元二次不等式的问题，涉及到分离变量和分类讨论的思想的应用，属于常规题型.-19-21.已知函数 2cos3sincos1f xxxx（I）求函数 f x在区间0,2上的最小值；（II）若 85f x ，2,3x，求cos2x的值；（III）若函数0yfx在区间,6 2 上是单调递增函数，求正数的取值范
29、围 【答案】（I）1；（II）3 3410；（III）10,3【解析】【分析】将 f x整理为2sin 26x；（I）利用x的范围求得26x的范围，结合sin x的图象可求得最值；（II）利用 85f x 可求得sin 26x；结合角的范围和同角三角函数关系可求得cos 26x；根据cos2cos266xx，利用两角和差余弦公式可求得结果；（III）利用x的范围求得26x的范围，从而根据sin x单调递增区间构造出关于的不等式组，解不等式组再结合0即可得到结果.【详解】22 3sincos2cos13sin2cos22sin 26fxxxxxxx （I）0,2x 72,666x 2sin 21
30、,26x f x在区间0,2上的最小值为：1（II）由题意得：82sin 265x 4sin 265x -20-2,3x 3132,626x 3cos 265x cos2cos2cos 2cossin 2sin666666xxxx 33413 34525210（III）2sin 26fxx,62x 时，2,6366x 2622362kk，kZ，解得：12362kk，kZ 0，可知当0k 时满足题意，即103 的取值范围为：10,3【点睛】本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关系等问题.关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为sinAx的形式，从而通
31、过整体对应的方式来研究函数的值域和性质.22.若函数 f x在区间,a b上的值域为1 1,b a，则称区间,a b为函数 f x的一个“倒值区间”.定义在R上的奇函数 g x，当0,x时，22g xxx （）求函数 g x的解析式；（）求函数 g x在1,上的“倒值区间”；（）记函数 g x在整个定义域内的“倒值区间”为D，设 h xg xxD，则是否存在实数m，使得函数 h x的图像与函数2yxm的图像有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，试说明理由 -21-【答案】（）222,02,0 xx xg xxx x；（）51 1,2；（）2m 【解析】【分析】（）当,0 x，利用函数
32、奇偶性可知 g xgx，代入求得,0 x 时的解析式，从而得到分段函数解析式；（）设1ab，利用 g x单调性和“倒值区间”的定义可得 11g bbg aa，解方程求得结果；（）当 ,0,1a b 时，1 1,1,b a，不满足 g x在0,1上的值域，可知 g x在0,上的“倒值区间”为511,2，同理可得 g x在,0上的“倒值区间”；根据 h x解析式可得到交点位置，根据交点位置可得关于m的方程，利用函数值域可求得m的范围；通过两段范围可确定m的取值.【详解】（）当,0 x 时，0,x g x为奇函数 2222g xgxxxxx 222,02,0 xx xg xxx x（）设1ab，由（
33、）知，g x在1,上单调递减 221212g bbbbg aaaa ，整理得：22110110aaabbb 解得：1512ab 函数 g x在1,上的“倒值区间”为：511,2 -22-（）由（）知，函数 g x在1,上的“倒值区间”为511,2 当倒值区间 ,0,1a b 时，1 1,1,b a 而函数 22g xxx 在0,1上的值域为0,1 函数 g x在0,1上不存在倒值区间 即：函数 g x在0,上的“倒值区间”为511,2 当,0 x 时，同理可求得 g x的倒值区间为51,12 22512,1,2512,12xx xh xxx x 若函数 h x的图像与2yxm的图像有两个不同的交点，则两个交点分别在第一、三象限 当交点第一象限时，方程222xxxm 即：222mxx 在区间511,2内恰有一个解 当511,2x，222yxx 单调递减且2,0y 20m 当交点在第三象限时，方程222xxxm 即：2mx在区间51,12内恰有一个解 512m 综上可得：2m 【点睛】本题考查新定义的运算问题，涉及到根据函数奇偶性求解函数解析式、函数单调性的应用、函数值域的应用、根据交点个数确定参数取值范围的问题.解题关键是能够充分理解-23-新定义的含义，从而利用单调性将值域与定义域联系起来，对学生的应用能力要求较高.