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1、第六章迭代法数值分析本讲稿第一页，共五十七页1.引言 迭代法的基本思想是构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解的规则。由不同的计算规则得到不同的迭代法，本章介绍单步定常线性迭代法。本讲稿第二页，共五十七页本讲稿第三页，共五十七页本讲稿第四页，共五十七页引入误差向量则可得由问题是在什么条件下所以等价于也即本讲稿第五页，共五十七页2.基本迭代法设有其中A为非奇异矩阵将A分解成其中M是可选择的非奇异矩阵,且使Mx=d容易求解由此,原问题就可转化为等价方程得:可构造迭代法本讲稿第六页，共五十七页Jacobi 迭代法 本讲稿第七页，共五十七页本讲稿第八页，共五十七页 Jacobid
2、迭代的矩阵形式 本讲稿第九页，共五十七页收敛与解故如果序列收敛,则收敛到解.B 称迭代矩阵.本讲稿第十页，共五十七页本讲稿第十一页，共五十七页本讲稿第十二页，共五十七页高斯塞德尔（Gauss-Seidel)迭代法本讲稿第十三页，共五十七页本讲稿第十四页，共五十七页本讲稿第十五页，共五十七页用矩阵可表示为:移项得又所以可逆本讲稿第十六页，共五十七页也即选取 M 为A的下三角部分，即 M=DL，N，则 x=b可等价为（MN)x=b联系上面已经得到的矩阵迭代形式,为统一起见,记:A=DLU本讲稿第十七页，共五十七页等价为其中或其中即为G-S迭代法的迭代矩阵本讲稿第十八页，共五十七页本讲稿第十九页，共
3、五十七页本讲稿第二十页，共五十七页Gauss-Seidel迭代法的计算过程如下：本讲稿第二十一页，共五十七页松弛(SOR)法本讲稿第二十二页，共五十七页本讲稿第二十三页，共五十七页SOR迭代法也可以看作是G-S迭代法的一种修正.假设已知:及首先利用G-S迭代计算预测值加权平均可得:即得再由和的前 i-1个分量本讲稿第二十四页，共五十七页本讲稿第二十五页，共五十七页返回返回本讲稿第二十六页，共五十七页松弛法计算过程如下：本讲稿第二十七页，共五十七页引入误差向量则可得由 等价于问题是在什么条件下所以等价于也即3.迭代法的收敛性作:本讲稿第二十八页，共五十七页本讲稿第二十九页，共五十七页 注:其中
4、为矩阵的任一种算子范数 (p244定理1 )本讲稿第三十页，共五十七页注本讲稿第三十一页，共五十七页迭代法基本定理本讲稿第三十二页，共五十七页本讲稿第三十三页，共五十七页矩阵的谱半径定理2本讲稿第三十四页，共五十七页由此得P248的定理5(迭代法收敛的充分条件)定理5 设有方程组 和其定常迭代法如果B的某种算子范数则:1.迭代法收敛即对任取的有证明证明本讲稿第三十五页，共五十七页(P252定理定理8)本讲稿第三十六页，共五十七页本讲稿第三十七页，共五十七页本讲稿第三十八页，共五十七页本讲稿第三十九页，共五十七页(特殊方程组迭代法的收敛性特殊方程组迭代法的收敛性P249)P249)本讲稿第四十页
5、，共五十七页本讲稿第四十一页，共五十七页定理定理6:(对角占优定理对角占优定理 P250)如果矩阵如果矩阵A为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵为严格对角占矩阵或为不可约弱对角占优矩阵,则则A为非奇异矩阵为非奇异矩阵.本讲稿第四十二页，共五十七页(P251定理定理7,9,10)例例同时同时G-S迭代法也收敛迭代法也收敛.如如1条件的矩阵，条件的矩阵，证明证明本讲稿第四十三页，共五十七页本讲稿第四十四页，共五十七页本讲稿第四十五页，共五十七页特别特别本讲稿第四十六页，共五十七页本讲稿第四十七页，共五十七页误差估计本讲稿第四十八页，共五十七页本讲稿第四十九页，共五十七页本讲稿第五十页，共五十七
6、页本讲稿第五十一页，共五十七页证明：证明：2.3.1.返回返回本讲稿第五十二页，共五十七页注:返回本讲稿第五十三页，共五十七页证明证明:只证关于简单迭代法的两个，其余两个的证明类似.(1)设A具有严格对角优势，以下证(BJ)1反证法，设BJ有特征值,|1.3.20本讲稿第五十四页，共五十七页所以D+L+U也具有严格对角优势，所以|D+L+U|0，所以|1不可能成立，所以|1，即(BJ)1。3.21 与 矛盾本讲稿第五十五页，共五十七页(2)A 不可约且具有对角优势，证(BJ)1，由定理有A非奇异，又（否则A必有一行元素全为零，与A非奇矛盾）用反证法，设BJ有特征值,|1.同（1）有(3.20),(3.21)。注意 D+L+U中非零元素的位置与A中非零元素的位置完全 相同，而A不可约.所以必有 D+L+U 不可约.返回本讲稿第五十六页，共五十七页所以 D+L+U有对角线优势，所以|D+L+U|0，与（3.20）矛盾。|1不可能成立，所以|1，即(BJ)1.本讲稿第五十七页，共五十七页