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1、 永久免费组卷搜题网第二章函数概念与基本初等函数考纲导读（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值6会运用函数图像理解和研究函数的性质（二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3
2、理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题3知道对数函数是一类重要的函数模型4了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）。（四）幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数 的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数（六）函
3、数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。知识网络高考导航根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易
4、逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第1课时 函数
5、及其表示基础过关一、映射1映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2象与原象：如果f:AB是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1定义：设A、B是 ，f:AB是从A到B的一个映射，则映射f:AB叫做A到B的 ，记作 .2函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3函数的表示法有 、 、 。典型例题例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 解：C变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是 （ ）
6、A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=解：C例2.给出下列两个条件：（1）f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.解：（1）令t=+1,t1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x1，+).（2）设f(x)=ax2+bx+c (a0),f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.，又f(0)=3c=3,f(x)=x2-x+3.变式训练2：（1）已知f（）=lgx，求f（x）；（2）已知
7、f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；（3）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.解：(1)令+1=t，则x=，f（t）=lg，f（x）=lg,x(1,+).（2）设f（x）=ax+b，则3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，a=2，b=7，故f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（）=3x， 把中的x换成，得2f（）+f（x）= 2-得3f（x）=6x-，f（x）=2x-.例3. 等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，BAD=45，作直线MNAD交AD于M，
8、交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.解：作BHAD，H为垂足，CGAD，G为垂足，依题意，则有AH=，AG=a.（1）当M位于点H的左侧时，NAB，由于AM=x，BAD=45.MN=x.y=SAMN=x2（0x）.（2）当M位于HG之间时，由于AM=x，MN=，BN=x-.y=S AMNB =x+（x-）=ax-（3）当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.y=S ABCD-SMDN=综上：y=变式训练3：已知函数f(x)=（1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f的值.解：（1）分别作出f(
9、x)在x0,x=0,x0段上的图象，如图所示，作法略.小结归纳（2）f(1)=12=1,f(-1)=-f=f(1)=1.1了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性2函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法使用换元法时，要注意研究定义域的变化3在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示第2课时 函数的定义域和值域基础过关一、定义域：1函数的定义域就是使函数式 的集合.2常见的三种题型确定定义域： 已知函数的解析式，就是 . 复合函数f g(x)的有关定义
10、域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1函数yf (x)中，与自变量x的值 的集合.2常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法（又分为 法和 法）例如： 形如y，可采用 法； y，可采用 法或 法； yaf (x)2bf (x)c，可采用 法； yx，可采用 法； yx，可采用 法； y可采用 法等.典型例题例1. 求下列函数的定义域：（1）y=; (2)y=; (3)y=.解：（1）由题意得化简得即故函数
11、的定义域为x|x0且x-1.（2）由题意可得解得故函数的定义域为x|-x且x.（3）要使函数有意义，必须有即x1,故函数的定义域为1，+）.变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;解：（1）由得所以-3x2且x1.故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2).（2）由得函数的定义域为（3）由,得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为例2. 设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）03x1,故
12、0x,y=f(3x)的定义域为0, .（2）仿（1）解得定义域为1，+).（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.列出不等式组故y=f的定义域为.（）由条件得讨论：当即0a时，定义域为a,1-a;当即-a0时，定义域为-a,1+a.综上所述：当0a时，定义域为a，1-a；当-a0时，定义域为-a，1+a.变式训练2：若函数f(x)的定义域是0，1，则f(x+a)f(x-a)（0a）的定义域是 （ ） A. B.a，1-a C.-a，1+a D.0，1解：B 例3. 求下列函数的值域：（1）y= (2)y=x-; (3)y=.解：（1）方法一 （配方法）y=1-而0值域为.方法二 （判别式法
13、）由y=得(y-1)y=1时,1.又R，必须=(1-y)2-4y(y-1)0.函数的值域为.（2）方法一 （单调性法）定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y函数的值域为.方法二 （换元法）令=t,则t0，且x=y=-（t+1）2+1（t0）,y（-，.（3）由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函数的值域为y|-1y1.变式训练3：求下列函数的值域：（1）y=; (2)y=|x|.解：（1）(分离常数法)y=-，0,y-.故函数的值域是y|yR,且y-.(2)方法一 (换元法)1-x20,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,故函数值域为0，.方法二 y=|x|0y即
14、函数的值域为.例4若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为1，b（b1），求a、b的值.解：f（x）=(x-1)2+a-. 其对称轴为x=1，即1，b为f（x）的单调递增区间.f（x）min=f（1）=a-=1 f（x）max=f（b）=b2-b+a=b 由解得 变式训练4：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).（1）求函数的值域为0，+)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）函数的值域为0，+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.（2）对一切xR，函数值均非负,=8(2a2-a-3)0-1
15、a,a+30,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).二次函数f(a)在上单调递减，f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，f(a)的值域为.小结归纳1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合
16、而灵活地选择方法.第3课时 函数的单调性基础过关一、单调性1定义：如果函数yf (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1、0).(2) 性质： ； 当为奇数时，； 当为偶数时，_ 2指数：(1) 规定： a0 (a0)； a-p ； .(2) 运算性质： (a0, r、Q) (a0, r、Q) (a0, r、Q)注：上述性质对r、R均适用.3指数函数： 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时函数为减函数，当_时为增函数. 函数图像：1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当时，图象向 无限接近轴，当时，图
17、象向 无限接近x轴)；3)函数的图象关于 对称. 函数值的变化特征： 典型例题例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.解：（1）原式=.a= =a.a=，原式=3.（2）方法一 化去负指数后解. a=a+b=方法二 利用运算性质解.a=a+b=变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=-例2. 函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 （ ）A.f(bx)f(cx) B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx) D.大小关系随x的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a
18、、b满足等式，下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：B例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令u=x（-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函数f(x)的值域是1，+）.u=,当x（-，1时，u是减函数，当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.（2）由g(x)=-(函数的定义域为R，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,即g(x)9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2