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1、第2章 解析函数 第1页，共23页，编辑于2022年，星期一第一章.掌握v概念v基本运算v复平面和二维实平面上的方程(或函数)转换.z与(x,y):f(z)-F(x,y)vxoy平面映射到uov平面.(x,y)z-w=f(z)-wuov第2页，共23页，编辑于2022年，星期一作业讲解vp.32.12(3)第3页，共23页，编辑于2022年，星期一1解析函数的概念解析函数的概念l一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分1、导数的定义、导数的定义2、例题：、例题：例例1；例；例2 3、连续、导数、微分、连续、导数、微分二、解析函数的概念二、解析函数的概念 1、定义、定义 2、例题：、例题
2、：例例3；例；例43、定理、定理返回第4页，共23页，编辑于2022年，星期一存在，存在，则则称称在在z0处处可可导导。记为记为在在D上有定上有定义义，。若。若设设返回1、导数的定义、导数的定义：注注:f为复值函数为复值函数,F为实值函数为实值函数第5页，共23页，编辑于2022年，星期一解：解：返回例例1 设设第6页，共23页，编辑于2022年，星期一例例2 证明证明 在任意点处不可导。在任意点处不可导。所以所以导导数不存在。数不存在。Proof:返回第7页，共23页，编辑于2022年，星期一3.连续、可导、可微连续、可导、可微在点在点0的微分的微分与一元函数一样与一元函数一样，因此，因此可
3、导与可微是等价的可导与可微是等价的。可可导导必定必定连续连续，连续连续不一定可不一定可导导。可可导导与与连续连续（1）可微与可导可微与可导（2）（3）求求导导法法则则与一元函数一与一元函数一样样。返回第8页，共23页，编辑于2022年，星期一定义定义1、定、定义义1：若：若在在的的邻邻域内域内处处处处可可导导，则则称称及及处处解析解析。在在解析函数解析函数（全（全纯纯函数、正函数、正则则函数）。函数）。2、定、定义义2：若：若在在D内内处处处处解析，解析，则则称称是是D内的内的在在处处解析解析可导可导可导可导解析解析在在解析解析可导可导内内3、定、定义义3：若：若在在处处不解析，不解析，则则称
4、称为为的的奇点奇点。无意无意义义的点，是奇点。的点，是奇点。注：使注：使返回第9页，共23页，编辑于2022年，星期一例例3讨论下列函数的解析性，可导性。讨论下列函数的解析性，可导性。定理定理*：解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。解析函数的和差积商及有限次复合在定义域内是解析的。2、在复平面上处处可导，处处解析。在复平面上处处可导，处处解析。解：解：1、解：解：在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导,处处不解析处处不解析3、解：解：外处处可导，处处解析。外处处可导，处处解析。，除，除4、解：解：外处处可导，处处解析。外处处可导，处处解析。，除，除返回第10页，共23页，编辑于
5、2022年，星期一所以除所以除外外处处处处不可不可导导，故，故处处处处不解析。不解析。解解（1）所以在所以在处处可可导导；（2）设）设例例4 证明证明 在在 处可导，但不解析。处可导，但不解析。返回第11页，共23页，编辑于2022年，星期一2 解析函数的充要条件解析函数的充要条件l一、预备定理一、预备定理1、定理、定理12、例题：例、例题：例1 l二、解析函数的充要条件二、解析函数的充要条件1、定理、定理12、定理、定理23、例题：例、例题：例2，例，例3，例，例4返回第12页，共23页，编辑于2022年，星期一1、定理、定理1 (必要条件必要条件)设设在区域在区域D内有定内有定义义，or，
6、且且满满足柯西足柯西-黎曼（黎曼（Cauchy-Riemann）条件：）条件：，。且在点且在点z处可导，则处可导，则返回下一页第13页，共23页，编辑于2022年，星期一Proof:在在处处可可导导，则则:下一页上一页注注:可导可导,则沿任意方向的导数相同则沿任意方向的导数相同第14页，共23页，编辑于2022年，星期一：沿沿y轴轴方向方向沿沿x轴方向轴方向所以：所以：且：且：返回上一页第15页，共23页，编辑于2022年，星期一2、定理、定理1的逆不一定成立，即的逆不一定成立，即f(z)在在z处满足处满足C-R条件但不一定可导。条件但不一定可导。例例1 验证验证 在在 处满足处满足C-R条件
7、，但不可导。条件，但不可导。Proof:令令所以所以同理同理即即满满足足C-R条件；条件；所以不存在。所以不存在。,000lim)0,0()0,(lim00)0,0(=D-=D-D=DDxxuxuxuxx返回第16页，共23页，编辑于2022年，星期一1、定理、定理2 在区域内有定在区域内有定义义，则则在在内一点内一点处处可可导导的充要条件是的充要条件是在在处处可微，且可微，且满满足足C-R条件。条件。设：设：返回在在内内解析的充要条件是解析的充要条件是在在内内可微，可微，且且满满足足C-R条件。条件。注注:D内解析等同于内解析等同于D内可导内可导注注:复变函数在某点复变函数在某点(区域内区域
8、内)的可微性的可微性 等同于等同于 对应的对应的两个二元实函数在两个二元实函数在的可微性的可微性 外加外加CR第17页，共23页，编辑于2022年，星期一例例2 用用C-R条件判断函数条件判断函数 的解析性。的解析性。由由C-R条件，条件，解：解：所以处处不解析。所以处处不解析。返回注注:上节已有用上节已有用定义判断的定义判断的相同例子相同例子.第18页，共23页，编辑于2022年，星期一例例3 判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。判断下列函数的可导性，解析性，并求导数。解：解：（1）由：由：处处可可导导，故，故处处处处不解析。不解析。所以所以只在只在下一页第19页，共23页，编辑于202
9、2年，星期一（2）解：方法一、解：方法一、除（除（0,0）外）外处处处处可可导导，所以除（，所以除（0,0）外）外处处处处解析。解析。上一页下一页第20页，共23页，编辑于2022年，星期一方法二方法二除（除（0,0）外）外处处处处可可导导，所以除（，所以除（0,0）外）外处处解析。解析。解：解：由由C-R条件有条件有返回上一页第21页，共23页，编辑于2022年，星期一例例4若若在在D内处处为内处处为0，则在，则在D内为一个常数。内为一个常数。所以所以u,v关于关于x为为常数常数所以所以u,v关于关于y为为常数常数Proof:在在D内内为为一个常数。一个常数。故故作 业第22页，共23页，编辑于2022年，星期一作业作业nP66 2(1,3)3(1,3)4(1)810(1)返回第23页，共23页，编辑于2022年，星期一