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1、 永久免费组卷搜题网第六章三角函数考纲导读1了解任意角的概念、 弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切2掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用3能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明4掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和的简图，理解的物理意义5会由已知三角函数值求角，并
2、会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角6掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题知识网络任意角的三角函数三 角 函 数两角和与差的三角函数三角函数的图象和性质角的概念的推广、弧度制任意角的三角函数的定义同角三角函数基本关系诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切ysinx, ycosx的图象和性质ytanx的图象和性质yAsin(x)的图象已知三角函数值求角高考导航三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考
3、查尤其是三角函数的最大值与最小值、周期2以小题为主一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等3更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识基础过关第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1与角终边相同的角的集合为 2与角终边互为反向延长线的角的集合为 3轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 4象限角是指： 5区间角是指： 6弧度制的意义：圆周上
4、弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系7弧度与角度互化：180 弧度，1 弧度，1弧度 8弧长公式：l ；扇形面积公式：S .二、任意角的三角函数9定义：设P(x, y)是角终边上任意一点，且 |PO| r，则sin ； cos ；tan ；+cosx, sinx, tanx, xyOxyOxyO10三角函数的符号与角所在象限的关系：12、正弦、余弦、正切、余切函数的定义域和值域：解析式ysinxycosxytanx定义域值 域13三角函数线：在图中作出角的正弦线、余弦线、正切线xyO典型例题例1. 若是第二象限的角，试分别确定2,
5、,的终边所在位置.解： 是第二象限的角，k360+90k360+180（kZ）.（1）2k360+18022k360+360（kZ），2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）k180+45 k180+90（kZ），当k=2n（nZ）时，n360+45n360+90；当k=2n+1（nZ）时，n360+225n360+270.是第一或第三象限的角.（3）k120+30k120+60（kZ），当k=3n（nZ）时，n360+30n360+60；当k=3n+1（nZ）时，n360+150n360+180；当k=3n+2（nZ）时，n360+270n360+300.是第一或第二或第
6、四象限的角.变式训练1：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？解： 是第三象限角，180+k360270+k360（kZ），60+k12090+k120.当k=3m(mZ)时，可得60+m36090+m360（mZ）.故的终边在第一象限.当k=3m+1 (mZ)时，可得180+m360210+m360（mZ).故的终边在第三象限.当k=3m+2 （mZ）时，可得300+m360330+m360（mZ）.故的终边在第四象限.综上可知，是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin;(2)cos.解：（1）作直线y=交单位圆于A、B
7、两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+2k+，kZ .（2）作直线x=交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为 .变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=；（2）y=lg(3-4sin2x）.解：（1）2cosx-10，cosx.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).x（kZ）.（2）3-4sin2x0,sin2x,-sinx.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),x（k-,k+）（kZ).例3. 已知角的终边在直线3x+4y=0
8、上，求sin,cos,tan的值.解：角的终边在直线3x+4y=0上，在角的终边上任取一点P(4t,-3t) (t0),则x=4t,y=-3t,r=|t|,当t0时，r=5t,sin=,cos=,tan=; 当t0时，r=-5t,sin=,cos=,tan=. 综上可知，t0时，sin=,cos=,tan=;t0时，sin=,cos=-,tan=. 变式训练3：已知角的终边经过点P，试判断角所在的象限，并求的值解：由题意，得 故角是第二或第三象限角当，点P的坐标为，当，点P的坐标为，例4. 已知一扇形中心角为，所在圆半径为R(1) 若，R2cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周
9、长为一定值C(C0)，当为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。 （cm2）扇形周长 当且仅当224，即2时扇形面积最大为变式训练4：扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，求中心角的弧度数和弦长AB解：设扇形的半径为r，弧长为l，中心角的弧度数为则有 由|得2 |AB|2sin 1( cm )小结归纳1本节内容是三角函数的基础内容，也是后续结论的根源所在，要求掌握好：如角度的范围、函数的定义、函数值的符号、函数值的大小关系及它们之间的相互转化关系2在计算或化简三角函数的关系式时，常常要对角的范围以及相应的三角函数值的正负情况进行讨论，因此，在解答这类
10、题时首先要弄清：角的范围是什么？对应的三角函数值是正还是负？与此相关的定义、性质或公式有哪些?第2课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式基础过关1同角公式：(1) 平方关系：sin2cos21，1tan2 ，1cot2 (2) 商数关系：tan ，cot (3) 倒数关系：tan 1，sin 1，cot 12诱导公式：22ksincossincos规律：奇变偶不变，符号看象限3同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式4诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为090角的三角函数值典型例题例1.
11、 已知f()=;（1）化简f();（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.解 ：（1）f（）=-cos. （2）cos=-sin,sin=-,cos=-,f()=.变式训练1：已知A则A构成的集合是 ( )A1, 1, 2, 2 B1, 1C2, 2 D2, 1, 01, 2解：C例2求值：(1) 已知，求的值2) 已知，求下列各式的值；解：（1）；（2）变式训练2：化简： ， 解：原式sin 原式0例3. 已知，sin xcos x（1）求sin xcos x的值（2）求的值解：( 1 ) ，( 2 ) 变式训练3：已知sin +cos=,(0,).求值：（1）tan;（2）sin-c
12、os;（3）sin3+cos3.解 方法一 sin+cos=,(0,),(sin+cos)2=1+2sincos，sincos=-0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程x2-x-=0的两根，解方程得x1=,x2=-.sin0,cos0,sin=,cos =-.（1）tan=-.（2）sin-cos=.（3）sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sincos=1-2=.sin0,cos0,sin-cos0,sin-cos=.（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=.例4已知tan=2,求下列各式的值：（1）
13、;（2） ;（3）4sin2-3sincos-5cos2.解：（1）原式=.（2）.（3）sin2+cos2=1,4sin2-3sincos-5cos2=.变式训练4：已知sin(+k)=-2cos(+k) (kZ).求:（1）;（2）sin2+cos2.解：由已知得cos(+k)0,tan(+k)=-2(kZ),即tan=-2.（1）.（2）sin2+cos2=.小结归纳1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际
14、问题或几何问题有意义.2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第3课时 两角和与差的三角函数基础过关1两角和的余弦公式的推导方法： 2基本公式 sin()sin coscos sincos() ;tan() .3公式的变式tantantan ()(1tan tan)1tan tan4常见的角的变换：2()()；() ()()()；典型例题例1求2sin50+sin10(1+tan10)的值.解：原式=变式训练1：(1)已知(,)，sin=,则tan()等于（
15、 ）A. B.7 C. D.7 (2) sin163sin223+sin253sin313等于 （ ）A. B. C. D.解：(1)A (2)B 例2. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值解：() (0,)(0,) (,)sin() cos()sin()cos()cos()()变式训练2：设cos（）=，sin（）=，且，0，求cos（+）.解：，0，.故由cos（）=，得sin（）=.由sin（）=，得cos（）=.cos=cos（）（）=cos（+）=2cos21=-1=.例3. 若sinA=,sinB=,且A,B均为钝角,求A+B的值.解 A、B均为钝角且sinA
16、=,sinB=，cosA=-=-=-，cosB=-=-=-， cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=-= 又A, B,A+B2 由知，A+B=.变式训练3：在ABC中，角A、B 、C满足4sin2-cos2B=,求角B的度数.解 在ABC中，A+B+C=180,由4sin2-cos2B=,得4-2cos2B+1=,所以4cos2B-4cosB+1=0.于是cosB=,B=60.例4化简sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2.解 方法一 （复角单角，从“角”入手）原式=sin2sin2+cos2cos2-(2cos2-1)(2cos2-1)=sin2sin2+cos
17、2cos2-(4cos2cos2-2cos2-2cos2+1)=sin2sin2-cos2cos2+cos2+cos2-=sin2sin2+cos2sin2+cos2-=sin2+cos2-=1-=.方法二 （从“名”入手，异名化同名）原式=sin2sin2+(1-sin2)cos2-cos2cos2=cos2-sin2 (cos2-sin2)-cos2cos2=cos2-sin2cos2-cos2cos2=cos2-cos2=-cos2=-cos2=.方法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）原式=+-cos2cos2=(1+cos2cos2-cos2-cos2)+(1+cos2cos2+
18、cos2+cos2)-cos2cos2=.方法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=(sinsin-coscos)2+2sinsincoscos-cos2cos2=cos2(+)+sin2sin2-cos2cos2=cos2(+)-cos(2+2)=cos2(+)- 2cos2(+)-1=.变式训练4：化简：（1）sin+cos;(2）.解 （1）原式=2=2=2cos=2cos(x-).（2）原式=1.小结归纳1三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及
19、运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2=+ ()等2在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用，如正切的和角公式的变形用，正、余弦的和、差角公式的逆用。另外还要能对形如sinxcosx、sinxcosx的三角函数式要创造条件使用公式第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切基础过关1基本公式：sin2 ；cos2 ；tan2 .2公式的变用：1cos2 ；1cos2 典型例题例1. 求值：解：原式 变式训练1：(cossin)
20、（ ）A B C D 解：D例2 已知为锐角，且，求的值. 解：为锐角变式训练2：化简：解：原式1例3已知；(1) 求的值； (2) 设，求sin的值解：（1）（2）16sin224sin110 解得 故变式训练3：已知sin()，求cos()的值解：cos(2)2cos2()12sin2() 1例4已知sin2 22 coscos21，(0，)，求sin、tan的值解：由已知得sin22sin2cos2cos20即(sin22cos) (sin2cos)0cos2(1sin) (2sin1)0(0，) cos0 sin12sin1 sin tan变式训练4：已知、r是公比为2的等比数列，且s
21、in、sin、sinr也成等比数列，求、r的值解：、r成公比为2的等比数列2，r4sin、sin、sinr成等比数列即，解得cos1或当cos1时，sin0与等比数列首项不为零矛盾故cos1舍去当时，20,2 或或小结归纳1二倍角公式是和角公式的特殊情况，在学习时要注意它们之间的联系；2要理解二倍角的相对性，能根据公式的特点进行灵活应用(正用、逆用、变形用)3对三角函数式的变形有以下常用的方法： 降次（常用降次公式） 消元（化同名或同角的三角函数） 消去常数“1”或用“1”替换 角的范围的确定基础过关第5课时 三角函数的化简和求值1三角函数式的化简的一般要求： 函数名称尽可能少； 项数尽可能少
22、； 尽可能不含根式； 次数尽可能低、尽可能求出值2常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次3求值问题的基本类型及方法 “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解 “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同； “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角4反三角函数arcsin、arccos、arctan分别表示、0，、（）的角典型例题例1. （1）化简： （2）化简：
23、解： 原式=变式训练1：已知，若，则 可化简为 解：例2. 已知，求（2）的值解法一：由已知得(3sin2cos) (2sincos)03sin2cos0或2sincos由已知条件可知cos0 即(,)tansin(2)sin2coscos2sinsincos(cos2sin2)解法二：由已知条件可知cos0 则从而条件可化为 6 tan2tan20(,) 解得tan(下同解法一)变式训练2：在ABC中，求A的值和ABC的面积解：sinAcosA 2sinAcosA从而cosA0 A()sinAcosA 据可得 sinA cosAtanA2SABC例3. 已知tan()，-，且、（0，），求2
24、的值.解：由tan (0，)得(, ) 由tantan() (0，)得0 02由tan20 知02 tan(2)1由知 2(，0)2(或利用22()求解)变式训练3：已知为第二象限角，且sin，求的值解：由sin 为第二象限角cos例4已知（1）求tan的值；（2）求的值解：（1）由得 解得tan3或又，所以为所求（2）原式：变式训练4：已知（0)的图象令xx转化为ysinx，作图象用五点法，通过列表、描点后作图象函数yAsin(x)的图象与函数ysinx的图象关系振幅变换：yAsinx(A0，A1)的图象，可以看做是ysinx的图象上所有点的纵坐标都 ，(A1)或 (0A0，1)的图象，可以
25、看做是把ysinx的图象上各点的横坐标 (1)或 (00)的周期为 相位变换：ysin(x)(0)的图象，可以看做是把ysinx的图象上各点向 (0)或向 (0)或向右(0)或向右(0，0) 若A3，作出函数在一个周期内的简图 若y表示一个振动量，其振动频率是，当x时，相位是，求和321-1-2-3 xy0解：(1) y3sin()列表(略)图象如下：02xy03030 (2)依题意有： 变式训练1：已知函数y=2sin,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y=2sin的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y=2sin的振幅
26、A=2,周期T=，初相=.（2）令X=2x+,则y=2sin=2sinX.列表，并描点画出图象：x-X02y=sinX010-10y=2sin(2x+)020-20（3）方法一 把y=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y=sin的图象，再把y=sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后把y=sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y=2sin的图象.方法二 将y=sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象向左平移个单位；得到y=sin2=sin的图象；再将
27、y=sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2sin的图象.例2已知函数y=3sin（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：x023sin030-30描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”.先把y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin的图象；再把y=sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标
28、不变），就得到y=3sin的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sinx的图象；再把y=sinx图象上所有的点向右平移个单位，得到y=sin(x-)=sin的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin的图象.（3）周期T=4，振幅A=3，初相是-. (4)令=+k(kZ),得x=2k+(kZ),此为对称轴方程.令x-=k(kZ)得x=+2k(kZ).对称中心为 (kZ).变式训练2：已知函数 的最小正周期为且图象关于对称；(1) 求f(x)的解析式；(2) 若函数y1f
29、(x)的图象与直线ya在上中有一个交点，求实数a的范围解：（1）wR 当w1时， 此时不是它的对称轴w1 （2）0yx如图：直线ya在上与y1f(x)图象只有一个交点 或a1例3如图为y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N为第一个零点，则A=-，T=2=，=2，此时解析式为y=-sin（2x+）.点N，-2+=0，=，所求解析式为y=-sin. 方法二 由图象知A=，以M为第一个零点，P为第二个零点.列方程组 解之得.所求解析式为y=sin. 变式训练3：函数y=Asin(x+)(0,| ,xR)的部分图象如图，则函数表达式为( )A. y=-4sin B. y=-4
30、sinC. y=4sin D. y=4sin答案 B例4设关于x的方程cos2xsin2xk1在0，内有两不同根，求的值及k的取值范围解：由cos2xsin2xk1得 2sin(2x)k1即sin(2x)设c: ysin(2x)，l: y，在同一坐标系中作出它们的图象(略)由图易知当1时, 即0k1时直线l与曲线c有两个交点，且两交点的横坐标为、，从图象中还可以看出、关于x对称.。故变式训练4.已知函数f (x)sin(x)(0，0)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值解：由f (x)是偶函数，得f(x)f (x)即sin(x)sin(x)cossinxcossinx对任意x都成立，且0， cos0依题意设0 由f(x)的图象关于点M对称，得f(x)f (x)取x0得f （）f （） f ()0f()sin()cos0又