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1、概率论及数理统计参考答案（附习题）第一章 随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解： 所求的样本空间如下（1）S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）S= (x, y)| x2+y202. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A及B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；（4）A、
2、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解： 所求的事件表示如下3在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB 表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？（3）在什么条件下关系式是正确的？（4）在什么条件下成立？解： 所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的. （4）当全校女生都在三
3、年级，并且三年级学生都是女生时，成立. 4设P(A)0.7，P(AB)0.3，试求解 由于 A-B = A AB, P(A)=0.7 所以P(A-B) = P(A-AB) = P(A) -P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A、B和C，已知P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求A、B、C中至少有一个发生的概率. 解 由于故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)6. 设盒中有只红球和b只白球，现从中随机
4、地取出两只球，试求下列事件的概率： A两球颜色相同， B两球颜色不同. 解由题意，基本事件总数为，有利于A的事件数为，有利于B的事件数为, 则 7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解（1）设A=取得三件次品 则（2）设B=取到三个次品, 则8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率
5、. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语根据题意, 可得(1) (2) 9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率. 解 (1) 设A=取到的都是白子 则 (2) 设B=取到两颗白子, 一颗黑子 (3) 设C=取三颗子中至少的一颗黑子 (4) 设D=取到三颗子颜色相同10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多
6、少？解 (1) 设A = 至少有一个人生日在7月1日, 则 (2)设所求的概率为P(B)11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率p.解 由于两个C，两个E共有种排法，而基本事件总数为，因此有12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设A=4只手套都不配对，则有13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？解 设Ai = 第i个零件不合格，i=1,
7、2,3, 则所以 由于零件制造相互独立，有：14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p. 解 设A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi =第i次击中目标, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36由加法公式P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)
8、|A)=0.70.84 = 0.58815. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设Ai =一批产品中有i件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取10件检查出一件次品,C=产品中次品不超两件, 由题意 由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 由Bayes公式故 16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.1
9、5，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）. 解 设B=三件都是好的，A1=损坏2%, A2=损坏10%, A1=损坏90%，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,由全概率公式由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为 由于P( A1|B) 远大于P( A3|B),
10、P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率. 解 设Hi=箱中实际有的次品数, , A=通过验收则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式 得18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，
11、每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) (2) 19. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？解 在三局两胜时, 甲队获胜的概率为 在五局三胜的情况下, 甲队获胜的概率为 因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大. 20. 4次重复独立试
12、验中事件A至少出现一次的概率为，求在一次试验中A出现的概率. 解 设在一次独立试验中A出现一次的概率为p, 则由题意解得p=1/3.21.（87，2分）三个箱子，第一个箱子中有4只黑球1只白球，第二个箱子中有3只黑球3只白球，第三个箱子有3只黑球5只白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于 . 已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为解 设“取出白球”，“球取自第个箱子”， 是一个完全事件组， ，应用全概率公式及贝叶斯公式22.（89，2分）已知随机事件的概率，随机事件B的概率及条件概率，则和事件的概率 解 .23.（90，2分）设随机事件，及其和事件
13、的概率分别是，和. 若表示的对立事件，那么积事件的概率 解 及互不相容，且 于是24.（92，3分）已知，则事件，全不发生的概率为 解 从可知，.25.（93，3分）一批产品共有10件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 解 设事件“第次抽出次品”， 则 ，应用全概率公式26.（94，3分）已知，两个事件满足条件，且，则解 因，故有27.（06，4分）设，为随机事件，且，则必有（ ）A BCD解 选（C）28.（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，2，中任取一个数，记为，则 解 填29.（96，3分）设工厂和工厂的产品的次
14、品率分别为和，现从由和的产品分别占和的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该产品属生产的概率是 解 设事件“抽取的产品是次品”，事件“抽取的产品是A生产的”，则表示“抽取的产品是工厂生产的”. 依题意有应用贝叶斯可以求得条件概率30.（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黄球，30只是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 解 设事件“第个人取得黄球”，. 根据题设条件可知应用全概率公式31.（87，2分）设在一次试验中，事件发生的概率为。现进行次独立试验，则至少发生一次的概率为 ；而事件至多发生一次的概率为 . 解 由于每次试验中事件A发生的
15、概率都是，并且次试验相互独立. 这是重伯努利试验概型. 若“次试验中事件A发生次”，则事件A至少发生一次的概率为事件A至多发生一次的概率为32.（88，2分）设三次独立实验中，事件出现的概率相等. 若已知至少出现一次的概率等于，则事件在一次试验中出现的概率为 .解 设事件在一次试验中出现的概率为，这是一个3重伯努利试验概型. 因此在三次独立试验中，事件至少出现一次的概率为 依题意，有解之得33.（89，2分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5. 现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 解 设事件“甲射中”，“乙射中”，依题意及相互独立. 因此34.（98，3分）设
16、，是两个随机事件，且，则必有（ ）ABCD解 应用条件概率定义，从可得即化简得，应选（C）35.（99，3分）设两两相互独立的三事件，和满足条件：，且已知，则 解 由于，两两独立，且，所以依题意，有解之，得（舍去）36.（00，3分）设两个相互独立的事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率及发生不发生的概率相等，则 解 依题意，故 即又因及独立，故及独立. 解得.37.（07，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率为（ ）ABCD解 选（C）38.（88，2分）在区间中随机取两个数，则事件“两数之和小于”的概率为解 这是一个几何概型
17、的计算问题. 设分别表示在区间中随机地取两个数，则试验的样本空间为第一象限中的单位正方形区域，即设事件“两个数之和小于”，则. 由于点落在内的任何区域的概率及区域的面积成正比，故其中及分别表示集合及集合的面积. 39.（91，3分）随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在半圆内的任何区域的概率及区域的面积成正比，则原点及该点的连线及轴的夹角小于的概率为 解 设事件“掷的点和原点连线及轴夹角小于”，这是一个几何概型的计算问题. 由几何概率公式其中故40.（07，4分）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为 解 参考38题解得这两个数之差的绝对值小于的概率为第 54 页第二章
18、随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律. 解 X的分布率如下表所示：X012p28/4516/451/452. 进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 解 X的分布律为：X取偶数的概率：3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数.求：Xmax ()的分布律及P(X4)；Ymin ()的分布律及P(Y3). 解 基本事件总数为：，X345p0.10.30.6 (1)X的分布律为：P(X4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y的分布律为Y123p0.
19、60.30.1P(X3) =04. C应取何值，函数f(k) =，k1，2，0成为分布律？解 由题意, , 即解得：5. 已知X的分布律X112P 求：（1）X的分布函数；（2）；（3）. 解 (1) X的分布函数为(2) (3) F(x)0x10.616. 设某运动员投篮投中的概率为P0.6，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出其图形. 解 X的分布函数 7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：（1）三次射击中恰好命中两次的概率；（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？解 设A=三次射击中恰好命中两次，B=目标被击毁，则(1) P(A) =(2
20、) P(B) =8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解 (1) P(X=6) =或者P(X=6) = = 0.21487 0.11067 = 0.1042.(2) P(X10) = 0.997169. 设随机变量X服从泊松分布，且P(X1)P(X2)，求P(X4)解 由已知可得， 解得=2， (=0不合题意)= 0.0910. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解 设X
21、=1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则X服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即XB(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X(3). 因此 (1) P(X=2) (2)(3)(4) 11. 设连续型随机变量X的分布函数为求：（1）系数k；（2）P(0.25X0.75)；（3）X的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率. 解 (1) 由于当0x1时，有 F(x)=P(Xx)=P(X0)+P(0Xx)=kx2 又F(1) =1, 所以k12=1因此k=1. (2) P(0.2
22、5X0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5 (3) X的密度函数为 (4) 由(2)知，P(0.25X80/100)=P(Z0.8)= 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z90/100)=P(Z0.9)=14. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率. 解 设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设A=X200，则 P(A)= 设Y=三只电子元件在200小时内损坏的数量，则所求的概率为：15. 设X为正态随机变
23、量，且XN(2，)，又P(2X4) = 0.3，求P(X0)解 由题意知即故 16. 设随机变量X服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|X10|0时，当y0时，0因此有 22. 若随机变量X的密度函数为求Y的分布函数和密度函数. 解 y= 在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= , y1, h(y)=因此有 Y的分布函数为：23. 设随机变量X的密度函数为试求YlnX的密度函数. 解 由于严格单调，其反函数为, 则24. 设随机变量X服从N(,)分布，求Y的分布密度. 解 由于严格单调，其反函数为y0, 则当时因此 25. 假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y在区间(0,
24、 1)上服从均匀分布. 解 由于在(0, +)上单调增函数，其反函数为：并且，则当当y0或y1时，=0.因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.26. 把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数及出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布. 解 根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为 P(X=3, Y=3)= P(X=2, Y=1)=P(X=1, Y=1)= P(X=0, Y=3)= 于是，（X，Y）的联合分布表如下：XY0123103/83/80
25、31/8001/827. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求：（1）X及Y的联合概率分布；（2）X、Y的边缘概率分布；（3）X及Y相互独立吗？解 根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 其中, ,可以计算出联合分布表如下 YX012300021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/1201/12021/12063/12035/120(2) X,Y的边缘分布如上表(3) 由于P(X=0,Y=0
26、)=0, 而P(X=0)P(Y=0)0, P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.28. 袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(XY6)解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：YX23422/931/344/92/91/34/9(2)P(X+Y6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29. 设二维连续型随机变量(X, Y)
27、的联合分布函数为求：（1）系数A、B及C； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X，Y的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X及Y是否独立？解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -) =0, F(-,y) =0, F(-, -) =0, F(+, +)=1, 可以得到如下方程组：解得：(2) (3) X及Y的边缘分布函数为：X及Y的边缘概率密度为：(4) 由(2),(3)可知：, 所以X，Y相互独立. 30. 设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为（1）求分布函数F(x, y)；（2）求(X，Y)落在由x0，y0，xy1所围成的三角形区域G内的概率. 解 (1) 当x0
28、, y0时， 否则，F(x, y) = 0. (2) 由题意，所求的概率为31. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得解得 A=12.(2) X, Y的边缘概率密度分别为：(3) 32. 设随机变量（X，Y）的联合概率密度为求 P(XY1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G中, 则33. 设二维随机变量(X, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度. 解 由于(X, Y)服从均匀分
29、布，则G的面积A为：(X, Y)的联合概率密度为： X,Y的边缘概率密度为：34. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是求：（1）X和Y和联合概率密度； （2）P(YX).解 由于X在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以y=xy(1) 由于X，Y相互独立，因此X, Y的联合密度函数为：0 0.2 x(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=0.2, y=0, y=x所围的区域，如右图所示， 因此35. 设（X，Y）的联合概率密度为求X及Y中至少有一个小于的概率.解 所求的概率为36. 设随机变量X及Y相互独立，且 X113 Y 31P P
30、求二维随机变量（X，Y）的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表XY-113-31/81/203/401/413/83/209/403/41/21/56/2037. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 X123 Y 1 2 abc（1）求常数a，b，c应满足的条件；（2）设随机变量X及Y相互独立，求常数a，b，c.解 由联合分布律的性质，有： , 即 a + b + c = 又，X, Y相互独立，可得 从而可以得到： 38. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求边缘分布函数及，并判断随机变量X及Y是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数 下面计算FY(y) 可以看出，F(x,y)=
31、 Fx(x) FY(y), 因此，X，Y相互独立. 39. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求边缘概率密度及，并判断随机变量X及Y是否相互独立. 解 先计算, 当x1时, 当x1时, 再计算, 当y1时, 当y1时, 可见, , 所以随机变量X, Y相互独立40. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求边缘概率密度及，并判断随机变量X及Y是否相互独立. 解 先计算, 当x1时, 当1x0时, 再计算, 当y1时, 当1y0时, 由于, 所以随机变量X,Y不独立41. 设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为求随机变量ZX2Y的分布密度. 0zxyzxyxyyx-2y=z解 先求Z的
32、分布函数F(z)Dy 当z0, y0, x-2yzy 求得x-2y=zDy 当z0时，积分区域为：D=(x,y)|x0, y0, x-2yz， xy0zxyzxy由此, 随机变量Z的分布函数为 因此, 得Z的密度函数为：42. 设随机变量X和Y独立，X，Y服从b，b(b0)上的均匀分布，求随机变量ZXY的分布密度. 解 解法一 由题意，令则解法二43. 设X服从参数为的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且X及Y独立，求ZXY的密度函数. 解 由题设，X, Y并且，X，Y相互独立，则由于仅在x0时有非零值，仅当z-x0，即zx时有非零值，所以当z0时，有0zx, 因此44. 设（X，Y）的联合分
33、布律为 X 0123 Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.130.12求：（1）ZXY的分布律；（2）Umax（X，Y）的分布律；（3）Vmin（X，Y）的分布律. 解 (1) X+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = 0.35
34、 P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(X=3,Y=2) = 0.12 Z=X+Y的分布如下 Z012345p00.060.190.350.280.12同理，U=max(X,Y)的分布如下 U0,1,2,3U0123p00.150.460.39V012p0.280.470.25同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V0,1,245.（90，2分）已知随机变量的概率密度函数则的概率分布函数 解 当时，当时，因此，的概率分布函数为46.（97，7分）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概
35、率都是，设为遇到红灯的次数，求随机变量的分布律.解 可以看出随机变量服从二项分布，其概率分布为于是随机变量的分布律为X0123P27/12554/12536/1258/12547.（02，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（ ）A+必为某一随机变量的概率密度B必为某一随机变量的概率密度C+必为某一随机变量的分布函数D必为某一随机变量的分布函数解 首先可以否定选项（A）和（C），因为对于选项（B），若，则对任何， 因此也否定（C）. 故选（D）.事实上，是随机变量的分布函数. 48.（88，2分）设随机变量服从均值为10，均方差为0.02的
36、正态分布。已知，则落在区间内的概率为解 依题意， 因此 于是49.（89，2分）若随机变量在上服从均匀分布，则方程有实根的概率是 解 设事件“方程有实根”，而方程有实根的充要条件是根的判别式 即 因此50.（91，3分）若随机变量服从均值为2，方差为的正态分布，且，则 解 依题意于是51.（08，4分）设随机变量和独立同分布，且的分布密度函数为，则的分布函数为（ ）ABCD解 选（A）.52.（08，11分）设随机变量及相互独立，的概率分布为， 的概率密度为记，求：（1）；（2）的概率密度. 解 （1）（2）53.（04，4分）设随机变量服从正态分布，对给定的，数满足，若，则等于（ ）ABCD
37、解 由于，故对于任何正数，有若，则因，必有，且由此可见， 应选（C）.54.（06，4分）设随机变量及相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则解 填55.（88，6分）设随机变量的概率密度为，求随机变量的概率密度函数。解 先求出随机变量的分布函数，再求. 用变下限积分求导可得56.（93，3分）设随机变量服从上均匀分布，则随机变量在内概率分布密度 解 方法一，先求随机变量的分布函数，再求. 当时， 当时， 当时，于是，方法二，应用单调公式法. 由于在内单调，反函数在内可导，且导数恒不为零，因此随机变量的概率分布密度57.（95，6分）设随机变量的概率密度为 求随机变量的概率密度 解 方法一，先求
38、随机变量的分布函数，再求.当时， 当时，于是，方法二，应用单调公式法.由于在内单调，其反函数在内可导且其导数因此58.（98，3分）设平面区域由曲线及直线，所围成，二维随机变量在区域上服从均匀分布，则关于的边缘概率密度在处的值为 解 首先求的联合概率密度. 设区域的面积为，则依题意有其中其次，求关于的边缘概率密度. 当或时，. 当时， 故关于的边缘概率密度在处的值为59.（99，8分）设随机变量和相互独立，下表列出二维随机变量联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。1解 首先根据边缘分布公式求出. 然后再依次求出其他值. 见下表160.（01，7分）设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘