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1、http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网第十五章第十五章推理与证明推理与证明（一）（一）合情推理与演绎推理1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）（二）直接证明与间接证明1了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。（三）（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1 1
2、推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2 2推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。第第 1 1 课时课时合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理1.1.推理一般包括合情推理和演绎推理；2.2.合情推理包括和；归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、.类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、.3.3.演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程；三段论常用格式为：M 是 P，S 是 P；其中是，它提供了一个个一般性
3、原理；是，它指出了一个个特殊对象；是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程例例 1.1.已知：23150sin90sin30sin222；23125sin65sin5sin222通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=23（*）并给出（*）式的
4、证明解：解：一般形式:23)120(sin)60(sinsin222考纲导读考纲导读典型例题典型例题基础过关基础过关高考导航高考导航http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网证明：左边=2)2402cos(12)1202cos(122cos1=)2402cos()1202cos(2cos2123=240cos2cos120sin2sin120cos2cos2cos2123240sin2sin=2sin232cos212sin232cos212cos2123=右边23（将一般形式写成2223sin(60)sinsin(60),22223sin(240)sin(120)sin
5、2等均正确。）变式训练 1：设)()(,cos)(010 xfxfxxf，21()(),fxfx1()()nnfxfx，nN，则)(2008xf解：解：xcos，由归纳推理可知其周期是 4例例 2.2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.222bac设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用321,sss表示三个侧面面积，4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是.解：解：24232221SSSS。变式训练变式训练 2 2：在ABC 中，若C=90，AC=b,BC=a，
6、则ABC 的外接圆的半径222bar，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 ABCD，且 AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是2222cbar。例例 3 3.请你把不等式“若21,aa是正实数，则有21122221aaaaaa”推广到一般情形，并证明你的http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网结论。答案：答案：推广的结论：若naaa,21都是正数，nnnnaaaaaaaaaaa
7、211212322221证明：证明：naaa,21都是正数122212aaaa，211222aaaa，1212nnnnaaaa，nnaaaa2112nnnnaaaaaaaaaaa211212322221变式训练变式训练 3 3：观察式子：474131211,3531211,23211222222，则可归纳出式子为（）A、121131211222nnB、121131211222nnC、nnn12131211222D、122131211222nnn答案：答案：C。解析：用 n=2 代入选项判断。例例 4 4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b 平面，直线a
8、平面，直线b平面，则直线b直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练变式训练 4 4：“AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线，AC,BD 互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：答案：菱形对角线互相垂直且平分第第 2 2 课时课时直接证明与间接证明直接证明与间接证明1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法分析法和综合法 综合法；分析法；2.2.间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是
9、一种常用的间接证明方法；反证法即从开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.典型例题典型例题基础过关基础过关http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网例例 1 1若cba,均为实数，且62,32,22222xzczybyxa。求证：cba,中至少有一个大于 0。答案：答案：（用反证法）假设cba,都不大于 0，即0,0,0cba，则有0cba，而3)632()1()1()1()62()32()22(222222zyxxzzyyxcba=3)1()1()1(222zyx222)1(,)1(,)1(zyx均大于或等于 0，0
10、3，0cba，这与假设0cba矛盾，故cba,中至少有一个大于 0。变式训练变式训练 1 1：用反证法证明命题“abNba,可以被 5 整除，那么ba,中至少有一个能被 5 整除。”那么假设的内容是答案：答案：a,b 中没有一个能被 5 整除。解析：“至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”。例例 2.2.ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列，求证：cbacbba311。答案：答案：证明：要证cbacbba311，即需证3cbcbabacba。即证1cbabac。又需证)()()(cbbabaacbc，需证222bacacABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。B=60。由余弦定
11、理，有60cos2222caacb，即acacb222。222bacac成立，命题得证。变式训练变式训练 2 2：用分析法证明：若a0，则212122aaaa。答案：答案：证明：要证212122aaaa，只需证212122aaaa。a0，两边均大于零，因此只需证2222)21()21(aaaa只需证)1(222211441222222aaaaaaaa，只需证)1(22122aaaa，只需证)21(2112222aaaa，即证2122aa，它显然成立。原不等式成立。例例 3 3已知数列 na，0na，01a，)(12121Nnaaannnhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷
12、搜题网记nnaaaS21)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT求证：求证：当 Nn时，（1）1nnaa；（2）2 nSn；（3）3nT。解：解：（1）证明：用数学归纳法证明当1n 时，因为2a是方程210 xx 的正根，所以12aa假设当*()nk kN时，1kkaa，因为221kkaa222211(1)(1)kkkkaaaa2121()(1)kkkkaaaa，所以12kkaa即当1nk时，1nnaa也成立根据和，可知1nnaa对任何*nN都成立（2 2）证明：）证明：由22111kkkaaa，121kn，（2n），得22231()(1)nnaaaana因为10a，
13、所以21nnSna 由1nnaa及2211121nnnaaa 得1na，所以2nSn（3 3）证明：）证明：由221112kkkkaaaa，得111(2 313)12kkkaknnaa，所以23421(3)(1)(1)(1)2nnnaaaaaa，http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa，故当3n时，2111 1322nnT ，又因为123TTT，所以3nT 推理与证明章节测试题推理与证明章节测试题1.考察下列一组不等式：,5252522233,5252523344,5252523223
14、55.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.2已知数列 na满足12a，111nnnaaa（*nN），则3a的值为，1232007a aaa的值为3.已知2()(1),(1)1()2f xf xff x*xN（），猜想(f x）的表达式为（）A.4()22xf x；B.2()1f xx；C.1()1f xx；D.2()21f xx.4.某纺织厂的一个车间有技术工人m名（mN），编号分别为 1、2、3、m，有n台（nN）织布机，编号分别为 1、2、3、n，定义记号i ja：若第i名工人操作了第j号织布机，规定1i ja，否则0
15、i ja，则等式41424343naaaa的实际意义是（）A、第 4 名工人操作了 3 台织布机；B、第 4 名工人操作了n台织布机；C、第 3 名工人操作了 4 台织布机；D、第 3 名工人操作了n台织布机.5.已知*111()1()23fnnNn，计算得3(2)2f，(4)2f，5(8)2f，(16)3f，7(32)2f，由此推测：当2n 时，有6.观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)n n 个圆圈，每个图案中圆圈的总数是nS，按此规律推出：当2n 时，nS与n的关系式24nS38nS412nS7.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+
16、10=72，则可得出一般结论：.8.函数()f x由下表定义：http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网若05a，1()nnaf a，0,1,2,n，则2007a9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝,第二件首饰是由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形,第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形,第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形,第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第 6 件首饰上应有_
17、颗珠宝;则前n件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用n表示)10.将正奇数按下表排成 5 列第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行1357第 2 行1513119第 3 行171921232725那么 2003 应该在第行，第列。11如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1 大拇指，2 食指，3 中指，4 无名指，5小指，6 无名指，.，一直数到 2008 时，对应的指头是(填指头的名称).12.在数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25 项为_13观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形.14同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干
18、图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖_块（用含n的代数式表示）15.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为1,2,3,4ia i，此四边形内任一点x25314()f x12345图 1图 2图 3图 4http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网P到第i条边的距离记为1,2,3,4ih i，若31241234aaaak，则.412iiSihk类比以上性质,体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为1,2,3,4iS i,此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为1,2,3,4iHi,若31241234SSSSK,则41iiiH(B)A.4VKB.3VKC.2VKD.
19、VK16.设 O是ABC内一点，ABC三边上的高分别为,ABChhh，O 到三边的距离依次为,abcl l l，则abcABClllhhh_ _，类比到空间，O 是四面体 ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别为,ABCDhhhh，O 到这四个面的距离依次为,abcdl l l l，则有_17在Rt ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则222111hab，由此类比：三棱锥SABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则18、若数列 na是等差数列，对于)(121nnaaanb，则数列 nb也是等差数列。类比上述性质，若数列
20、nc是各项都为正数的等比数列，对于0nd，则nd=时，数列nd也是等比数列。19已知ABC三边a，b，c的长都是整数，且abc，如果bm（mN*N*），则这样的三角形共有个（用m表示）20如图的三角形数阵中，满足：（1）第 1 行的数为 1；（2）第 n（n2)行首尾两数均为 n，其余的数都等于它肩上的两个数相加则第 n 行(n2)中第 2 个数是_（用 n 表示）.122343477451114115616252516621在ABC 中，CBCBAcoscossinsinsin，判断ABC 的形状并证明.http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网22已知a、b、c是互不
21、相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.应假设23.ABC中，已知Babsin323，且CAcoscos，求证：ABC为等边三角形。24如图，),(111yxP、),(222yxP、),(nnnyxP)0(21nyyy是曲线C：)0(32yxy上的n个点，点)0,(iiaA（ni3,2,1）在x轴的正半轴上，且iiiPAA1是正三角形（0A是坐标原点）（1）写出1a、2a、3a；（2）求出点)0,(nnaA（nN）的横坐标na关于n的表达式并证明.推理与证明章节测试题答案推理与证明章节测试题答案
22、1.*(,0,)nnmkkmaba ba ba bmkn m n kN31,323.B.4.A5.*21(2)()2nnfnN6.22(2)nn7.2*(1)(32)(21),nnnnnNhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网8.49.*(1)(41)6n nnnN10.251,312食指12.在数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第 25 项为_7_132322nn1448n15、B 提示:平面面积法类比到空间体积法16 1.提示：平面面积法类比到空间体积法17 22221111habc18、*12,nnc cc nN提示：等差数列类比到等比数列，算术
23、平均数)(121nnaaanb类比到几何平均数*12,nnndc cc nN19(1)2m m 20222nn21解:CBACBCBA,coscossinsinsin)sin()sin(cossincossinCBCACABA0cos)sin(sincossincossinABCABAC20cos,0sinsinAABC所以三角形 ABC 是直角三角形22 三个方程中都没有两个相异实根证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则1=4b24ac0，2=4c24ab0，3=4a24bc0.相加有a22ab+b2+b22bc+c2+c22ac+a20，（ab）2+（bc）2+（ca）20.由题意a、
24、b、c互不相等，式不能成立.假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.方法总结：方法总结：反证法步骤假设结论不成立推出矛盾假设不成立凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法23.解:分析：由32,323sinsinsin32sin3sin323AABABBabhttp:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网由CACA coscosBCA3所以ABC为等边三角形24.如图，),(111yxP、),(222yxP、),(nnnyxP)0(21nyyy是曲线C：)0(32yxy上的n个点，点)0,(iiaA（ni3,2,1）在x轴的正半轴上，且iiiPAA1是
25、正三角形（0A是坐标原点）（1）写出1a、2a、3a；（2）求出点)0,(nnaA（nN）的横坐标na关于n的表达式并证明.解解:（）;12,6,2321aaa.6 分（2）依题意，得23,211nnnnnnaayaax，由此及nnxy 32得)(23)23(121nnnnaaaa，即)(2)(121nnnnaaaa由（）可猜想：)(),1(Nnnnan下面用数学归纳法予以证明：（1）当1n 时，命题显然成立；（2）假定当nk时命题成立，即有(1)nak k，则当1nk时，由归纳假设及211()2()kkkkaaaa得211(1)2(1)kkak kk ka，即2211()2(1)(1)(1)(2)0kkakkak kkk，解之得1(1)(2)kakk（1(1)kkak ka不合题意，舍去），即当1nk时，命题成立由（1）、（2）知：命题成立.10 分http:/ 永久免费组卷搜题网http:/ 永久免费组卷搜题网