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1、2009年概率论与数理统计试题（参考答案） 9 2009 年 年 1 月概率论与数理统计试题（参考答案）一、单项选择题（3 ×6=18 分）1 1 、在下列命题中，正确的是（ D ）(A) ABC ABC ABC + + 表示 , , A B C 至少两个发生； (B) , A B 相互独立，则 , A B 必互不相容； (C) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B + + (D) ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P AB P A P AB - = = - 2 2 、 已知 ( ) 0.4 P A = ， ( ) 0.7 P A B = ，若 , A B
2、互不相容，设 ( ) P B p = ；若 , A B 相 互独立，设 ( ) P B q = ，则（ C ）.(A) 0.3 p q = = ；(B) 0.5 p q = = ；(C) 0.3, 0.5 p q = = ； (D) 0.3, 0.6 p q = = . 3 3 、已知2 (3, ) X N s ， 3 6 0.34 P X = ，则 0 P X = （ A ）。(A) 0.16 ； (B) 0.34 ； (C) 0.56 ；(D) 0.28 . 4 4 、设1 2( , , , )nX X X 是来自正态总体（2( , ) X N m s ）的样本，下列各式不正确的是（ D
3、）( ) A2( , ) X N n m s ; ( ) B221( )niiXnmcs=- ;( ) C222( 1)( 1)n Sn cs- ; ( ) D (0,1)XNms-.5 5 、在如下关于常用分布的数学期望或方差的结论中，正确的是（ C ）。(A) ( , ), X B n p 则 ; DX np = ；(B) ( ), X P l 则2, ; EX DX l l = = (C) ( , ) X U a b ，则2( )12b aDX-= ； (D) ( ) X e l ，则1. EX DXl= =6 6 、已知随机变量 X 的分布函数是21, 1( )1, 12xF xxx
4、- = -+ ，则 1 P X = - = （ C ）。(A) 13；(B) 12；(C) 23；(D) 1 . 二、 填空题（3 ×6=18 分）7 7 、已知 3, 4, EX DX = = 则 ( 1)(2 1) E X X - + = 22。8 8 、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 (2,3), ( 3,4) X N Y N - ，则 2 4 Z X Y = - - (3,16). N .9 9 、已知随机变量 Y X, 相互独立, 且 0 0 0.6 P X P Y = = , 则 max( , ) 0 P X Y = 0.84 。10 、已知分布 F 的上侧分位数
5、0.051(10,5) ,3F = 则0.95 (5,10)F = 3 。11 、设总体 X 的数学期望和方差皆存在，对于其简洁随机样本，比较两个无偏估计量1 2 3124X X Xm+ += 和1 2 323X X Xm+ += ，则2m 较1m 有效。12 、设某微生物存活能到 30 小时的概率是 0.8，能到 50 小时的概率是 0.6，已知该微生物已存活至 30 小时，则还能到 50 小时的概率为0.75 。三、解答题(本题共 4 小题, 满分 64 分) 13、 、（14 分）一袋中装有 7 枚正品硬币，3 枚次品硬币（次品硬币的两面都是国徽图案）。从袋中任取一枚硬币，并将它投掷 3
6、 次。 （1）求所掷三次皆为国徽图案的概率； （2）若已知三次皆掷出国徽图案，求所取出的这枚硬币是正品的概率。解设1B 表示所取硬币为正品，2B 表示所取硬币为次品，A 表示所掷三次皆为国徽图案。（1） 1 1 2 23( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )4 1 3 17 2 7 2P A P B P A B P B P A B = + = + = （8 分）（2）1 1 114 1( ) ( ) ( | ) 17 8( | )1( ) ( ) 72P AB P B P A BP B AP A P A= = = = . （6 分） 14、 、（18 分）（1）甲、乙二人独立地各进行两
7、次射击，设甲的命中率为12，乙的命中率为23，以 X Y 和 分别表示甲和乙的命中次数。求 X Y 和 的联合分布率；（2）设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为 = ) , ( y x f4.8(2 ) , 1, 00,x y x y x - 0 其它 求边缘密度函数 ( )Xf x 。 解 （1）21 1 02 4P X = = = ，2121 1 12 2P X C = = = ，21 1 22 4P X = = = ；21 1 03 9P Y = = = ，121 2 4 13 3 9P Y C = = = ，22 4 23 9P Y = = = .（5 分）由 , P X
8、i Y j P X i P Y j = = = = = ，得 X Y 和 的联合分布率为X Y 0 1 2 0 136 118 136 1 19 29 19 2 19 29 19 （5 分）（2）当 0 1 x 时，20( ) ( , ) 4.8 (2 ) 2.4(2 ) .xXf x f x y dy x ydy x x+-= = - = - 当 0,1 x 时， ( ) ( , ) 0.Xf x f x y dy+-= = （6 分）即 ( )Xf x =22.4(2 ) , 10,x x x - 0 其它（2 分） 15 、(16 分) 设总体 X 的分布率为 0 1 21 1 13 3
9、 3Xl l + - ，其中 ( 1 1) l l - 是未知参数。若已知来自总体 X 的样本视察值为 2,0,0, 2,1,1, 2,求（1）参数 l 的矩估计值； （2）参数 l 的极大似然估计值。 解（1）87x = ，1 2(1 ) 3 23 3 3EXl l - -= + = ， （4 分）由 3 2 83 7l -= ，得3.14l = - （4 分） （2）2 2 31 1 1( )3 3 3Ll ll+ - = ， ln ( ) 2ln(1 ) 3ln(1 ) 7ln3 L l l l = + + - - ， （4 分）由2 3ln ( ) 01 1dLdll l l= + =
10、+ -，得15l = - 。 （4 分） 16、 、（16 分）从自动线上被分装成小袋包装的某种产品，其重量2( , ) X N m s ，现从一批产品抽取 9 包，测得这 9 包重量的平均值为 15.06 x g = ， （1）若已知20.04 s = ，求该产品重量均值 m 的置信水平为 0.95 的置信区间； （2）若2s 未知，而求得样本标准差 0.23 s g = ，试检验：可否认为这批产品的重量均值 15.00g m = ？ ) 05 . 0 ( = a附：0.05 0.025 0.05 0.025 0.0251.645, 1.96, (9) 1.833, (9) 2.262, (
11、8) 2.306 u u t t t = = = = =2 2 20.05 0.05 0.95(9) 16.92, (8) 15.51, (8) 3.33. c c c = = =解（1）用 U 估计法。由/2 0.0259, 1.96, 15.06, 0.2. n u u xas = = = = =(2 分) 计算得: /2 /2( , ) (14.929, 15.191) x u x un na as s- + = (6 分)（2）0H : 0 115 ; g H m m = = : 015g m m = 。2s 未知, 用 T 检验法。 (3 分) 由0 ( 1) (8)/XT t n ts nm -= - = 得拒绝域为/2 0.025( 1) (8) T t n ta - = (4 分) 计算得00.02515.06 150.783 (8) 2.306/ 0.23/ 9xt ts nm - -= = = = ， 故接受原假设，可以认为这批产品的重量均值 15.00g m = 。 (4 分)